全等三角形的经典模型(一)

1、等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（ AC=BC或90, 45%45，）.如图1;常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2;补全为正方形.如图3, 4.图3图4【例1】AC已知：如图所示， RtABC中，AB=AC, /BAC =90 ,。为BC的中点,写出点。到 ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要 求证明）如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断 OMN的形状，并证明你的结论 .如果点 M、N分别在线段 CA、AB的延长线上移动，且在移动中 AN=CM,试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明.【解析】OA=OB = O

2、C连接OA,. OA=OC , BAO = . C =45 AN = CM.ANOACMO.ON=OMZNOA ZMOC. NOA . BON - . MOC . BON =90. NOM =90. .OMN是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形，证明：. / BAC=90 , AB=AC, O 为 BC 中点 ./ BAO=Z OAC = ZABC = Z ACB=45 ,AO=BO = OC,.在 AANO 和 ACMO 中，AN =CMBAO =/C IAO =COANOA CMO (SAS).ON=OM, /AON = /COM, 又 / COM -Z AOM=90 , . .OM

3、N为等腰直角三角形.【例2】 两个全等的含30，60,角的三角板 ADE和三角板ABC,如 图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接 BD,取BD的 中点M ,连接ME , MC .试判断4EMC的形状，并说明理由.【解析】4EMC是等腰直角三角形【例3】【解析】证明：连接AM .由题意，得DE =AC,. DAE . BAC =90； DAB =90.，ADAB为等腰直角三角形.DM =MB ,MA =MB =DM ,ZMDA =/MAB =45：l .ZMDE =/MAC =105 ,AEDM 9 ACAM .EM =MC,/DME =/AMC .又 /EMC =/EMA +/AMC

4、=/EMA +/DME =90.CM _LEM ,AEMC是等腰直角三角形.已知：如图， ABC 中，AB=AC, /BAC =90, D 是 AC 的中 点，AF _LBD于E ,交BC于F ,连接DF .求证：ZADB =/CDF .证法一：如图，过点 A作AN _LBC于N ,交BD于M .AB =AC , /BAC =90, /3=/DAM =45.ZC =45 ,Z3 =/C .AF _LBD ,/1 +/BAE =90 /BAC =90 ,/2 +ZBAE =90 ./1 =/2 .在 ABM和ACAF中，1-/2AB =AC1/3 =/C ABM ACAF .AM =CF .在

5、ADM和CDF中，AD =CDZDAM = CAM =CF ADM CDF ./ADB =/CDF .证法二：如图，作 CM _L AC交AF的延长线于 M . AF _LBD ,Z3 +/2 =90 , /BAC =90 ,Z1 +/2=90 ,Z1 =/3.在 ACM和 BAD中，1=/3AC =ABI /ACMBAD =90 ACM BAD . /M =/ADB , AD =CM AD =DC , .1. CM =CD .在ACMF和CDF中，CF =CF4/MCF =NDCF =45CM =CDACMF ACDF ,. /M =NCDF ZADB =/CDF .【例4】 如图，等腰直角

6、 4ABC中，AC =BC，/ACB =90 , P为 ABC内部一点，满足 PB =PC , AP =AC , 求证：/BCP =15A【解析】补全正方形ACBD ,连接DP,易证ADP是等边三角形， ZDAP =60, ZBAD =45，/BAP =15 口，/PAC=30:，/ACP=75, ZBCP =15 .【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引 辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。 例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究

7、一】证角等【备选1】如图，RtAABC中，/BAC=90, AB=AC, M为AC中点，连结BM ,作ADXBM交BC于点D, 连结 DM ,求证:ZAMB = Z CMD .AA【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰 RtABFC,延长AD交CF于点N, .AN IBM,由正方形的性质，可得 AN=BM ,易证 RtAABM RtA CAN , . / AMB = /CND , CN=AM , M 为 AC 中点，CM=CN,1=/2,可证得CMDCND, ./ CND = Z CMD , ./ AMB = Z CMD .【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，RtAABC中, 线于点

8、F ,试判定/ BAC= 90 , DEF的形状.AB=AC, AD=CE, ANBD 于点M,延长BD交NE的延长【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰 RtABHC, 可知四边形 ABHC为正方形，延长 AN交HC于点K, AKXBD,可知 AK=BD,易证：RtABD RtA CAK, ./ ADB=Z CKN , CK=AD, AD=EC, .1. CK=CE,易证CKNCEN, ./ CKN=/CEN, 易证/EDF=/DEF,. DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，RtAABC 中，ZA=90 , AB=AC, D 为 BC 上一点，DE / A

9、C, DF / AB,且 BE=4, CF=3,求S 矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC关于BC的对称的等腰 RtAGCB,可知四边形 ABGC为正方形，分别延长 FD、ED交BG、CG于点N、M,可知 DN=EB=4, DM = FC=3,由正方形对称性质，可知 S矩形 dfae=S 矩形 dmgn=DM DN=3M4=12.【探究四】求线段长【备选4】如图， ABC中，ADXBC于点D, / BAC=45 , BD=3 , CD=2,求AD的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BAC=45 ,若分别以AB、

10、AC为对称轴作 Rk ADB的对称直角三角形和Rt ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90。的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.【解析】 以AB为轴作RtAADB的对称的RtAAEB,再以AC为轴作RtAADC的对称的RtAAFC .可知 BE=BD=3, FC=CD=2,延长 EB、FC 交点 G,/ BAC=45,由对称性，可得 ZEAF=90 ,且 AE=AD=AF,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于 AD,设 AD=x,贝U BG=x3, CG=x-2,在RtBCG中，由勾股定理，得 (x2 2 +(x3；2=52,解得x=6,即AD=

11、6.【探究五】求最小值【备选5】如图，RtABC中，/ ACB=90, AC=BC=4, M为AC的中点，P为斜边 AB上的动点，求PM + PC 的最小值.BCD【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB关于AB对称的RtADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM + PC 的值为最小，最小值为 :PM + PC=DM =吊42 +22 =2而.题型二：三垂直模型2【弓 I例】已知 ABBD, EDXBD, AB=CD , BC=DE,求证：ACXCE;若将 CDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB =C1

12、D ,其余条件不变，试判断 ACCiE这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由 【解析】 ABBD, EDXBD. B =/D =90在 ABC与4CDE中AB =CDIZB =/DBC =DE ABC ACDE (SAS). 1 = . E, 2 . E =90/ACE =90 月即 ACXCE ABCAC1DE图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 . . ACBC1ED/C1ED +/DC1E =90ZDC1E +/ACB =90口ACXCiE【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0,10）, （8,4）,点C在第一象限.求正方形边长及顶点C

13、的坐标.（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）G【解析】 过点C作CG，x轴于G,过B作BE，y轴于 巳 并反向延长交 CG于F 点A、B的坐标分别为（0,10卜（8,4），BE=8, AE=6,AB=10.四边形 ABCD是正方形，AB=BC ,/1 . 3 =90. 2 . 3 =9 0.1 =/2 /AEB /BFC =90 AEBA BFCAB=BC ,.CF=BE=8, BF=AE=6 .CG=12 EF=14 C（14, 12）,正方形的边长为 10 一产一； 【点评】此题中三垂直模型：/例6如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ABC =90, AD /

14、BC ,AB 的中点，CE _LBD .求证：BE =AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线; 4DBC是等腰三角形吗？请说明理由.【解析】 /ABC =90。BD_LEC,ZECB +/DBC =90s, /ABD +/DBC =90：，/ECB =/ABD , /ABC =/DAB =90 , AB =BC , BAD CBE , AD =BE . E 是 AB 中点，EB = EA由得：AD=BE,AE=AD AD / BC , . /CAD =/ACB =45 ) NBAC =45%ZBAC =/DAC由等腰三角形的性质，得：EM =MD , AM _LDE即AC是线段ED的垂直平

15、分线. DBC是等腰三角形， CD = BD由得：CD=CE,由得：CE=BD，CD =BD ,.DBC是等腰三角形.【例7】 如图1, ABC是等边三角形,D、E分别是 AB、BC上的点，且 BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/如图 2, RtAABC 中，/B=90, M、APD的度数=BM = CN,连接 AN、CM相交于点P.请你猜想/APM =（2013平谷一模）【解析】图略,45证明：作60图2N分别是 AB、BC上的点，且AM = BC、,并写出你的推理过程.AEXAB 且 AE =CN =BM .CNM可证EAMAMBCME =MC , ZAME =

16、/BCM .ZCMB +/MCB=90：， ZCMB +.ZAME =90s ZEMC =90 .EMC是等腰直角三角形，/MCE =45白又AEC ACAN (SAS).ECA =. NAC.EC / AN.APM =. ECM =45 .训练1.已知：如图，4ABC中，AC=BC, /ACB=90 口，D是AC上一点，AEBD的延长线于E,并且 1AE =- BD ,求证：BD 平分 /ABC .【解析】延长AE交BC的延长线于F . BEXAF , ZACB =90 ZFAC ZDBC 在 4AFC 和 BDC 中，千 FAC - - DBCAC =BCIl/ACF =. BCD .AF

17、C ABDC (ASA ) .AF =BD一1又 AE BD21 AE AF 二EF2，BE是AF的中垂线，BA = BFBD 平分 /ABC训练2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DG，CE于G , DG交AC于F.求证：OE = OF【解析】ABCD是正方形 .OD=OC . DOC =90 . DG CENDGC =90。 . NDOC =/DGCZOFD =/GFC.ODF = . ECO在 ADOF 和 ACOE 中，/DOF /COEOD vOC/ODF ZOCEADOFA COE (ASA)OE=OF训练3. 已知：如图，ABC中，AB =AC ,/BAC =90 ,

18、D是BC的中点，AF_LBE于G.求证：DH = DF【解析】 AB =AC , ZBAC =90 , D是BC的中点 .AD=BD=CD , ADXBCZADB =90 AF _ BE. AGH =90.DBE =. DAF.BDH 和 ADF 中，pDBH =. DAFBD =ADI ,JVADB =. ADF . BDHA ADF (ASA ) .DH=DF训练4. 如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF LEC,且EF=EC, DE=4cm, 矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【解析】 在 RtAEF 和 RtDEC 中，/ EFXCE, . /

19、FEC=90 ,BC ./ AEF+/DEC=90 ,而 / ECD+ZDEC=90 , ./ AEF = Z ECD.又 / FAE=/EDC=90 . EF=ECRtAAEFRtADCE .，AE = CD.AD =AE+4.矩形ABCD的周长为32 cm,2 (AE+AE+4) =32.解得 AE=6 cm.复习巩固题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图， ACB、 ECD均为等腰直角三角形，则图中与 全等的三角形为.【解析】AAECB BDC【练习2 如图，已知 RtABC中/ACB =90 , AC = BC , D是点，CE AD ,垂足为 E . BF / AC ,交CE

20、的延长线于点 F .求证： AC=2BF .BC的中【解析】 ZACB =90 , BF / AC ,ZACD =NCBF =90 /ADC +ZCAD =90 . CE _L AD ,ZFCB +ZADC =90 /CAD =NFCB .又 AC =CB , ADCACFB . DC =FB . D是BC的中点，BC =2BF , 即 AC =2BF .题型三垂直模型巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（ADAB）,点E在BC上，且 AE =AD , DFXAE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明.【解析】经探求，结论是：DF = AB.证明

21、如下：四边形ABCD是矩形，. Z B= 90S , AD / BC, . / DAF = / AEB.- DF AE,ZAFD = 90 , AE = AD ,. AABEADFA. AB = DF.【练习4】如图，4ABC中，AC=BC, /BCA =90 , D是AB上任意一点,AE _LCD 交 CD 延长线于 E , BF _LCD 于 F .求证：EF = BF -AE .【解析】根据条件，ZACE、ZCBF都与ZBCF互余， ZACE =/CBF .在4ACE和4CBF中，AC =CB , ZAEC =ZCFB =90 , ACEACBF .贝U CE =BF , AE =CF

22、,EF =CE -CF =BF -AE .【练习5】四边形ABCD是正方形.如图1,点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG,作BFXAG于点F, DE XAG 于点 E,求证： ABF DAE;在中，线段EF与AF、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）； 如图2,点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG,作BFXAG于点F, DEXAG 于点 E.那么图中全等三角形是 ,线段 EF与AF、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）.【解析】 在正方形 ABCD中，AB=AD , NBAD =90 NBAF +ZDAE =907 BAF . ABF =90