高等代数(下)考前复习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上例1 （1）设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，试证明不是A的特征向量。提示：若是的特征向量，则，矛盾（2）如果线性空间的线性变换A以中每个非零向量为其特征向量，则线性变换A是数乘变换提示：若线性变换A有两个不同特征值，而是分别属于的特征向量，由题设，也是A的特征向量，由此推出，因此线性变换A只有一个特征值，对于任意非零向量，A.例2 设线性变换A在基下的矩阵是,求A的特征值与特征向量.例3 设矩阵为,(1)问能否相似于对角阵？（2）若能，求一个可逆矩阵，使得为对角阵.例4 在空间中，线性变换D在基下的矩阵是的特征多项式是.因此，的特征值只有0.通过

2、解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.定理 设为n阶矩阵的特征值，则 （1） （2）定理 （1）矩阵A与A的转置有相同的特征值。（2）设l是矩阵A的特征值，则的特征值（其中m是正整数）。（3）是的特征值。（4）若矩阵A可逆，l是矩阵A的特征值，则是矩阵的特征值例12 已知1，2，3是3阶矩阵A的特征值，计算行列式及。定理 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则1） A的值域A是由基像组生成的子空间，即A=2） A的秩=的秩.定理 设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的

3、一组基合起来就是的一组基.由此还有 A的秩+A的零度=例6. 设是数域上四维线性空间的一个基，已知线性变换在此基下的矩阵为 ，求 的值域与核及值域与核的维数。解：由核的定义，得方程组 解之得 核，核的维数是2又 的秩为，且线性无关.值域的维数也是2.注意1：值域的维数就是矩阵A的秩r,而核的维数就是n-r.注意2：虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.（见下面例子）例5 在线性空间中，令D则D 的值域就是，D 的核就是子空间（即数域）.定义 设A是数域上线性空间的线性变换,是的一个子空间.如果中的向量在A下的像仍在中，换句话说,对于中任一向量，有A，就称是A的不变子空间，

4、简称A-子空间.例7 A的值域与核都是A-子空间.例8 若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值都是A-子空间.例9 在里, 对于向量定义内积写出柯西不等式。例1 设A=()是一个n级正定矩阵，而在中定义内积为:（1） 证明在这个定义之下，成一欧氏空间。（2） 求单位向量 的度量矩阵。（3） 具体写出这个空间中的柯西布涅柯夫斯基不等式。解：（1）只要按定义逐条验证就行。由于A是正定矩阵，是正定二次型，从而。且仅当时，。由此可见，在这一 定义下成一欧氏空间。（2）设单位向量的度量矩阵为，那么，此即B=A。（4） 柯西不等式即 略。例10 在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位

5、向量组成的正交基称为标准正交基.你会判断向量是否为标准正交基？你会判断矩阵是否为正交矩阵？（第9章习题6）例11掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）（1）设矩阵为,求一个正交矩阵，使得为对角阵.（2）设矩阵为,求一个正交矩阵，使得为对角阵.提示：计算特征值时，第3行加到第2行，再第3列的-1倍加到第2列（3）用正交线性替换化二次型为标准形。定理 设为n阶矩阵的特征值，则 （1） （2）定理 （1）矩阵A与A的转置有相同的特征值。（2）设l是矩阵A的特征值，则的特征值（其中m是正整数）。（3）是的特征值。（4）若矩阵A可逆，l是矩阵A的特征值，则是矩阵的特征值例12 已知1，2，3是3阶矩阵A的特征值，计算行列式及。空间解析几何部分（1）向量的加、减、数乘向量、向量的数量积、向量积、混合积（2）直线方程，平面方程的求法（3）点到平面的距离，直线与平面的关系，平面与平面的关系（4）直线与直线的关系。异面直线的公垂线方程（5）