流体力学课件chapter9边界层流动

1、边界层流动边界层流动 在低雷诺数的缓慢流动中，由于粘性力远大于惯性力，因此惯性力项可以从运动方程中略去，从而得到斯托克斯方程。 对于高雷诺数的势流流动，由于惯性力远大于粘性力，可以将粘性力忽略，从而得到欧拉方程。不适用于固体壁面附近。为什么在势流流动中，在壁面附近不能忽略粘性力的影响？如何正确处理壁面附近大雷诺数的流体流动问题呢？由1904年普朗特（Prandtl）提出的边界层理论来解决。边界层理论阐明了大雷诺数下，粘性力对流体流动的影响。流体在壁面附近的流动也称边界层流动。 问题的引入：问题的引入：普朗特边界层理论普朗特边界层理论一、普朗特边界层理论的要点一、普朗特边界层理论的要点 流体在壁

2、面附近存在很薄的一个流体层，称为边界层。 在边界层内垂直于流动方向上的速度梯度很大，剪应力也较大，所以不能忽略粘性力的作用。在边界层以外的区域，流体的速度梯度则很小，几乎可视为零，此时粘性力可以忽略，可以将其视为理想流体的无旋流动。u0u0u0Axc平板上边界层的形成平板上边界层的形成u0u0u0Axc大雷诺数的流动边界层边界层理论外流区欧拉方程二、边界层的形成与发展二、边界层的形成与发展 所谓边界层就是流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即所谓边界层就是流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即壁面附近速度梯度较大的薄流体层。壁面附近速度梯度较大的薄流体层。1、边界层的形成：、边界层的形成：

3、u0u0u0Axc平板上边界层的形成平板上边界层的形成u0u0u0Axc2、边界层的发展、边界层的发展由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离称为临界距离(xc)。 xc的大小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体的性质以及流速等因素有关。壁面愈粗糙、前缘愈钝，则xc愈短。对于平板壁面上的流动，雷诺数的定义为实验表明，对于光滑的平板壁面，边界层由层流开始转变为湍流的临界雷诺数范围为（21053106）。00 xxuxuRe u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axc平板上边界层的发展上边界层的发展u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axc平板上平板上当一粘性流体以均匀流速流进水平圆管时，由

4、于流体的粘性作当一粘性流体以均匀流速流进水平圆管时，由于流体的粘性作用在管内壁面处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口某一段距用在管内壁面处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口某一段距离，边界层在管中心汇合，此后便占据管的全部截面，边界层离，边界层在管中心汇合，此后便占据管的全部截面，边界层厚度即维持不变。厚度即维持不变。据此可将管内的流动分为两个区域：一是边界层汇合以前的区据此可将管内的流动分为两个区域：一是边界层汇合以前的区域，称之为进口段流动；另一是边界层汇合以后的流动，称为域，称之为进口段流动；另一是边界层汇合以后的流动，称为充分发展的流动。将入口至边界层汇合处的距离充分发展的流动。将入口至边

5、界层汇合处的距离L称为进口段长称为进口段长度。度。 管内流动边界层的形成和发展，与平板边界层相似。如下图所示，管内流动边界层的形成和发展，与平板边界层相似。如下图所示，uuuuuxcd圆管进口处层流边界层的发展圆管进口处层流边界层的发展uuuuuxcd圆管进口处层流边界层的发展圆管进口处层流边界层的发展 若来流速度较小，边界层在管中心汇合时流动为层流，则管若来流速度较小，边界层在管中心汇合时流动为层流，则管内流动继续保持层流，即维持充分发展的层流流动；若来流速度内流动继续保持层流，即维持充分发展的层流流动；若来流速度较大，则在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流较大，则在进口段内首先

6、形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流，边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流， 如下图所示。如下图所示。层流时层流时湍流时湍流时在管内流动充分发展后，流体的流动型态将不再随流动距离在管内流动充分发展后，流体的流动型态将不再随流动距离x变化，变化，此时以此时以x定义的雷诺数已不再具有湍动程度的表征意义。因此对于定义的雷诺数已不再具有湍动程度的表征意义。因此对于充分发展的管内流动，判别流动型态的雷诺数定义为充分发展的管内流动，判别流动型态的雷诺数定义为 mduRe 式中，式中，d为管内径；为管内径；um为流体在管内的平均流速或主体流速。为流体在管内的平均

7、流速或主体流速。 当当Re 4000时，管内流动为湍流。对湍流流动，进口段长度计算时，管内流动为湍流。对湍流流动，进口段长度计算尚无可靠的公式，一般可用下式估计尚无可靠的公式，一般可用下式估计 1/41.4eLRed 由于湍流时边界层厚度增长较快，所以其进口段要比层流时短。近由于湍流时边界层厚度增长较快，所以其进口段要比层流时短。近似计算时，通常取似计算时，通常取 Le = 50d。 通常将流体速度为来流速度通常将流体速度为来流速度99%时的流层距壁面的法向距离定义时的流层距壁面的法向距离定义为边界层的厚度，以为边界层的厚度，以表示。用公式可表示为表示。用公式可表示为三、边界层的厚度三、边界层

8、的厚度00.99|xuuy y 为垂直于流动方向上的距离为垂直于流动方向上的距离边界层厚度随流体的性质（如密度与粘度）、来流速度以及流动距离边界层厚度随流体的性质（如密度与粘度）、来流速度以及流动距离而变化。在板的前缘处，而变化。在板的前缘处，= 0；随着距离的增加，边界层逐渐增厚。；随着距离的增加，边界层逐渐增厚。 对于管内流动，在边界层未汇合以前，边界层厚度的定义和影响因对于管内流动，在边界层未汇合以前，边界层厚度的定义和影响因素与平板壁面相同。但流动充分发展后，边界层厚度为管的内半径，素与平板壁面相同。但流动充分发展后，边界层厚度为管的内半径，即即 ir 通常，边界层厚度约在通常，边界层

9、厚度约在10-3m的量级。的量级。四、边界层的基本特征四、边界层的基本特征 实验研究表明，对于大雷诺数下的流体流动，边界层具有以实验研究表明，对于大雷诺数下的流体流动，边界层具有以下两个基本特征：下两个基本特征：（2）边界层内的粘性力与惯性力量级相同。这是因为边界）边界层内的粘性力与惯性力量级相同。这是因为边界层内速度梯度很大，即使流体的粘度很小，但作为速度梯层内速度梯度很大，即使流体的粘度很小，但作为速度梯度与粘度的乘积度与粘度的乘积粘性力仍然不可忽略。粘性力仍然不可忽略。 （1）边界层厚度）边界层厚度 要比流场流动的特征尺寸要比流场流动的特征尺寸L小的多，即小的多，即 L。普朗特边界层方程

10、普朗特边界层方程一、普朗特边界层方程的推导一、普朗特边界层方程的推导 为了简单起见，在此仅考察不可压缩流体在无限大平板壁面上作为了简单起见，在此仅考察不可压缩流体在无限大平板壁面上作稳态流动的情形。稳态流动的情形。 u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axc平板上边界层流动上边界层流动u0u0u0层流边界层湍流边界层层流内层Axc平板上平板上xy假设流体自平板前缘至临界距离假设流体自平板前缘至临界距离xc内所形成的边界层为二维层内所形成的边界层为二维层流流动。以流动方向为流流动。以流动方向为x方向，以与壁面相垂直的方向为方向，以与壁面相垂直的方向为y方向。方向。 上一章讲过对于二维的平面流

11、动，连续性方程可以简化为上一章讲过对于二维的平面流动，连续性方程可以简化为0yxuuxy （4-1）上面的两个运动方程即为普朗特边界层方程。上面的两个运动方程即为普朗特边界层方程。2222xxxxxyuuuupuuXxyxxy （4-2）2222yyyyxyuuuupuuYxyyxy （4-3）运动方程可以简化为运动方程可以简化为方程方程(4-1)、(4-2) 和和 (4-3) 构成了一个二阶非线性偏微分方程组，构成了一个二阶非线性偏微分方程组，方程组中有方程组中有3个方程，个方程，3个未知数。从理论上来讲方程是可以求个未知数。从理论上来讲方程是可以求解的，但实际上，由于方程的非线性及原函数的

12、复杂性，方程解的，但实际上，由于方程的非线性及原函数的复杂性，方程不经简化实际上无法直接求解。不经简化实际上无法直接求解。二、普朗特边界层方程的简化二、普朗特边界层方程的简化因为方程的边界条件中不出现压力项，所以可以采用以动压力梯度因为方程的边界条件中不出现压力项，所以可以采用以动压力梯度来表示的运动方程：来表示的运动方程：2222xxdxxxyuupuuuuxyxxy （4-2a）2222yyyydxyuuuupuuxyyxy （4-3a）方程的边界条件：方程的边界条件：(1)0()0 xyu壁壁面面 ，(2)0()0yyu壁壁面面 ，0(3)xyuu ，下面根据边界层流动的特征，采用数量级

13、分析（简称量阶分析）的方下面根据边界层流动的特征，采用数量级分析（简称量阶分析）的方法对普朗特边界层方程进一步简化。在进行量级分析之前，首先作两法对普朗特边界层方程进一步简化。在进行量级分析之前，首先作两点说明：点说明： （1） （2）在对边界层流动的分析中，选取如下两个标准量阶：在对边界层流动的分析中，选取如下两个标准量阶：当选择了标准量阶以后，可以将其它物理量的量阶与标准量阶相比较当选择了标准量阶以后，可以将其它物理量的量阶与标准量阶相比较（4）y。由于在边界层范围内，。由于在边界层范围内， y由壁面处的零值变化至边界层外缘由壁面处的零值变化至边界层外缘处的处的 ，故，故y的量阶为的量阶为

14、y = O() 。 （7） 。22xuy 22222(1)1()()xxuuOOyyO （1）ux。 ux由壁面处的零值变化至边界层外缘处的由壁面处的零值变化至边界层外缘处的u0，故其量阶与，故其量阶与u0或或x的量阶相同，即的量阶相同，即O(ux) = 1。xux xux (1)(1)(1)xxuuOOxxO （2） 。将。将 写成差分形式，即写成差分形式，即 22xux 222(1)(1)()(1) (1)xxuuOOxxOO （3） 。0yxuuxy xux yuy （5）uy。由不可压缩流体的二维连续性方程。由不可压缩流体的二维连续性方程 可知，由于可知，由于 的量阶为的量阶为O(1)

15、 ，故，故 的量阶亦必为的量阶亦必为O(1) ，所以，所以uy的量阶是的量阶是O() 。xuy 11( )( )xxuuOOyyO （6） 。将以上各式代入式（将以上各式代入式（4-4），并进行量阶比较），并进行量阶比较 22221xxdxxxyuupuuuuxyxxy (1)(1) ()(1/) (1) (1/2)通过量阶比较可知，上式右侧括号内第一项通过量阶比较可知，上式右侧括号内第一项 的量阶远远小于第二的量阶远远小于第二项项 的量阶，故可将第一项从方程中消去。的量阶，故可将第一项从方程中消去。22xux 22xuy 由于由于(4-10)左侧两个惯性力的量阶均为左侧两个惯性力的量阶均为O

16、(1)，而在，而在 边界层内粘性力和惯性力同阶，故右侧粘性力项边界层内粘性力和惯性力同阶，故右侧粘性力项22xuOy =1=12221/xuOy 故这时方程可以简化为故这时方程可以简化为221xxdxxyuupuuuxyxy （4-10） 2OO 22221yyyydxyuuuupuuxyyxy (1)() () (1) (2) () (1/)根据量阶分析可知，等号右边中括号中第一项的量阶远远小于第二项根据量阶分析可知，等号右边中括号中第一项的量阶远远小于第二项的量阶，因此可以将第一项忽略，这样的量阶，因此可以将第一项忽略，这样y方向上的普朗特边界层方程可方向上的普朗特边界层方程可简化为简化为

17、(1)() () (1) (2)(1/)221yyydxyuuupuuxyyy （4-11）下面在来看一下下面在来看一下y方向上的普朗特边界层方程中各项的量阶方向上的普朗特边界层方程中各项的量阶由（由（4-11）式可知，动压力梯度项的量阶不可能超过）式可知，动压力梯度项的量阶不可能超过 阶，即阶，即1dpOy 另外，由于另外，由于y方向上的普朗特边界层方程（方向上的普朗特边界层方程（4-11）中每一项的量）中每一项的量阶均为阶均为O() 阶，而阶，而x方向上普朗特边界层方程（方向上普朗特边界层方程（4-10）中的每一）中的每一项量阶均为项量阶均为O(1)阶。由此可见，阶。由此可见，y方向上的普

18、朗特边界层方程可方向上的普朗特边界层方程可以忽略。以忽略。yOx 由由于于211ddppyOOxyx 因此因此x方向上的运动方程（方向上的运动方程（4-10）中，动压力梯度项就可以从方）中，动压力梯度项就可以从方程中略去程中略去221xxdxxyuupuuuxyxy （4-10） (1) (1) 2 (1)22xxxxyuuuuuxyy （4-10a）这样，普朗特边界层方程经简化后只剩下了这样，普朗特边界层方程经简化后只剩下了x方向上的运动方程方向上的运动方程但仅（但仅（4-10a）一个方程解不出两个未知数）一个方程解不出两个未知数ux和和uy。？这时可以考虑将（这时可以考虑将（4-10a）与

19、连续性方程（）与连续性方程（4-1）联立求解。即，）联立求解。即，22xxxxyuuuuuxyy （4-10a）x方向上简化的普方向上简化的普朗特边界层方程朗特边界层方程0yxuuxy （4-1）连续性方程连续性方程这是一个二阶非线性偏微分方程组，含有两个因变量这是一个二阶非线性偏微分方程组，含有两个因变量(ux和和uy)和两个因变量和两个因变量(x和和y) ，求解起来比较困难，因此可以考虑利，求解起来比较困难，因此可以考虑利用流函数用流函数可以将其化为一个偏微分方程。可以将其化为一个偏微分方程。22xxxxyuuuuuxyy （4-10a）三、普朗特边界层方程的求解三、普朗特边界层方程的求解

20、根据流函数根据流函数的定义，的定义，( , )( , ),xyx yx yuuyx 将其带入式（将其带入式（4-10a）中，有）中，有由于流函数由于流函数自动满足连续性方程，因此（自动满足连续性方程，因此（4-1）就已经隐含）就已经隐含在式（在式（4-12）中了。）中了。22323yx yxyy （4-12）这样由式（这样由式（4-1）和式（）和式（4-10）构成的二阶非线性偏微分方程组）构成的二阶非线性偏微分方程组就简化为一个三阶非线性偏微分方程。就简化为一个三阶非线性偏微分方程。利用流函数的概念虽然将由利用流函数的概念虽然将由(4-1)式和式和(4-10)式构成的二阶非线式构成的二阶非线性

21、偏微分方程组简化为一个三阶非线性偏微分方程性偏微分方程组简化为一个三阶非线性偏微分方程(4-12)，但，但要单纯利用数学方法求该方程仍然是非常困难的。要单纯利用数学方法求该方程仍然是非常困难的。 方程的边界条件：方程的边界条件：(1)0()00壁面 ，xyuy (2)0()00yyux 壁壁面面 ，00(3)xyuuuy ，为此，需要通过相似变换的方法将偏微分方程进一步化简为此，需要通过相似变换的方法将偏微分方程进一步化简为常微分方程。为常微分方程。下面简要介绍一下相似变换法的求解思路。下面简要介绍一下相似变换法的求解思路。相似变换的基本思想是：相似变换的基本思想是：找到一个无因次位置变量找到

22、一个无因次位置变量 ，使之与，使之与x 和和 y两个自变量同时关两个自变量同时关联起来。这样就将联起来。这样就将与与x, y之间的函数关系表示为之间的函数关系表示为与与之间的之间的函数关系函数关系 f 这样就可以把这样就可以把 关于两个自变量关于两个自变量 x，y 的偏微分方程转变成关于的偏微分方程转变成关于一个自变量一个自变量 的常微分方程。的常微分方程。 f x y其中其中0uyx 0( )fu x 令令这样，这样， 的各阶导数为的各阶导数为 0000dd( )dduffu xyuu fyyx （413）2200022d( )dufuufyxy （414）2303( )ufxy （415）

23、 000d1( ) ( )( )d2uffu xu xffxxxx （416）2000311( )22uuufyfx yxx （417）将将 的各阶导数带入（的各阶导数带入（412），并化简得），并化简得 20fff（418）相应的边界条件化为相应的边界条件化为10(00)0 xyuf （），20(00)0yyuf （），03()1xyuuf （），这样三阶非线性偏微分方程（这样三阶非线性偏微分方程（412）就化为了三阶非线性常微分方）就化为了三阶非线性常微分方程（程（418），该方程虽然从形式上看十分简单，但由于方程的非线），该方程虽然从形式上看十分简单，但由于方程的非线性，仍无法得到封闭形

24、式的解析解。性，仍无法得到封闭形式的解析解。 布拉修斯采用级数衔接法近似地求出了式（布拉修斯采用级数衔接法近似地求出了式（4-18）的解，其后又许多研）的解，其后又许多研究者采用数值积分的方法求出了该方程的数值。究者采用数值积分的方法求出了该方程的数值。 在此仅给出数值积分在此仅给出数值积分的结果的结果Blasius方程方程24568811( )0.166034.5493 102.4972 101.4727 10f 由此可解得不同的由此可解得不同的 值所对应的值所对应的 f、f 和和 f 值，也就得到了各处的值，也就得到了各处的速度分布。速度分布。 ffffff00.20.40.60.81.0

25、1.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.400.006640.026560.059740.106110.165570.237950.322980.420320.529520.650030.781200.922301.072521.23.991.396821.569111.746961.929542.116052.305762.498062.6923800.066410.132770.198940.264710.329790.393780.456270.516760.574770.629770.681320.728990.772460.

26、811520.846050.876090.901770.923330.941120.955520.966960.975870.332060.331990.331470.330080.327390.323010.316590.307870.296670.282930.266750.248350.228090.206460.184010.161360.139130.117880.098090.080130.064240.050250.038974.64.85.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.07.27.47.67.88.08.28.48.68.82.888263.085

27、343.283293.481893.680943.880314.079904.279644.479484.679384.879315.079285.279265.479255.679245.879246.079236.279236.479236.679236.879237.079230.982690.987790.991150.994250.996160.997480.998380.998980.999370.999610.999770.999870.999920.999960.999980.999991.000001.000001.000001.000001.000001.000000.02

28、9480.021870.015910.011340.007930.005430.003650.002400.001550.000980.000610.000370.000220.000130.000070.000040.000020.000010.000010.000000.000000.00000为应用方便，将上式各对应值列成表格形式，如下表所示。为应用方便，将上式各对应值列成表格形式，如下表所示。 四、普朗特边界层方程的应用四、普朗特边界层方程的应用2、求边界层的厚度、求边界层的厚度由边界层厚度的定义可知，当时由边界层厚度的定义可知，当时ux/u0=0.99时，壁面的法向距离时，壁面的法向

29、距离 y 即即为边界层厚度为边界层厚度。参见上表，当时。参见上表，当时ux/u0 = f = 0.99115时，时， = 5.0。所以有所以有05.0 xu 将上式写成无因次形式将上式写成无因次形式1/2005.05.05.0 xRexxuxu （4-21）1、求边界层速度、求边界层速度将流函数的定义式带入（将流函数的定义式带入（4-13）和（）和（4-16）式得）式得00( )ddxfuuu fy （4-19）01 ( )( )2yuuffxx （4-20）05.0ux 由此可得由此可得 3、求流动阻力、求流动阻力流体的流动阻力来自于壁面的剪应力，根据牛顿粘性定律，壁面流体的流动阻力来自于壁

30、面的剪应力，根据牛顿粘性定律，壁面剪应力剪应力,0ddxw xyuy 200200d(0)dxyyuuufyxy 而而(0)0.332f 根据上表中的数据，有根据上表中的数据，有根据阻力系数的定义，可得距平板前缘根据阻力系数的定义，可得距平板前缘x处的局部摩擦阻力系数为处的局部摩擦阻力系数为 21/20,00(0)0.332w xxuufu Rex 于是有于是有（4-22）,1/2,2020.664w xD xxCReu （4-23）,0ddLdw xw xAFAbx 将壁面剪应力的公式（将壁面剪应力的公式（4-22）带入，并积分得）带入，并积分得平均阻力系数平均阻力系数CD为为 上述结果称为

31、布拉修斯解。其在层流范围内与实验数据上述结果称为布拉修斯解。其在层流范围内与实验数据吻合得很好，但在平板前沿处不成立。吻合得很好，但在平板前沿处不成立。?不成立的原因是量级关系不成立的原因是量级关系x在该处不成立。在该处不成立。 30000d0.3320.664LduxFbubLux （4-24）301/222002 0.66421.328dDLbLuFCReu Au bL （4-25）当流体在一宽度为当流体在一宽度为b、长度为、长度为L的平板壁面上流过时，流体对的平板壁面上流过时，流体对板面施加的总曳力板面施加的总曳力Fd(主要由摩擦曳力构成主要由摩擦曳力构成)可表示为可表示为 在平板前缘处

32、，平板边界层的阻力系数需要利用高阶边界层理在平板前缘处，平板边界层的阻力系数需要利用高阶边界层理论加以修正，我国力学家郭永怀研究得出的修正公式为：论加以修正，我国力学家郭永怀研究得出的修正公式为：1.3284.12ReReDLLC该公式的适用范围：该公式的适用范围：5ReL100。例：例：25的空气在常压下以的空气在常压下以6m/s的速度流过一平板壁面。试求距平壁的速度流过一平板壁面。试求距平壁前缘前缘0.15m处的边界层厚度，并计算在该处距平壁壁面处的边界层厚度，并计算在该处距平壁壁面1mm处的处的ux，uy及速度梯度及速度梯度ux/y。空气的运动粘度为。空气的运动粘度为1.5510-5m2

33、/s，空气的密，空气的密度为度为1.185kg/m3。解：首先计算一下距平板前缘解：首先计算一下距平板前缘0.15m处的雷诺数，以确定流型处的雷诺数，以确定流型450050.15 6Re5.806 102 101.55 10 xxuxu （1）计算边界层的厚度）计算边界层的厚度由（由（4-21）得）得1/ 241/ 235.050.15 (5.806 10 )3.11 103.11xxRemmm （2）计算距平壁壁面）计算距平壁壁面1mm处的处的ux，uy及速度梯度及速度梯度ux/y。先求先求 0560.0011.6061.55 100.15uyx 于是，于是，06 0.5163.096/xu

34、u fm s 50116 1.55 10()(1.6060.5160.420)220.150.00493/yuuffxm s 2310025660.2962.86 101.55 100.15xuuufsyyx 由此可见，由此可见，uyux，因此，因此y方向上的流动可以忽略。方向上的流动可以忽略。查表得，当查表得，当 =1.6时，时，f = 0.42, f = 0.516, f = 0.296卡门边界层动量积分方程卡门边界层动量积分方程 描述边界层流动的普朗特方程虽然比奈维描述边界层流动的普朗特方程虽然比奈维-斯托克斯方程简单，斯托克斯方程简单，但由于方程的非线性及原函数的复杂性，使得求解过程非

35、常复杂，并但由于方程的非线性及原函数的复杂性，使得求解过程非常复杂，并且只适用于少数几种简单的流动情形。工程中遇到问题大多是很复杂且只适用于少数几种简单的流动情形。工程中遇到问题大多是很复杂的，直接求解普朗特边界层方程相当困难，为此人们不得不采用各种的，直接求解普朗特边界层方程相当困难，为此人们不得不采用各种近似求解的方法。近似求解的方法。一、卡门边界层动量积分方程的推导一、卡门边界层动量积分方程的推导为简单起见，本节以不可压缩流体沿壁面作稳态流动为例进行讨为简单起见，本节以不可压缩流体沿壁面作稳态流动为例进行讨论。论。 冯冯卡门根据动量守恒定律和边界层的基本特点，避开奈维卡门根据动量守恒定律

36、和边界层的基本特点，避开奈维-斯托斯托克斯方程，直接对边界层进行动量微分衡算，并在此基础上建立了克斯方程，直接对边界层进行动量微分衡算，并在此基础上建立了边界层动量积分方程。边界层动量积分方程。 如右图所示，密度为如右图所示，密度为、粘度为、粘度为的不的不可压缩流体在光滑壁面上流动，设边可压缩流体在光滑壁面上流动，设边界层外的来流速度为界层外的来流速度为 u0，距平板前缘，距平板前缘位置位置 x 处的边界层厚度为处的边界层厚度为。 在板的宽度方向取单位厚度（在板的宽度方向取单位厚度（z1）。在距壁面前缘）。在距壁面前缘 x 处，取微元控处，取微元控制体制体ABCDA。将动量守恒定律应用于此微元

37、控制体，有：将动量守恒定律应用于此微元控制体，有：如果只考虑如果只考虑x方向上的受力情况，则有方向上的受力情况，则有d()dmuFt （4-24）d()dxxmuFt （4-25）yxo0uABCDdxxux下面逐一考察微元体的下面逐一考察微元体的4个面的动量变化情况。个面的动量变化情况。 （1）AB截面：在沿壁面的法向距离截面：在沿壁面的法向距离 y 处，取微分高度处，取微分高度dy，则通过微元截面，则通过微元截面dy 1 流入的质量流率为流入的质量流率为 ，而通，而通过该微元截面流入的动量流率为过该微元截面流入的动量流率为 。因此，流入整个截面质量流率和动量流因此，流入整个截面质量流率和动

38、量流率分别为：率分别为： d1xuy 2d1xuy 0d1ABxmuy （4-26）20d1ABxJuy （4-27）（2）CD截面：从截面：从CD截面（截面（x+dx处）流出的质量流率和动量流率可由处）流出的质量流率和动量流率可由在在AB截面（截面（x处）上的质量流率和动量流率的一阶泰勒展开得到。处）上的质量流率和动量流率的一阶泰勒展开得到。20dd1 dABxCDABABJJJxJuyxxx 0dd1 dABxCDABABmmmxmuyxxx （4-28） （4-29）yxo0uABCDdxxux（3）AD截面：因为是固体壁面，所以截面：因为是固体壁面，所以AD截面上不存在流体质量和动量的

39、流截面上不存在流体质量和动量的流入与流出。入与流出。 （4）BC截面：根据质量守恒定律，在稳态截面：根据质量守恒定律，在稳态下由此截面流入的质量流率应为下由此截面流入的质量流率应为CD截面流截面流出的与出的与AB截面流入的质量流率之差，即截面流入的质量流率之差，即 由于该截面取在边界层外缘处，故此处的流体均以速度由于该截面取在边界层外缘处，故此处的流体均以速度u0流入控制体内，流入控制体内，于是从该截面流入的动量流率为于是从该截面流入的动量流率为 01ddxBCCDABmmmu yxx （4-30）000d 1 dxBCBCJm uu u yxx （4-31）微元控制体内的净动量变化速率为：微

40、元控制体内的净动量变化速率为：“流入流入”“流出流出”。即，。即， 200000d()d1 dd1 dd ()ddxABCDBCxxxxmuJJJuyxuu yxtxxu uuyxx （4-32）yxo0uABCDdxxuxFx=?作用于控制体上的力有壁面摩擦力和流体静压作用于控制体上的力有壁面摩擦力和流体静压力，流体微元在各个面上的受力分析如下：力，流体微元在各个面上的受力分析如下：（2）AB面：由于面：由于AB面与流动方向垂直，因此只受到左侧流体施加的面与流动方向垂直，因此只受到左侧流体施加的正压力，而不受摩擦剪应力作用，压力的大小为正压力，而不受摩擦剪应力作用，压力的大小为(1)ABFp

41、p（3）CD面：同样，由于面：同样，由于CD面垂直于流动方向，因此也只受到右侧流面垂直于流动方向，因此也只受到右侧流体施加的正压力，力的大小为体施加的正压力，力的大小为()dCDpFpxx d1dwwADFxx “”代表力的方向与流动方向相反代表力的方向与流动方向相反（1）AD面：由于是壁面，面：由于是壁面，AD面仅受摩擦剪应力的作用，即面仅受摩擦剪应力的作用，即yxo0uABCDdxxux（4）BC面：因该截面与边界层以外的流体没有速度梯度，剪应力为面：因该截面与边界层以外的流体没有速度梯度，剪应力为零，因此也仅受到周围流体的正压力作用，作用力的大小为：零，因此也仅受到周围流体的正压力作用，

42、作用力的大小为： “” 代表力的方向与流动方向相反代表力的方向与流动方向相反(d1)dBCFpxpxxx 所以流体微元受到的合外力为所以流体微元受到的合外力为()ddddABCDBCADxwwFFFFFppppxpxxxxxx （4-33）000d1()ddxxxyupuu uyxxy 0ddxywuy 将将 代入（代入（4-34）式得）式得d()dxxmuFt 00()dxxwpuu uyxx （4-34）通过比较各项的量阶，上式可以简化为通过比较各项的量阶，上式可以简化为000d()ddxxxyuuu uyxy （4-35） 上式即为卡门边界层动量积分方程。在该方程的推导过上式即为卡门边界

43、层动量积分方程。在该方程的推导过程中并没有规定边界层内流体流动的型态，故无论对于层程中并没有规定边界层内流体流动的型态，故无论对于层流边界层还是湍流边界层均适用。但求解时要分别代入层流边界层还是湍流边界层均适用。但求解时要分别代入层流流分布分布或湍流速度或湍流速度分布分布方程。此外，该方程也可用于曲面方程。此外，该方程也可用于曲面物体边界层。物体边界层。 由于在边界层内由于在边界层内21pOx 31pOx 所所以以000d1()ddxxxyupuu uyxxy (1)-(1)(1)() 3 2(1/) (1)二、卡门边界层动量积分方程的求解二、卡门边界层动量积分方程的求解 从式（从式（4-35

44、）中可以看出，只要将速度分布，亦即）中可以看出，只要将速度分布，亦即uxy之间的函之间的函数关系式带入方程中，然后积分就可以得到卡门边界层动量积分方数关系式带入方程中，然后积分就可以得到卡门边界层动量积分方程的解析解。程的解析解。 从理论上讲，边界层的速度分布可以通过求解边界层的运动方程从理论上讲，边界层的速度分布可以通过求解边界层的运动方程和连续性方程得到，但这样问题又回到了出发点，即普朗特边界层和连续性方程得到，但这样问题又回到了出发点，即普朗特边界层方程的求解问题。方程的求解问题。 边界层内的速度分布可以用边界层内的速度分布可以用 n 次多项式来逼近。多项式的级数次多项式来逼近。多项式的

45、级数越多，就越接近原函数越多，就越接近原函数。实际上，对于层流边界层，用四阶多项式实际上，对于层流边界层，用四阶多项式来逼近边界层的速度分布就已经很接近了。于是，可假定边界层内来逼近边界层的速度分布就已经很接近了。于是，可假定边界层内的速度分布为的速度分布为23xuabycydy （4-36）0,0 xyu 壁面上流体不滑脱壁面上流体不滑脱22d0,0dxuyy 0,xyuu d,0dxuyy 22xxxxyuuuuuxyy 将上述边界条件带入（将上述边界条件带入（4-36）可以求得多项式各项的系数）可以求得多项式各项的系数00330,0,22uuabcd 于是，边界层内的速度分布可表示为于是

46、，边界层内的速度分布可表示为303122xyyuu （4-37）边界条件：边界条件：将速度分布方程式（将速度分布方程式（4-37）带入边界层动量积分方程式（）带入边界层动量积分方程式（4-35）2000d39d()dd280dxxuu uyuxx （4-38）2000300d333d222xyyuuuuyy （4-39）于是有：于是有：20039d3280d2uux （4-40）右侧求微分得右侧求微分得:000d()ddxxxyuuu uyxy （4-35）左侧求积分得左侧求积分得上式是一个一阶常微分方程，对上式进行积分，上式是一个一阶常微分方程，对上式进行积分， 并将边界条并将边界条件件x

47、= 0， = 0带入得，带入得，04.64xu （4-41）写成无因次形式为写成无因次形式为 1/2004.644.644.64xRexxuxu （4-42）0140dd13xu 分离变量得分离变量得1/2005.05.05.0 xRexxuxu （4-21）与求解普朗特边界层方程得到的精确解与求解普朗特边界层方程得到的精确解相比，可见二者相当接近相比，可见二者相当接近二、卡门边界层方程的应用二、卡门边界层方程的应用求摩擦阻力和阻力系数求摩擦阻力和阻力系数摩擦阻力来自于壁面剪应力摩擦阻力来自于壁面剪应力wx21/200,000d330.323d224.64/xw xxyuuuu Reyx u

48、将（将（4-39)式和（式和（4-41）式带入牛顿粘性定律得）式带入牛顿粘性定律得距平板前缘距平板前缘x位置处的局部摩擦阻力系数位置处的局部摩擦阻力系数CDx为为,1/2,2020.646w xD xxCReu 流体流过长度为流体流过长度为L、宽度为、宽度为b的平板壁面所受的总阻力为的平板壁面所受的总阻力为 30,0000dd0.3230.646LLdw xuxFb xbubLuvx 所以，平均阻力系数为所以，平均阻力系数为 301/222002 0.64621.292dDLbLuFCReu Au bL 其中，其中，0LLuRe 注意：上述公式仅适用于流体在边界层作层流流动注意：上述公式仅适用

49、于流体在边界层作层流流动 ?例例:常压下温度为常压下温度为20的空气以的的空气以的 5m/s 的流速流过一块宽的流速流过一块宽1m的平板壁的平板壁面。试计算距平板前缘面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层的质量流处的边界层厚度及进入边界层的质量流率，并计算该段平板壁面的阻力系数和承受的摩擦曳力。设临界雷率，并计算该段平板壁面的阻力系数和承受的摩擦曳力。设临界雷诺数诺数Rexc= 5105。已知空气在。已知空气在 20 和和 1atm 下的密度和粘度分别下的密度和粘度分别为为1.205 kg/m3 和和 1.8110-5 Pas。 解：（解：（1）判断）判断 x=0.5m 处边界层的流型处边界层的流型55050.5 5 1.2051.664 105 101.81 10 xxuRe 所以边界层流动为层流所以边界层流动为层流（2）求边界层厚度）求边界层厚度 1/ 251/ 24.644.640.5(1.664