初一数学竞赛系列讲座(12)相交线、平行线

1、初一数学竞赛系列讲座(12)相交线、平行线、知识要点:1 .平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2 .两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有 一个交点。3 .垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2) 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 .在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找 出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的 平行线的判定定理和性质定理。5 .利用平行公理及其推论证明或求解。二

2、、例题精讲 例 1.如图（1）,直线 a 与 b 平行,/ 1 = （3x+70）° , Z 2=（5x+22）求/ 3的度数。解：:all b,/3=/4 (两直线平行，内错角相等)Z1 + Z3=Z2+Z4=180° (平角的定义)Z1 = Z 2 (等式性质)则 3x+70 = 5x+22 解得 x=24即/ 1= 142°Z3= 180° -/1 = 38°图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程(组)，是几何计算常用的方法。例 2.已知：如图（2）, AB/EF/CD, EG 平分/ BEF , / B+/ BED+/ D =19

3、2/B-/D=24° ,求/ GEF 的度数。解： AB / EF / CD，/B=/BEF, /DEF=/D （两直线平行，内错角相等）. / B+ Z BED+ / D =192° （已知）即/ B+ / BEF+ / DEF+ Z D=192 °.-2 （/B+/D） =192° （等量代换）则/ B+/D=96° （等式性质）/B-/D=24° （已知）图（2），/B=60° （等式性质）即/BEF=60° （等量代换）EG平分/ BEF （已知）/ GEF= 1 / BEF=30 ° （角平分线

4、定义）2例 3.如图（3）,已知 AB / CD,且/ B=40° , / D=70 ° ,求/ DEB 的度数。解：过E作EF / ABAB / CD （已知）C 57DEF/ CD （平行公理）/ BEF= / B=40° / DEF= / D=70 ° （两直线平行，/A ；一 B内错角相等)/ DEB= / DEF- / BEF/ DEB = / D- / B=30°评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角 图(3)例4.已知锐角三角形 ABC的三边长为a, b, c,而ha, 求证：ha+hb+hcV a+b+c分析：

5、对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，ha< c , hb< a, hc< b以上三式相加得 ha+hb+hcV a+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 .以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 .垂线段最短。例5.如图(4),直线 AB与CD相交于 O, EFTAB于F, 求证EF与GH必相交。,则应添出辅助线。hb, hc分别为对应边上的高线长,GH?CD 于 H,分析：欲证 法。证明：假设EF、EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证EF与GH不相交。GH是两条不同的直线EF/GHEF ABGH AB 又因GH CD 这与已知AB故A

6、B / CD (垂直于同一直线的两直线平行 和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：(1)垂直于同一条直线的两直线平行。(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6.平面上n条直线两两相交且无 3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上 3条直线共有1+2=3个交 点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上 4条直线共有1+2+3=6个 交点；则 n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)= 1 n(n-1)评注：此题是平面

7、上 n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例7. 6个不同的点，其中只有 3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的 3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为 15-2=13条。另法：3点所在的直线外的 3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3X3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上 n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+ +(n-1)= 1 n(ni)例8. 10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解

8、：2条直线最多将平面分成 2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段,每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成 2+2+3+4=11个不同区域；10条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+ n(n+1)= (n2+n+2)块不同22的区域1800思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 例9.平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于证明：平面

9、上n条直线两两相交最多得对顶角n(n-1) x2=n(n-1)对，即2n(n-1)个角2平面上任取一点 O,将这n条直线均平行移动过点O,成为交于一点。的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆周角分为 2n个(共n对)互不重叠的角：1、：2、：3、：2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这 2n个角 均是原2n(n-1)个角中的角。 18001800右这 2n 个角均大于 ,贝U ? + ?2+?+?2n >2nx =360而 ？+?+?+ + % =360° ,产生矛盾?、2、%、%中至少有一个小于0180n即原来的2n(

10、n-1)中至少有一个角不小于1800评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10. (a)请你在平面上画出 6条直线(没有三条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。(b)能否在平面上画出 7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：(a)在平面上任取一点 A。过A作两直线 m1与n1。在 】 上取两点B, C,在 m1上取两点 D, G。过B作m2 / m1，过C作m3 / m1，过D作n2H ni,过G作n3H n1，这时m2、m3、血、n3交得E、F、H、I四点，如

11、图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有 3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出 7条直线，其中每一条都恰与其它 3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有 3X7=21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这 7条直线交点总数为 21 =10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的、巩固练习27条直线是画不出来的。选择题1 .平面上有5个点，其中（）条A. 6

12、B. 7 C. 8仅有3点在同一直线上，过每 2点作一条直线，一共可以作直线D. 92 .平面上三条直线相互间的交点个数是A. 3 B. 1 或3 C. 1 或 2或 3( )D.不一定是1, 2, 33 .平面上6条直线两两相交，其中仅有 3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（A. 36 条 B. 33 条C. 24 条 D . 21 条4 .已知平面中有n个点A, B,C三个点在一条直线上，A,D, F, E四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出 38条不同的直线，这时 n等于（）(A) 9(B) 10(C) 11(D) 125.若

13、平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角（）A. 4对6.如图,A. 90°B. 8 对 C. 12 对 D. 16对已知 FD/BE,贝U/1 + /2-/3=()B. 135°C.150°D. 180°E与/ F的大小关系7 .如图，已知 AB /8 .平面上有5个点，每两点都连一条直线,问除了原有的交点9 .平面上3条直线最多可分平面为个部分。10 .如图，已知 AB / CD / EF, PS EH 于 P, / FRG=110则/ PSQ=11 .已知A、B是直线L外的两点，则线段 AB的垂直平分线与直线的交点个数是5点之外这些直线最多还o12.平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数C不会超过 个。13.已知：如图,DE / CB ,求证：/ AED= / A+ / B14 .已知：如图， AB / CD,求证：/ B+/D+/F=/E+/GA第13题 ,一第14题15 .如图，已知 CB?AB , CE平分/ BCD, DE平分/ CDA , /EDC+/ECD =90 °