奥数新讲义锐角三角函数1学

1、第五讲锐角三角函数 1一、锐角三角函数的定义锐角a （0° a 90°）的三角函数有：sina = Ða所对的直角边对边正弦：（简记为：）斜边斜边Bacosa =Ða相邻的直角边邻边余弦：（简记为：）c斜边斜边Ða所对的直角边对边正切： tana =Ða（简记为：）相邻的直角边邻边CAbcota = Ða相邻的直角边邻边余切：（简记为：）Ða所对的直角边对边斜边斜边正割： seca =（简记为：）Ða所对的直角边对边斜边斜边余割： csca =（简记为：）Ða相邻的直角边例如：如图，在 RtAB

2、C 中，C=90°，则sina = a , cosa = b , tana = a , cota = b邻边ccba这就是直角三角形的边角关系.二、锐角三角函数的性质1增减性结论：当角度在 0°90°间变化时，正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小.ìaÛ即 0° 90°bíî2A 为锐角时0 < sin A < 1 ， 0 < cos A < 1， tan A > 0 ， cot A > 03锐角三角函数之间的关系，sin a = cos(90

3、 - a );cosa = sin(90 - a );cot a = tan(90 - a );（1）tan a = cot(90 - a );asinacosatanacota30°123233345°22221160°3212333（2） sin2 A + cos2 A = 1sina cosacosa sina（3） tana =cot a =tana ×cot a = 1;（4） sin a = sin(180- a )cosa = -cos(180-a )三、例题例 1已知：Rt D ABC 中，C= 90° ，BC= 5 ，AC=2

4、 5 ，求：B 的四个三角函数值。例 2RtABC 中，C=90°，若 sinA4 ，AB10，那么 BC，tanB 5Ba CAb例 3若 tan·tan16°1，且 为锐角，则 例 4设 、 互为余角，则 tan·tancot 2例 5计算下列各题：（1） sin 45° cos 60° 1 tan 30° ·cos 30° 2 sin 20° ；cos 70°3tg60° sin2 32° sin2 58°（2）2(sin 60° - si

5、n 45°)ca0°30°45°60°90°120°135°150°180°sina012223213222120cosa132221201222321tana03313不 31330cota不31330331 3不4cos30°sin 60° + (-2)-1 - ( 2009 - 2008)0 =_（3）1 ö-1æ| 3 - 2 | +20090 - ç -+ 3 tan 30°（4）÷è3 ø

6、30; 1 ö02sin 60°- 3 tan 30°+ ç+ (-1)2009（5）÷è 3 ø2a + 2a(+a + 1) ¸a -1（6）先化简再求代数式的值其中 atan60°2sin30°2a - 1例 6计算 cos21°cos22°··· cos288°cos289°1tan a4 3例 7已知：为锐角，且 tan+=，求 sin的值.3例 8已知方程 x25x·sin10 的一个根为 2 3 ，且为

7、锐角，求 tan的值；例 9已知ABC 中，C90°，A45°，BD 为 AC 边上中线，求 sinABD 和 tanABD 的值。例 10如图，ABCBCD90°，AB8，sinA3 ，CD2 3 ，求CBD 的四个三角函数值。5四、练习1Rt D ABC 中，C= 90° ，AB=12，则 sinA 的值（ ）；1（A）22232（D）1（B）（C）2已知 0 90° ，下列各式一定成立（A）sin·cos1（B）tan·ctan1）；（C）sin·cos1（D）tan·ctan13在 Rt D AB

8、C 中，ACB= 90° ，CDAB 于 D，则 tanB 的值（）.BCACADCDADBDCDAD（A）（B）（C）（D）cos 60°14计算·的值是（）；1 + sin 60° tg30°（C）2 2 +（B） 433（D） 313（A）2 3 33325在 Rt D ABC 中，C= 90° ，sinA = 2 ，则 tanB 是（ ）.3253（A）55352（B）（C）（D）6在 D ABC 中，AB=AC，ABBC=31，求 sin A 和 tanB 的值；27已知：在 D ABC 中，BAC= 90° ，A

9、DBC 于 D，BD=6，CD=2，求 tanC 和 sinB 的值；8已知 sincos 2 ，求 sin·cos的值；9已知2sin2 a - 5sina cosa + 4 cos2 a = 3 ，且0 < a < 90 ，求 tan的值；10已知 2 3 是方程 x28x·cos10 的一个根，且是锐角，求 tan 3 a 的值；4511在ABC 中，C90°，若 tan A =，那么sin B 的值等于（12）5131213512125ABCDtan 45 - cos 60×cot 30 的结果为（12计算）sin 601B32D3

10、-13 - 3A1C 23213已知 tana =，则锐角的取值范围是（）3A0°a 30°B30°a 45°C45°a 60°D60°a 90°14已知 tana + cot a = 2 ，且a 为锐角，则sina + cosa （）1A222C 2D1B15RtABC 中，C90°，下列结论中错误的是（ ）A0sinA 1B0cosA1C0tanA1D0cotA16已知a 为锐角，下列结论（1）sina cosa 1；（2）若a 45°，则 sina cosa ；（3）若 cosa1>

11、 ，则a 60°；（4） (sina -1)2 = 1- sin a .其中正确的有（ ）2A1 个B2 个C3 个D4 个17若A，B 是 RtABC 的两个锐角，则关于 x 的方程 tan A× x2 - 4x + tan B = 0 的根的情况为（）A有两个不相等的实数根C没有实数根B有两个相等的实数根D不能确定18已知关于 x 的方程 x2 - (a +1)x + b = 0 的两根是一个直角三角形两锐角的正弦值，且 a - 5b + 2 = 0 ，则 a、b 的值分别为（）ì a = 2ì a = 2ì a = 1ìa = -2ìa = -2ïïï5122551225A íBíC ííD í3b =或b = 0b = 0îîïb =ïb =ïî5ïî&