第二章 随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布一、教材说明本章内容包括随机变量及其分布函数，离散随机变量及其概率分布列，连续随机变量及其概率密度函数，随机变量的数学期望、方差和标准差及其性质，切比雪夫不等式，常用离散随机变量的分布和连续随机变量的分布，随机变量函数的分布等。随机变量及其分布是基础，随机变量的数字特征是分支，常用随机变量的介绍是应用。1教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；（2）使学生理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；（3）使学生会计算随机变量的数学期望、方差和标准差

2、等；（4）使学生熟练掌握（0-1）分布、二项分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等；（5）使学生会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。本章的教学要求是：（1）理解随机变量及分布函数的概念，会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；（2）熟练掌握（0-1）分布、二项分布和正态分布、指数分布、均匀分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；（3）应用公式求解随机变量函数的概率分布。2本章的重点与难点本章的重点难点是理解随机变量密度分布函数的概念；掌握（0-1）分布、二项分布、正态分布、指数分布和均匀分布；重点掌握离散和连续随机变量相互独立的条件；掌握期望、方差的概念和计算，以及随

3、机变量函数的计算。三、教学内容本章共分随机变量及其分布、随机变量的数学期望、随机变量的方差与标准差、常用离散分布和随机变量函数的分布等6节来讲述本章的内容。2.1 随机变量及其分布本节包括随机变量的的概念，随机变量的分布函数、离散随机变量的概率分布列和连续随机变量的概率密度函数。主要介绍随机变量的概念及分布函数的概念，学习两类不同的随机变量及其概率分布。一、随机变量的概念定义 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。假如一个随机变量仅取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量,假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,

4、b),则称其为连续随机变量,其中a可以是-,b可以是+.二、随机变量的分布函数1.定义 设X是一个随机变量,对任意实数x,称 为随机变量X的分布函数,且称X服从,记为X.有时也可用表明是X的分布函数.2.例 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数,并求P(X>).分析 略.解 略.3.定理 任一分布函数都有如下三条基本性质:（1）单调性: 是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有；（2）有界性:=；=。（3）右连续性:是x的右连续函数，即对任意的，有 ，即 。 证明 略。 注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定

5、义，可以计算：，等。三、离散随机变量的概率分布列定义 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是，则称X取的概率 为X的概率分布列或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示： 2.分布列的基本性质 (1)非负性：(2)正则性：注 离散随机变量的分布函数为：。3.例 设离散随机变量X的分布列为，试求，并写出X的分布函数。 解 略。四、连续随机变量的概率密度函数1. 定义 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意，有，则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数。2、密度函数的基本性质（） 非负性：；（） 正则性：； 3、例 已知随机变量的密度函数为

6、试求的分布函数。解 略。小结 注意分析“分布列”与“密度函数”的异同点。2.2 随机变量的数学期望 本节内容包括数学期望的概念、定义和性质等。主要介绍数学期望的概念、性质及其运算。一、数学期望的概念1.数学期望又称期望或均值，来源于历史上著名的分赌本问题：17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（1623-1662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定谁先赢三局，则得全部赌本100法郎。当甲赢了二局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。问这100法郎如何分才算公平？分析 略。解 略。2.数学期望是一种加权平均。二、数学期望的定义1.定义 设

7、离散随机变量X的分布列为 如果 ，则称 为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称X的数学期望不存在。2.定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果 ，则称 为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若不收敛，则称X的数学期望不存在。3.例 设X服从区间上的均匀分布，求。解 略。二、数学期望的性质1.基本性质 （）若是常数，则（）（）对任意的常数，（）（）对任意的两个函数，有。2.定理 若随机变量的分布用分布列或用密度函数表示，则的某一函数的数学期望为 证明 略。 2.3 随机变量的方差与标准差 本节内容包括方差与标准差的定义、方差的

8、性质和切比雪夫不等式等。主要介绍方差的定义、性质和切比雪夫不等式的内容和应用。一、方差与标准差的定义1.定义 若随机变量的数学期望存在，则称偏差平方的数学期望为随机变量X的方差或该分布的方差，记为称方差的正平方根为X的标准差或该分布的标准差，记为或。2.例 下面是三角分布，均匀分布和倒三角分布的密度函数，分别计算它们的方差。解 略。3.方差的基本性质（1）；(2) ,其中c为常数;(3) 是常数。证明 略。二、切比雪夫不等式 1. 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数，有 ，或 。 证明 略。 2.定理 若随机变量X的方差存在，则的充要条件是X几乎处处为某个常数，

9、即。证明 略。2.4 常用离散分布 本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布，主要介绍二项分布和泊松分布。一、二项分布1.定义 如果随机变量X的分布列为 则称这个分布为二项分布，记为。2.二项分布举例 不合格率；色盲率；射击命中率等。3.例 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？分析 略。解 略。4.二项分布的数学期望与方差若，则。计算 略。注 二项分布可看作个（）分布的叠加。二、泊松分布1.定义 如果随机变量X的分布列为 ，其中参数，则称这个分布为泊松分布，记为。2.泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；1平方米上的砂眼数

10、等。3.泊松分布的数学期望与方差若，则。计算 略。4.例 一铸件上的砂眼（缺陷）数服从P（0.5），试求此铸件上至多有1个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率。解 略。5.二项分布的泊松近似定理 在n重伯努利实验中，记事件A在一次实验中发生的概率为（与n有关），如果当时，有，则 。证明 略。注 当n愈大，p愈小，近似程度愈好。例 已知某疾病的发生率为0.001，某单位共有5000人。问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率？解 略。2.5 常用连续分布 本节主要内容包括正态分布、均匀分布、指数分布、分布和分布。主要介绍正态分布、均匀分布和指数分布。 一、正态分布1.定义 若

11、随机变量X的密度函数为 ,则称X服从正态分布，称X为正态变量，记为。其中参数，。 正态分布的分布函数为：。其中，称为位置参数，称为尺度参数。标准正态分布定义 称的正态分布为标准正态分布。的密度函数和分布函数分别为： ，。例 设，利用附表2，求下列事件的概率：（1）（2）（3）（4）（5） 解 略。一般正态分布的标准化定理 若，则。证明 略。例 若,求：(1)(2)常数，使得解 略。4.正态分布的数学期望与方差若，则计算 略。5.正态分布的原则设，则由此可见，正态变量的99.73%的值落在内，这个性质被称为正态分布的原则。二、均匀分布.定义 若随机变量的密度函数为 则称服从区间上的均匀分布，记为

12、。均匀分布的分布函数为2.均匀分布的数学期望与方差若，则计算 略。三、指数分布1.定义 若随机变量的密度函数为： 则称服从指数分布，记作。其中，参数。指数分布的分布函数为：.指数分布的数学期望与方差若，则。计算 略。3.指数分布的无记忆性定理：如果，则对任意的s>0,t>0,有 。分析 略。证明 略。例 如果某设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从，则相继两次故障之间的时间间隔服从。证明 略。2.6 随机变量函数的分布本节内容主要包括离散随机变量函数的分布和连续随机变量函数的分布。主要介绍离散、连续随机变量函数分布的求法一、离散随机变量函数的分布1.定义 设是离散随机变量，的分布列为，则()也是一个离散随机变量，此时的分布为 。当中有某些值相等时，则将它们合并，将概率值相加即可。2.例 已知X的分布列如下，求的分布列。 解 略。二、连续随机变量函数的分布.当严格单调时（1）定理 设是连续随机变量，其密度函数为,是另一个随机变量。若严格单调，其反函数有连续导函数，则的密度函数为其中，。证明 略。（