普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案全解析)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学数学试题卷理工农医类>共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1 .答题前，务必将自己的、号填写在答题卡规定的位置上.2 .答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3 .答非选才!题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4 .所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5 .考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共10小题每小题

2、5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.<2015,理1>已知集合A=1,2,3,B=2,3,则<>A.A=BB.AAB=?C.A?BD.B?A答案:D解析:因为A=1,2,3,B=2,3,所以B?A.2.<2015,理2>在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则a6=<>A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因为an是等差数列所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2x2-4=0.3.<2015,理3>市20XX各月的平均气温<C>数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是<

3、;>A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图可知，这组数据的中位数为0=20.山4.<2015,理4>"x>1"是"loYx+2><0"的。A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由lo<x+2><0可彳#x+2>1,即x>-1,而x|x>1?x|x>-1,所以"x>1"是"lo<x+2><0"的充分不必要条件.5.<2015,理5>某

4、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为<>A3+TtB.'+TttiC.3+2TID/+2TI答案:A解析:由三视图可知，该几何体是一个组合体，其左边是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形<斜边长等于2>,高为1,所以体积Vi=&x2x2X1X14淇右边是一个半圆柱，底面半径为1,高为2,所以体积V2=Tt1-22,;&所以该几何体的体积V=V1+V2=+兀6.<2015,理6>若非零向量a,b满足|a|=|b|,且<a-b>，<3a+2b>,贝Ua与b的夹角为<>A.B.C.D.ti答案:A。所以

5、 3|a|2-解析:由<a-b>±<3a+2b>知<a-b><3a+2b>=0,即3|a|2-ab-21b|2=0.设a与b的夹角为|a|b| cos 8-2|b|2=0,即 3|b12cos 0-2|b| 2= 0,整理得 cos 0=2，故e=.7 / 87.<2015，理7>执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8,则判断框可填入的条件是<>A.s/B.s/，llil25C.saD.sW4答案:C解析:由程序框图可知，程序执行过程如下：113l112Ss=0,k=0,满足条件;k=2,s=,满足条件；k=4

6、,s=1，满足条件；k=6,s=】？，满足条件;k=8,s=，这时应不满足条111件，才能输出k=8,故判断框的条件是s<.8 .<2015,理8>已知直线l:x+ay-1=0<a6R>是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A<-4,a>作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|=<>A.2B.4M讶C.6D.2口口答案:C解析:依题意，直线l经过圆C的圆心<2,1>,因此2+a-1=0，所以a=-1,因此点A的坐标为<-4,-1>.又圆C的半径r=2,由MBC为直角三角形可得|AB|=JP<U&qu

7、ot;.又|AC|=2%m,所以|AB|=/6'一/=6.9 .<2015,理9>若tana=2tan',则'"卜=<>A.1B.2C.3D.4答案:C解析:因为tan a =2tanrB,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D.若D至U直线BC的距离小于a+fl" +川，则该双曲线 的渐近线斜率的取值围是<>A.<-1,0>U<0,1>B.<-8,-1>U<1,+8>C.<- . ,0>答案:AU<0,%2>D.<-oo

8、,->U<J2,+oo>由于kAC =于是直线BD的方程为y-<x-c >,解析:设双曲线半焦距为c,则F<c,0>,A<a,0>,不妨设点B在点F的上方点C在点F的下方，则由双曲线的对称性知AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称，所以两垂线的交点D在x轴上，于是仁4-上-1XD =Iujx做值Y“+c=£口门+c,从而D到直线BC的距离为c-x d=由已知得-：%口<a+即-/3-ya+c,所以b4<a2<c-a><c+a>，即b4<a2b2,a<1,从而0V<1.b而双

9、曲线渐近线斜率k=上；，所以k6<-1,0>U<0,1>.二、填空题：本大题共6小题,考生彳答5小题,每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上11.<2015,理11>设复数a+bi<a,b6R>的模为#,则<a+bi><a-bi>=.答案：3解析:因为复数a+bi的模为,所以JM+/=A即a2+b2=3.于是<a+bi><a-bi>=a2-<bi>2=a2+b2=3.12.<2015,理12>的展开式中x8的系数是<用数字作答>.答案：解析:展开式的通

10、项公式Tr+1=Cg<x3>5-r（赤）=弓2-< r= 0,1,2,5> .口 2-2=令15-4=8,得r=2,于是展开式中x8项的系数是，贝 I AC=.13.<2015,理13>在MBC中,B=120:AB=/,A的角平分线AD=、Q答案：解析:如图所示，在AABD中,由正弦定理得则/BAD=ZDAC=15:所以/ACB=30，/BAC=30°,所以ABAC是等腰三角形,BC=AB=".由余弦定理得AC=.二小回+（渥）2-=.'.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14

11、.<2015,理14>如图，圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点巳若PA=6,AE=9,PC=3,CE：ED=2：1，贝UBE=.答案：2解析:因为PA是圆的切线，所以有PA2=PCPD,于是pd=恒|=12,因止匕CD=PD-PC=9.又因为CE:ED=2：1,所以CE=6,ED=3.又由相交弦定理可得AEBE=CEED,所以BE工=2.r-1+tr.y=lt<t为参数>,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P2cos2e=4（P二°<彳），则直线l与曲线C的交点的极坐标为.答案:<

12、;2,n>卜=-1+t解析:由i¥=1+'可得直线|的普通方程为y=x+2.又p2cos20=4可化为p2<cos20-sin20>=4,即<pcos0>2-<psin0>2=4,所以x2-y2=4,即曲线C的直角坐标方程是x2-y2=4.=#+可卜吧吧由可解得1*=0即直线l与曲线C的交点坐标为<-2,0>.又因为>07<8<1,所以P=2,0=%即交点的极坐标是<2,>>.16.<2015,理16>若函数f<x>=|x+11+2|x-a|的最小值为5,则实数a

13、=.答案：-6或4解析:当a<-1时，1-3x+2a-1（<ar-1,f<x>=|x+11+2|x-a|=汝-2。+，所以f<x>在<-8,a>上单调递减，在<a,+°°>上单调递增，则f<x>在x=a处取得最小值f<a>=-a-1,由-a-1=5得a=-6,符合a<-1；当a>-1时，-3jc+ict-IpX<-lif<x>=|x+1|+2|x-a|=、所以f<x>在<-°°,a>上单调递减，在<a,+

14、6;°>上单调递增，贝Uf<x>在x=a处取最小值f<a>=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a>-1.综上，实数a的值为-6或4.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.<本小题满分13分,<1>小问5分,<2>小问8分><2015,理17>端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子淇中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.< 1>求三种粽子各取到1个的率；< 2>设X表示取到的豆沙

15、粽个数，求X的分布列与数学期望.解:<1>令a表示事件”三种粽子各取到1个"，则由古典概型的概率计算公式有1- I 息'3p<a>= 4 =±<2> X的所有可能值为P<X= 1>P<X=2> =0,1,2,且综上知,X的分布列为工工三三故E<X>=0X15+1X15+2X空=3<个>.18.<本小题满分13分,<1>小问7分,<2>小问6分><2015,理18>已知函数f<x>=sinQ"sinx-、？cos2x

16、.< 1>求f<x>的最小正周期和最大值；pr叫< 2>讨论f<x>在卜彳I上的单调性.解:<1>f<x>=sinlf二）sinx-甲cos2x曾=cosxsinx-<1+cos2x>因此f<x>的最小正周期为出最大值为2<2>当x6Lal时,0<2x-Zk从而pF'ffil5n当0<2x-%，即QxWl时,f<x>单调递增,当2<2x-3<4即"wxW时,f<x>单调递减pi5flpH2fll综上可知，f<x>

17、;在值值J上单调递增；在1百于1上单调递减.19.<本小题满分13分,<1>小问4分,<2>小问9分><2015,理19>如图,三棱锥P-ABC中,PC,平面ABC,PC=3,/ACB=z.D,E分别为线段AB,BC上的点，且CD=DE=,CE=2EB=2.< 1>证明：DEL平面PCD;< 2>求二面角A-PD-C的余弦值.< 1>证明：由PC,平面ABC,DE?平面ABC，故PC±DE.由CE=2,CD=DE=6得3DE为等腰直角三角形，故CDLDE.由PCACD=C,DE垂直于平面PCD两条相交

18、直线，故DEL平面PCD.< 2>解:由<1>知,3DE为等腰直角三角形，ZDCE=7.如图，过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.兀OfF82331由/ACB=?得DF/AC,=3>AC=2DF=4以C为坐标原点，分别以森而版的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C<0,0,0>,P<0,0,3>,A,E<0,2,0>,D<1,1,0>,'=<1,-1,0>,M=<-1,-1,3>,=1设平面PAD的法向量为n1=<x1,

19、yi,zi>,一号一打+%二由n1FJ=0,n1廿八=0,得.尹1“故可取n1=<2,1,1>.由<1>可知DE，平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为日巴即n2=<1,-1,0>.从而法向量m,n2的夹角的余弦值为cos<n1,n2>=lnil,lrtl=<*,罔故所求二面角A-PD-C的余弦值为心.20.<本小题满分12分,<1>小问7分,<2>小问5分><2015，理20>设函数f<x>=r<aR>.<1>若f<x>在x=0处取得

20、极值，确定a的值,并求此时曲线y=f<x>在点<1,f<1>>处的切线方程；<2>若f<x>在3,+8>上为减函数，求a的取值围.(6t+fl:/十+a解:<1>对f<x>求导得f'<x>=心=.因为f<x>在x=0处取得极值，所以f'<0>=0,即a=0.3i2-It1+6ji当a=0时,f<x>=,f'<x>=/,0故f<1>=r,f'<1>=H,3|3从而f<x>在点<

21、;1,f<1>>处的切线方程为y-=£<x-1>,化简得3x-ey=0.-3ji-K(6-n)jt+<<2>由<1>知f'<x>=/令g<x>=-3x2+<6-a>x+a,由g<x>=0解得x1=&,x2=.当x<x1时,g<x><0,即f'<x><0,故f<x>为减函数；当x1<x<x2时,g<x>>0,即f'<x>>0,故f<x>

22、为增函数；当x>x2时,g<x><0,即f'<x><0,故f<x>为减函数.由f<x>在3,+8>上为减函数知x2=一看一<3,解得a»,故a的取值围为卜胃十8)21.<本小题满分12分,<1>小问5分,<2>小问7分<2015,理21>国如图,椭圆小+,13=1<a>b>0>的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQXPF1.<1>若|PF1|=2+W,|PF2|=2-W,求椭圆的标准方程；&l

23、t;2>若|PFi|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:<1>由椭圆的定义,2a=|PFi|+|PF2|=<2+v®>+<2-;2>=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF11PF2,因此2c=|FiF2|=|F&=m+/产+(2-画"卢即c='±从而b=，*iE'=1.r!故所求椭圆的标准方程为耳+y2=1.<2>解法一:如图，设点P<xo,yo>在椭圆上，且PFdPF2,则R+p-/:=1,+h=c2,求得X0=±,V。,y0=±£.由|

24、PF1|=|PQ>|PF2|得X0>0,y型+小弓从而|PF1|2=l+F=2<a2-b2>+2ai"二力=<a+V-">2.由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1，PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|二M|PF1|,因此<2+>|PF1|=4a,即<2+卜）1><a+一4j>=4a,于是<2+><1+、"",一|>=4,解得e=丁”不=-.解法二:如解法一中的图，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1，P