南师大数学分析0207

1、南京师范大学研究生招生入学考试试卷2002年硕士研究生招生入学考试试卷 B 卷专业名称：基础数学研究方向：科目代码：359科目名称：数学分析考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一（8分）试证明：不收敛的有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列。二（15分）求极限：（1）; （2） ;（3）设，证明收敛，并求。三（12分） 设 ，证明（1） 的值域为 ； （2）在上一致连续；（3）在上非一致连续。四（9分）设在上可导，在上递减，证明：。五（8分）已知，求。六（10分）讨论下列级数的敛散性：（1） ； （2）。七（8分）讨论函数的连续性。八（10分）证反常积分收敛，且。九（10分）

2、设在闭矩形上连续，函数列，均在上一致连续，且，。证明：函数列在上一致连续。十（10分）设在的某邻域内连续可微，且。证明。南京师范大学研究生招生入学考试试卷2003年硕士研究生招生入学考试试卷 专业名称：基础数学，运筹学与控制论研究方向：科目代码：359科目名称：分析学考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一 指出下列说法是否正确，并简要给出证明或举出反例（每小题5分）：1设数列满足，则min必存在。2设在开区间可导，且，则必存在使。3设在点处偏导数均存在但不连续，则在处必不可微。4设均是可测集上几乎处处有限可测函数，若则必有依测度收敛于。5设，且在上均是有界可测函数，且，则必有

3、。二（每小题5分）求下列极限：（1）; （2） ;（3），其中连续可微，。三（10分） 设 在有限开区间上一致连续，则在上有界。四（10分）设在有二阶导数，且及，则存在，使，且为唯一零点。五（15分）证明： 。六（15分）证明函数在时可微。七（15分）在曲面：上求曲面的切平面，使其在三个坐标轴上的截距之乘积为最大。八（15分）计算第二型曲面积分，其中是曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧。九（15分）应用Lebegue控制收敛定理证明。十（15分）设在可测集上，依测度收敛于，且，a.e于，试证，a.e于。注：第一题中4，5小题及第九，十题可能运筹学与控制论方向的同学选做。南京师范大学研究生招生入学

4、考试试卷2004年硕士研究生招生入学考试试卷 B 卷专业名称：基础数学研究方向：科目代码：340科目名称：数学分析 考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一（每小题7分）计算或证明下列极限： （1）; （2） ;（3）证明：若函数在上严格增加，且，则；（4） 讨论二元函数在点处的重极限与累次极限。二（16分）设 在内连续，且满足。证明：。三（15分） 设函数在上单调减少。对任何正整数，试证明下列不等式，并说明该不等式的几何意义。四（15分）设在上可微，且，若存在，使得，证明在上。五（16分）设为数列，令 问：（1） 在上是否处处收敛？ （2）为使 在上一致收敛，当且仅当满足什么

5、条件？（3）为使，当且仅当满足什么条件？六（15分）证明级数的和函数在上的连续性。七（15分）设是由方程，所确定，且，。试求。八（15分）设表示的最大整数部分，计算。九（15分）设二元函数为上的连续非负函数，在上连续，证明：在上一致收敛。南京师范大学研究生招生入学考试试卷2005年硕士研究生招生入学考试试卷 专业名称：基础数学研究方向：科目代码：334科目名称：数学分析 考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一（每小题5分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由。（1）若级数收敛，则收敛。（2）设非正常积分收敛，且也收敛，则。（3）闭区间上的具有介值性（即能取到与之间的一

6、切值）的单调函数必一致连续。二（第5题5分，其余每小题7分）计算下列各题： （1）; （2） ;（3）； （4）；（5）讨论二元函数在点处的重极限与累次极限；（6） 若，求和。三（15分） 设函数在上，且单调递减，并对任意的，在上可积。试证明：与具有相同的敛散性。四（16分）证明：，。五（18分）给定函数列，令 。试问取何值时， 在上（1）收敛 （2）一致收敛（3）积分，极限可交换，即。六（15分）研究级数在（1） （2）上一致收敛性。七（16分）将三重积分化为先对，后对，最后对的新的累次积分。八（15分）证明含参量非正常积分在上一致收敛，但在上不一致收敛。南京师范大学研究生招生入学考试试卷2

7、006年硕士研究生招生入学考试试卷 专业名称：基础数学研究方向：科目代码：334科目名称：数学分析 A卷考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一（每小题5分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由。（1）若在区间上有原函数且单调，则在区间上连续。（2）若非正常积分收敛，则必存在。二（每小题10分）计算下列极限： （1）; （2） ;（3）。三（15分） 设函数在上连续且，令。试证方程在内有且只有一个根。四（15分）计算第二型曲线积分：，其中是从点到点的任意一条光滑曲线。五（15分）证明：若函数在上无界，则存在，使在的任意邻域内都无界。六（15分）利用可积条件证明：函数在上

8、可积。七（15分）设偶函数的二阶导数在点的某邻域内连续，且，试证级数 绝对收敛。八（20分）证明：（1）级数在上一致收敛。（2）级数在上不一致收敛。九（15分）设函数在上连续，证明：。南京师范大学研究生招生入学考试试卷2007年硕士研究生招生入学考试试卷 专业名称：基础数学研究方向：科目代码：334科目名称：数学分析 考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。一（每小题10分）计算下列极限： （1）; （2） ;（3）设，证明收敛并求极限。二（20分）（1）设函数在点的某邻域内有阶的连续导函数。证明对任意的有其中，且；（2）求的麦克劳林级数展开，并加以证明。三（20分） 设为内的连续函数且，试证：（1）在内一致连续；（2） 在内不一致连续。四（15分）利用Stokes公式计算：，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向。五（