《111分类加法计数原理》导学案

1、1.1.1 分类加法计数原理 导学案学习目标1. 理解分类加法计数原理 .2. 能利用分类加法计数原理分析和解决一些简单的应用问题.3. 过程与方法 :引导学生形成 “自主学习 “”合作学习 ”等良好的学习方式， 培养学生的归纳 概括能力 .重点分类加法计数原理的适用范围 .难点分类加法计数原理的准确理解， 能根据具体问题的特征， 选择分类加法计数原理解决一 些简单的实际问题 .教学过程在一次 “非常 6+ 1”节目中，主持人拿出甲、乙两个信箱，其中甲箱存放着5个、乙箱存放着 4个在竞猜中成绩优秀的选手的姓名，主持人要在两个信箱中抽取一名幸运选手，有多 少种不同的结果？要正确回答这个问题，就要

2、用到我们今天所要学习的知识 .问题1:完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案 中有n种不同的方法那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法问题2:分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有 n类不同的办法，在第一类办法中有 mi种不同的方法，在第 二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么，完成这件事共 有N= g+m2+mn 种不同的方法问题3:理解分类加法计数原理分类加法计数原理针对的是 “ 分类 ”问题， 完成一件事要分为若干类， 各类的方法 相互独立 ，各类中的各种方法也 相对独立 ，用任何一类中的任何一种方法都可以单独 完成这件

3、事 问题4:利用分类加法计数原理解题时要注意的问题(1) 根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一 ，不能遗漏 (2) 分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复 从以下角度理解分类加法计数原理 : (1)各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理叫作加法原理；(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进 行分类；(3) 完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不 同的，要做到不重不漏 .学习交流1.一个三层书架，分别放置语文书 12 本，数学书 14本，英语书 1

4、1本，从中取出一本，则 不同的取法共有 ( ).A. 37 种B.1848种C.3 种D.6 种【解析】若取出的书是语文书，有 12种方法；若取出的书是数学书，有 14种方法；若取 出的书是英语书，有 11种方法 .根据加法原理，不同的取法种数为 12+14+11=37.【答案】 A2有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两 种车床，丙只会操作 A种车床，现在要从三名工人中选 2名分别去操作以上车床，不同的选 派方法有 ().A.6种 B.5种 C.4种 D.3种【解析】若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作 A 车床，共有 2

5、种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作 B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作 B车床，丙操作A车床这1种选派方法.故共2+ 1+仁4种不同的选派方法.选C.【答案】 C3. 若x、y N+，且x+y詬，则有序自然数对(x, y)共有个.【解析】当x=1, 2, 3, 4, 5时，y值依次有5, 4, 3, 2, 1个，由加法原理，不同的数对(x, y)共有 5+4+3+2+1 = 15个.【答案】 154. 在一次 “非常6+ 1 ”节目中,主持人拿出甲、乙两个信箱,其中甲箱存放着5个、乙箱存放着 4个在竞猜中成绩优秀的选手的姓名,主持人要在两个信箱中抽取一名幸运

6、选手,有 多少种不同的结果？【解析】将选出的幸运选手分成两类:一类来自甲箱中的姓名,有 5种方法；一类来自乙箱中的姓名,有 4种方法 .根据分类加法计数原理可知不同的结果总数有5+4=9种.对分类加法计数原理概念的理解在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B、C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下学B大学C大学生物学数学学新闻会计金融化学学学信息人力医学技术学资源学物理法学学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？【方法指导】由于这名同学在 A、B、C三所大学中只能选择一所，而且只能选择一个 专业，又由于三所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理

7、的条件【解析】这名同学可以选择 A、B、C三所大学中的一所在A大学中有5种专业，在 B大学中有4种专业，在C大学中有3种专业.由于没有一个强项专业是任何两所大学共有 的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4+3=12种.【小结】解决这类问题的关键是弄清分类加法计数原理的定义6分类加法计数原理的初步应用若自然数n使得作竖式加法n+(n + 1)+(n+2)均不产生进位现象，则称 n为 良数”例如:32 是 良数”因为32+ 33+ 34不产生进位现象；23不是 良数”因为23+24+ 25产生进位现象求小 于100的良数”的个数【方法指导】分一位数、两位数两类，分别找出各类

8、中良数”的个数【解析】一位数的 良数”有0, 1，2,共3个；两位数的 良数；它的十位数字可以是1, 2，3,则两位数的 良数”有10，11，12，20, 21， 22， 30， 31， 32,共9个根据分类加法计数原理，共有 12个小于100的 良数”【小结】解题时先确定分几类，然后计算每类良数”的个数，再根据分类加法计数原理求出良数”的总个数7分类加法计数原理的提升应用射击8枪，其中4枪命中，恰有3枪连中的情形有多少种？【方法指导】分类讨论3枪连中的情形，从前到后依次类推，注意不重不漏【解析】若第1、2、3枪连中，则命中的另一枪应处于第5、6、7、8枪的位置，有4种情况，如下表：VVVVV

9、VVVVVVVVVVV6、7、8枪的位置，有3种情况；1、7、8枪的位置，有3种情况；1、2、8枪的位置，有3种情况；1、2、3枪的位置，有3种情况；1、2、3、4枪的位置，有4种情况.同时，特别要注意分类的情况不能重若第2、3、4枪连中，则命中的另一枪应处于第 若第3、4、5枪连中，则命中的另一枪应处于第 若第4、5、6枪连中，则命中的另一枪应处于第 若第5、6、7枪连中，则命中的另一枪应处于第 若第6、7、8枪连中，则命中的另一枪应处于第 故共有4+3+3+3+3+4=20种情形.【小结】在情况比较少时，应注意列举法的应用 复也不能遗漏.分类时，首先要确定一个适合于问题的分类标准，然后在此

10、标准下进行分类；其次要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法 是不同的方法.只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理例题应用某班有男三好学生5名，女三好学生4名，从中任选一人去领奖， 有多少种不同的选法?【解析】完成从三好学生中任选一人去领奖这件事，共有两类办法第-类,从男三好学生中任选-人，共有m1 = 5种不同的方法;第二-类,从女三好学生中任选-人，共有m2=4种不同的方法根据加法原理，共有 N=5+4=9种不同的选法一蚂蚁沿着长方体的棱，从它一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少 条?【解析】如图所示，蚂蚁从顶点 A爬到顶点Ci有三类

11、方法，从局部上看每类又有2条路径，所以，根据加法原理，蚂蚁从顶点A爬到顶点&的最近路线共有N=2+2+2=6条.高三班有学生50人，男生30人，女生20人；高三 班有学生60人，男生30人，女生3 0人；高三 班有学生55人，男生35人，女生20人.（1）从高三（1）班或（2）班或（3）班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三（1）班、（2）班男生中，或从高三（3）班女生中选一名学生任学生会体育部长，有 多少种不同的选法？【解析】（1）完成这件事有三类方法：第一类，从高三（1）班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三（2）班任选一名学生共有60种选法；第三类，从

12、高三（3）班任选一名学生共有55种选法.根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50 + 60+ 55=165种选法（2）完成这件事有三类方法：第一类,从高三（1）班男生中任选名共有30种选法;第二-类,从高三班男生中任选名共有30种选法;第三类，从高三班女生中任选名共有20种选法综上所述，共有30+ 30+20 = 80种选法.课堂练习1从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为（）.A.1+1 + 1 = 3B. 3+4+2=9C. 3X4X2=24 D.以上都不对【答案】B2若三个

13、平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）.A.5部分B.6部分1+ 1 + 1+ 1+1 + 1 +仁7个部分（个部C.7部分D.8部分【解析】如图所示，可知这三个平面把空间分成 分），故选C.3.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠亚军， 败者角逐第3、4名，则大师赛共有场比赛【解析】每个小组赛有 6场比赛，两个小组有6+6=12场比赛，半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛，根据分类加法计数原理共有12+4=16场比赛.【答案】164如右图，电路中共有3个电阻与一

14、个电灯 A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，灯A不亮可按以下三种情形分类讨论 ：(1)1个电阻断路时只有1种情况：R3断路；(2)2个电阻断路时有3种情况：尺和R2,尺和R3，R2和R3 断路；(3)3个电阻断路时只有1种情况：R1、R2和R3断路根据分类加法计数原理可知灯 A不亮 的情况共有1 + 3+ 1 = 5种5. (2012年 四川卷)在方程ay=b2x2+c中，a、b 1、2、3，且a、b互不相同，在 所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有().A.4条B.6 条 C.7 条D.8 条【解析】由方程ay=b2x2+c变

15、形得x2=y-，则要表示抛物线，分b=1、2、3三种情况，当b =1时，则a=2或3，分别对应2条抛物线；同理当b=2或3时，也分别对应2条抛物线.综上所述，共有不同的抛物线 2+ 2+2=6种.【答案】B课后练习1某省高中数学夏令营活动定在首都北京举行，路线方案：坐汽车有10个班次，列车5个班次，飞机2个航班，则到达首都的方法有()A.10 种B.7 种C.15 种D.17 种【解析】到达首都的方法可以分三类，共有10 + 5+2=17种【答案】D2件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完 成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A.8B.15

16、C.16D.30【解析】若工作用第1种方法完成，有3种不同选法；若工作用第2种方法完成，有5种不 同选法根据分类加法计数原理，不同选法的种数为N=3+5=8.【答案】A3如图，在城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M到N不同的走法共有种【解析】第一次向北走出现在第1步时，有5种走法；第一次向北走出现在第 2步时，有4 种走法；第一次向北走出现在第3步时，有3种走法；第一次向北走出现在第 4步时，有2种走 法；第一次向北走出现在第 5步时，只有1种走法；综上，一共有 5+4+3+2+仁15种走法【答案】154三边长均为整数，且最大边长为11的三

17、角形的个数是多少？【解析】设较小的两边分别长为x、y，且x号，则当 x= 1 时，y=11 ；当 x=2 时，y= 10, 11 ；当 x= 3 时，y=9, 10, 11；当 x=4 时，y= 8, 9, 1 0, 11 ；当 x=5 时，y=7, 8, 9, 10, 11 ；当 x= 6 时，y=6, 7, 8, 9, 10, 11 ；当 x=7 时，y=7, 8, 9, 10, 11；当x=11时，y=11.所以不同三角形的个数为 1+2+3+ 4+5+6+5+4+3+2+1 = 36.5在1, 2, 3,，200中，能被5整除的数的个数是 （）A.20 B40C50 D.80【解析】分

18、二类，一类是末位数为0的数，分别为10, 20,，200共20个；另一类是末位数为5的数，分别为5, 15,，195，共20个.根据加法原理，共有20 + 20=40个【答案】B6从集合1 , 2, 3,，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样 的等比数列的个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8【解析】以1为首项的等比数列为1 , 2, 4； 1 , 3, 9;以2为首项的等比数列为2, 4, 8； 以4为首项的等比数列为4, 6, 9,共4个把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个选D【答案】D7已知集合M=1 , -2, 3, N=-4, 5, 6,-7，从M , N这两个集合中各选一个元素分 别作为点的横坐标、 纵坐标， 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 第二象限内不同的 点的个数是.【解析】分两类：第一类，第一象限内的点，有 2X2=4个；第二类，第二象限内的点，有 1X2=2个故不同的点的个数有4+2=6个.【答案】 68从1到20这20个正整数中，每次取 3个，它们可以组成多少组不同的等差数列？【解