拱桥联合作用的简化计算

1、拱桥联合作用的简化计算省拱桥研究报告之四、五湖南省交通规划勘察设计院拱桥研究小组（上官兴执笔）为了充分挖掘拱桥的潜力，应考虑拱上构造与主拱圈的联合作用。在学习湖南大学和部交研院等单位关于“联合作用”方面的研究成果基础上（资料14），1978年资料5提出“拱桥联合作用的简化计算法”。几年来，在涟源、怀化、湘西等地区和新化、辰溪、桑植、凤凰等县交通部门的大力支持下，先后在60余座石肋双曲拱桥和石砌版肋拱桥中进行了试用，取得了良好效果。为了鉴定该方法的可靠性，我院和各地建桥指挥部，在省交通科研究所帮助下进行了六座桥梁的静载实验（资料8。实验表明“联合作用简化计算法”基本符合实际，可以在工程上适用。本

2、文在总结这些试验成果的基础上，又进行了必要的修改补充，现整理提请讨论，供研究参考。本方法的特点是抓位腹拱是联合作用的主导，提出简化的计算图式，用位移法简捷求解腹拱抗力，再将腹拱抗力反作用在主拱圈上。这样“联合作用”这个高层次超静定问题,迎刃而解。由于用手算一天能得到结果,这为拱桥设计计算中考虑“联合作用”这个有利的因素，找到了一条捷径的路。本文与一般方法不同还在于，用这套公式能便捷地进行多孔连拱和平铰拱的联合作用的计算。可得到双铰、无铰、平铰三种图式的结果比较。应当指出，简化方法本身就是一种定性为主，在量方面能满足工程精度的近似解。目前，还有一定的现实意义。由于实践的局限性和水平所限，文中的错

3、误欢迎批评指正。一、计算图式众所周知，国内外对梁式拱上结构与主拱圈的联合作用问题，已有定论（如资料67）经济价值不大，不予考虑。然而我国广泛使用的是拱式拱上结构，腹拱采用圬工三平铰构造，至今尚未有一套成熟的接近实际结构的计算方法。但是巨大的联合作用客观存在的事实已得到一致的公认。曾统计了国内十多座静、动载实验资料，对控制设计的拱趾截面负弯矩，在考虑联合作用的弯矩拆减值可达0.40.6（与裸拱比较）。在1972年“桥规草案”中采纳了这些实践经验，提出了对拱趾活载弯矩乘以0.7的拆减系数建议。我省长沙湘江大桥（9-50m+8-76m）设计中曾予彩霞，取得了良好的经济效果。但如何在设计中将联合作用这

4、有利因素反映出来，就要有一套相应的通用计算方法，一个符合客观的简明的计算图式。下面就我们目前常用的圬工拱上建筑，设有（平铰）平缝结构的腹拱型式的联合作用计算图式，进行讨论分析。（一）现有方法的图式（一）四次超静定结构：资料2经过详细结构分析，指出腹拱推力X4为未知数的四次静定结构可以基本功上且偏安全反映拱上结构对拱趾截面的影响，如图1考虑到平铰腹拱不能承受拉力的特性，在不对称荷载作用下还可以近似只计和荷载P相对的一侧受压腹拱推力X4为赘余力，此时腹拱受压按无铰拱计算。资料5按照这个假定，推出了具体的计算方法计算图表。该图式的特点是忽略了立墙的抗推刚度，使结构予以简化，能手算求解。（二）高次超静

5、定结构资料34经模型核验后同样得出，腹拱推力是拱式拱上建筑联合作用的主要支柱，为了更精确地说明联合作用各因素，经电算分析提出图2的高次静定结构图式，取边腹拱为双铰拱其余为单铰拱，考虑立墙的刚度。该方法较复杂，故用电算制成表格，便可计算单个主拱（四个腹拱）的拱顶、拱趾、L/4三个截面的联合作用弯矩折减系数。经比较，图1和图2两种图式计算结果相近，其原因是图1的立墙刚度末计，但腹拱刚度按无铰计（或变截面单铰拱计）比图2的腹拱按单铰拱+双铰计大，这样补偿了图2的立墙刚度。由此可见，拱上联合作用可以用不同的图式反映，得到大致相同的结果。（三）简化法计算图式经六座桥梁的现场静载试验资料分析，我们进一步认

6、识到联合作用随荷载P位置不同而不同。因此，在图1的基础上还必须补充一些假定，才能使简化的图式与实际情况更接近。1、P在拱左侧时，主拱圈发生以侧移为主的变位，如图3，使右侧腹拱压缩，由腹拱抗推刚度K+而产生了推力Q和腹拱拱趾弯矩WQ。假定主拱和腹拱相交于L/3截面即7.5#7#截面抗力Q的大小则与8#截面在P作用下水平位移P和主、腹拱在L/3截面上的抗推刚度比值大小有关，该图式的特点是用一根水平杆来等代多孔腹拱的刚度，因此只要经等代换算后，就相当能考虑多孔联合作用。考虑了WQ主要是能使拱顶和右拱趾的弯矩更确实一些，但对左拱趾和荷载P下的截面弯左影响不大，故如果计算左拱趾M和荷载P点下M也可将W忽

7、略不计。2、P在拱顶实腹段（8#81#截面之间）如图4。对称荷载作用下，拱圈挠度以上下弯化为主。在上翘处使立墙受压，并传递到腹拱趾，由腹拱的垂直刚度而产生腹拱趾的垂直抗力R，R值大小与荷载作用下立墙处挠度 fp和主、腹拱的垂直刚度比值大小有关。该图式的特点是腹拱垂直刚度C+大小只决定于主、腹找的几何物理特性，与主孔孔数无关。（二）简化计算的假定在上面联合作用的综合图式中，采用了若干简化计算的假定，现分别论证、分析。（一）立墙的计算图式1、由资料5推导可知，“没有桥墩”实际上是刚度小可忽略的桥墩的m孔腹拱，在m端作用水平推力H时，各孔的推力均相同，因此各孔的相对水平位移也相同，但累计在m端的水平

8、位移值m=m1，如图5，如果m=4孔时，则有4=44关系。在资料810中量测了桥台上高立墙顶的水平位移1和主腹拱相交的第四孔拱端水平位移4的关系如表1。由表可见有80%接近上述假定。（桥墩刚度K=0）。因而能推断4=41。由此反证，拱上立墙的抗推刚度K墙+相对腹拱K墙而言可以忽略不计，即在联合作用中可以假定立墙两端为铰结。2、在资料976米双曲拱模型试验指出，计算拱上立墙（柱）的抗推刚度必须考虑主拱圈弹性变形的影响，如图6。墙顶水平位移=1+2+3，式中1=Hh3/(3EJ)。此值系立墙在水平力H作用下的墙顶水平位称量。1是主拱圈A在水平力H和相应的垂直力V作用下，所产生的水平位移。2与主拱圈

9、L/（EJ）和立墙部位有关，当立墙在L/4附近时（如表1中3#墙）2值很大。拱上腹拱趾的位移（mm）表1重量荷载位置计算4=44实测44/4实测142.15#80T0.120.480.5587%4.77#110T0.301.201.4881%12#110T0.110.440.4598%示意图3=h2是由于主拱圈A在H、V作用下所产生的转角所引起的B点水平位称。对于高立墙（如表1中2#墙）3值很大。立墙考虑主拱圈弹性位移后的抗推刚度应按K墙=H/(1+2+3)与仅考虑立墙本身的刚度K0=1/1相较，可下降5080%，以致与腹拱刚度K腹相比，可以近似忽略不计。例如资料5，说明在76米拱跨中,K墙=

10、0.02K腹。3、由上分析，可见无论从实验和理论计算方面都可说明在联合作用计算中，可近似取产墙为两端铰结的图式，能传递垂直力而不传递水平力，这为简化计算提供了方便。（二）腹拱上的荷载产生的推力HP的处理。荷载P在腹拱上产生垂直反力V和推力HP、垂直力V通过立墙传递至主拱圈，产生以挠度为主的变形（图3、4）它受到腹拱的抗推刚度K+和垂直刚度C+的约束。而水平推力HP在L/3截面附近作用在主拱圈上，使主拱圈产生水平方向的变位，这时整个桥面系的栏杆、缘石、填料、路面和侧墙都受到压缩，显然形成一道强劲的水平刚性约束、K面，其绝对值远大于主拱圈的抗推刚度K主、按刚度分配的原理，可以认为腹拱的活载推力HP

11、绝大部份可沿桥面系和腹拱一直传递以两岸桥台上，这样在联合作用计算中可以近似假定HP不作用在主拱圈上，不使主拱圈产生变形。如图7所示，联合作用计算图式中，变相当荷载P直接作用在主拱圈上。（精确应为，是垂直反力V在立墙位置传递到主拱圈上。）（三）主拱圈的变形约束主拱圈裸拱在荷载P作用下，产生变形。如：挠度f、水平位移和转角，在资料8中的几座桥梁现场量测中观察到以挠度值f最大，并有明显的规律性，水平位次之，而转角甚小。实测f、明显地小于裸拱的理论值。此现象表明：裸拱圈的变形受到腹拱、立墙、侧墙和桥面系的约束。特别是桥面系和腹拱对水平位移的约束，能使之减少5070%。这些都表明拱上构造参与主拱圈一起共

12、同受力。与主拱圈相联的任何种拱上构造，理论上每个节点都有三种约束（垂直、水平、转动）。这样，一座单孔的拱桥就有20种以上约束了。要用简单明确概念来综合说明这样多的约束总效果，就必须通过现场实桥的荷载试验，抓住主要矛盾，舍除次要的因素，才能作出简化计算图式的假定。这些假定本身带有一定的近似性，有些还没有找到论证，但是只要在宏观上，能满足工程的精度要求，就可以论为这些假定基本上是成立的。对图3、4、6、7的一些假定都应当看成是拱上构造对主拱圈约束的一种体现。应强调指出这些并不完全代表实际，而是很多假定因素综合的结果，例如前述立墙刚度流域，但在腹拱中多计一些来弥补。由于这些计算假定是来自现场实验的结

13、果，往往比模型试验和电算分析更具有实践性。（三）简化计算的精度为检验“联合作用简化计算法”的可靠性，与两座模型桥（资料5）和一座50米电算桥（资料12）的拱趾弯矩联合作用折关系数，作了计算比较，如表2。拱趾弯矩折减系数联裸表桥型方法3米模型4米模型50米桥1简化法0.5760.560.8062实测或电算0.520.600.815误差比较10.8%7%1%在资料8中六座桥静载实验所量测的挠度、联合作用折减系数t和8#截面、拱顶水平位移联合作用折减系数如表3。由表和表数值比较可见，联合作用简化计算的精度在以上，这时工程实用而言可以满足。联合作用变位折减系数f联f裸表桥跨项目石肋双曲拱石砌版肋拱52

14、4-454-35202-4060荷载在L/4附近f实测0.3980.6230.2420.6630.5140.628计算0.3850.5910.2820.7210.4870.712误差+3%+5%-14%-8%-15%-12%实测0.3210.444计算0.2990.545误差+7%-18%荷载在拱顶f实测0.830.640.4600.6000.7900.796计算0.7040.8290.831误差-15%-5%-4%二、位移折减系数如上节分析得到了联合作用的四次超静定结构图式，按常规力法解仍十分见繁。这里引进刚度分配概念，考虑联合作用的主拱圈水平位移和挠度，用位移法一次求出。（一）主拱圈的刚度

15、按结构定义，使主拱圈某截面产生单位挠度所需的垂直力（或水平力）的大小，为该点的垂直（或水平）刚度。由于主拱圈和腹拱、立墙相联的点在不同的截面，故可用力法分别求之。（一）水平刚度主、拱趾0使无铰拱拱趾产生而无转动时所需要的推力大小，称拱趾抗推刚度0，如表。f/L项1/51/61/71/81/91/10拱趾K09.8910.2410.4810.6410.6510.66拱背K主8170.04176.72180.75183.63185.60187.17K主12230240.8255.10287.503053202、主腹拱结点。当腹拱矢度较大（f/L=1/41/6）时，腹拱按无铰拱计的弹性中心水平力X2

16、作用线延长与主拱圈拱轴一般相交在8#截面为主腹拱结点。当腹拱矢度较小（f/L=1/71/100）时结点一般在拱顶12#截面。3、使裸主拱圈的8#（或12#）截面产生单位向外的水平位移8=1（或12=1）所需的水平力大小称主拱圈拱背抗推刚度K主8（或K主12）如图9及表4。应当指出，不同拱轴线型K0和K主值有所差别，但相差不大。表4所列为悬索线拱轴线，如需要较精确地数值可另行进行电算求解。（二）垂直刚度C主主拱圈与拱上立墙轴线一般在1#6#截面之间相交。使某一截面产生上翘单位挠度（f=1）所需要的垂直力大小，称该截面的垂直刚度C主，如图10。无铰拱各截面的垂直刚度如表5。立墙与主拱圈轴线相交不在

17、1#6#整数截面时，可用内插法求C主值。无铰拱悬链线不同m值的C主值可参考资料13的挠度影响线求算。即C主i=1/fii式1。fii为P=1作用于i截面上在i截面所产生的（不计弹压）挠度。f/L截面1/51/61/71/81/91/101#44.04346.78148.71450.10051.13051.9152#7.7638.1858.4808.6908.8458.9623#3.2993.4503.5633.6393.6953.7374#2.0362.1192.1762.2162.2452.2675#1.5601.6141.6521.6771.6701.7106#1.3851.4271.45

18、61.4751.4891.500（二）腹拱刚度(一)腹拱计算图式：如前所述本文所讨论的拱式拱上建筑联合作用系指腹拱采用三平缝（平铰）结构者。资料11指出：三平铰腹拱不同于理论三铰拱，它在拱趾受压缩时能似无铰拱（或单铰拱）一样具有抗推（和垂直）刚度。而在拱趾受拉有负水平位移时，它逐渐向三铰拱靠拢，但抗推和垂直刚度趋近于双铰拱值。平铰拱这种特性是研究联合作用时一个必须考虑的边界条件。资料11还论证三平铰拱的刚度是一个随拱趾水平位移0大小而不同的变数。为了简化联合作用计算，并考虑到还有腹拱的护拱和填料，桥面系拱杆、缘石、侧墙对联合作用的约束，参照实验反复试算分析结果，假定三平铰腹拱在拱趾受压缩时，可

19、综合地按无铰拱计算刚度；而拱趾受拉时，可综合地按三平铰（即刚度=0）如图11，由此联合作用才得到计算的图3和图4。实际上，由于三平铰腹拱初始存在负水平位移0（温度和弹性压缩u和主拱8#截面的弹性变位8等），在图11中左侧活载作用下，右侧腹拱受压缩P不一定能抵消0，尚未完全进入无铰状态。左侧腹拱拱趾受拉P，腹拱相对的水平位移=-（0+P）也尚未使三平铰进入三铰状态。左右腹拱这两个不同的状态都存在相应的刚度K。因此，上述简化假定也就是综合了这两者情况并考虑到桥面系的抗推刚度影响，统一由腹拱按无铰拱的图式计算抗推刚度。（二）单孔腹拱拱上腹拱的底座标，工程中常用圆弧拱放样。腹拱的护拱如果如图12，考虑

20、参与拱圈共同作用（仅拱座的Y高度范围），腹拱圈可近似按变截面抛物线线拱进行计算，等截面则可近似按n=1处理。1、使腹拱拱趾产生单位水平位移（或垂直位移）所需的推力（或垂直力）称腹拱的抗推（或垂直）刚度K+（或C+）。下标“+”号是表示拱趾受压状态。（拉伸状态不能按无铰拱计），如图13。 式2括号n=1相当等截面拱。2、当拱趾产生水平位称+时，按无铰找计算的腹拱赘余力X2如图书馆4，将它移至拱趾时，必定产生相应的拱趾弯距+。X2=K+×+=- X2×YK=-K+×YK 式3应当指出，+必定反作用于主拱关上，+值大小仅与腹拱所承受的压缩量大小和刚度K+及弹性中心至拱趾

21、的距离YK有关而不由主拱圈性质决定。因此，它不是一个赘余力，而是与X2相应的一个约束力。（三）多孔腹拱：1、二孔腹拱之间的立墙，传递主拱圈向上的翘曲，使腹拱趾产生单位挠度 f=1时，二腹拱所产生的垂直抗力称C腹=2C+。如图15。2、m孔腹拱，不计立墙刚度时，m端拱趾的抗推刚度K腹可以用一根刚度相等的直杆来代替，如图16。据资料5分析推算得到K腹等于m分之一K+，即K腹=K+/m式4。由此可见，腹拱孔数愈多则拱端刚度愈小。K腹称多孔腹拱端等代刚度。（三）位移折减系数（一）挠度折减系数1、主拱圈和立墙的轴线相交的截面i称结点，该点裸拱圈的刚度C主i由于腹拱C腹的参加，使得产生单位挠度所需要的垂直

22、力增加至C=C主i+C腹如图17，Ci称结点的垂直刚度。例如某桥截面2的主拱圈垂刚度为C主2=32.445×103(T/m)，立墙传递的两腹拱垂直刚度C腹=2C+=7.696×103(T/m)2#截面的结点垂直刚度，C2=C主2+C腹=40.1×103(T/m)。2、按照变位法的基本原理，挠度f与垂直刚度C成反比，故考虑腹拱参加主拱圈的共同受力（即考虑联合作用后），裸主拱圈的挠度应减少至1，1可按式5计算。式5式中fp是裸拱圈在荷载P作用下的挠度式6称挠度的折减系数又例：2=0.808，主拱圈5#截面C主5=7.03×103(T/m)， C腹=7.696

23、×103(T/m)， C5=(7.03+7.696)×103=14.73×103(T/m)，与2=0.808相较，可见越靠近拱趾，值愈小。（二）水平位移折减系数1、同理，主拱与腹拱弹性中心水平线相交于8#（或12#）截面的裸拱抗推刚度K主i，考虑腹拱K腹的参与作用也提高至Ki如式7所示。Ki= K主i+K腹= K主i+K+/m 式72、据变位法的原理考虑腹拱参与主拱圈受力后，裸拱圈的水平位移P也减少至，如式8式8式中：= = ，称水平位移折减系数。3、例如某桥腹拱K+=584.47×103(T/m )共三孔，K腹=K+/m=K+/3=194.8×

24、;103(T/m )，主拱圈裸拱的抗推刚度K主8=52.9×103(T/m )，K主12=83×103(T/m )，8#截面的结点抗推刚度K8=K主8+K腹=247.7×103(T/m )，8=K主8/Ki=52.9/247.7=0.2135，12#截面的结点抗推刚度K12=K主12=K腹=277.8×103(T/m )，12=K主12/K12=83/277.8=0.2987。如图18比较可见，8一般小于12（拱顶）。三、单孔联合作用计算为了具体叙述单孔无铰拱的联合作用计算原理和步骤，现以资料840米桥跨的静载实验为例进行说明。该桥的位移折减系数、如前计

25、算，不再累叙。拱轴张均按悬索线计。（一）裸拱圈的计算（一）裸拱内力变位影响线1、无铰拱在垂直荷载P=1作用下，拱趾、L/8、L/4、3L/8和拱顶等任意截面的弯矩影响张和推力、垂直反力影响线均可在资料14中查得，双铰拱则可在资料15中查得。2、在P=1作用下，主拱圈8#截面（或12#截面）的水平位移8（或12）值，见附录I注意荷载P在左侧时，8值是右侧腹拱的，而P在右侧时，8是左侧腹拱的，两者是相反的。若同一侧，因为值为负即平铰拱拱趾受拉而不产生抗力，如图19。3、在P=1作用下主拱圈1#6#截面的挠度f影响线座标见资料14，注意使用时选择立墙与主拱圈轴线相交的结点截面（可内插）。因荷载在拱顶

26、附近不完全对称，因此左、右两侧的立墙与主拱结点各有一根挠度影响线，例如：f2右、f2左它们是反对称的。（二）f/L=1/8，L=40米桥跨在拱顶均布荷载P=30T和5#截面均布荷载P=70T作用时，如图20。在影响线上加载，用常规方法可得到各截面的内力和挠度如表6，由于腹拱矢度f/L=1/8，故腹拱弹性中心水平线与主拱相交于拱顶12#截面。（二）对称荷载联合作用荷载在8#81#截面之间（实腹区），对全拱而言，接近对称状态。此时拱顶下挠，8#-12#截面的主拱圈均产生向跨中的位移，因此腹拱受拉，不产生压缩抗力。拱上构造联合作用主要体现在0#-6#截面间拱圈上挠，通过立墙使腹拱受缩而产生垂直抗力R

27、、如图21。40m桥跨裸拱内力变位（表6）荷载及位置项目P=30（在12#截面）P=70T（在51#截面）变位×10-3=mm拱圈挠度fP2#-0.485#-0.97-5.4812#2.10-1.71851#-0.978.0021#-0.4812#截面水平位移122.145内力弯矩MP（T-M）0#34.5889.45#-21.58-31.812#32.55-28.851#-21.58103.501#34.58-149.2拱趾推力H（T）54.457.1拱趾垂直力V（T）V左158.8V右1561.2（一）腹拱垂直抗力R腹拱抗力R与结点挠度和腹拱趾垂直刚度C腹大小成正比，即： 式9式

28、中fp为裸拱挠度、1、例如：图21中40米桥跨，A#立墙在主拱圈2#截面，考虑联合作用后的挠度2=fp=0.808-0.48×10-3=-0.388×10-3(m)腹拱垂直抗力R2=-2C腹=+(0.388×10-3)×7.696×103=2.985(T)2、图21中B#立墙在主拱圈5#截面，考虑联合作用后的挠度5=5fp5=0.477×-0.97×10-3=-0.4627×10-3(m)立墙传递的腹拱垂直抗力R5=-5×C腹0.4627×10-3)×7.696×103=3.

29、56(T)(二)抗力R产生的反挠度和内力1、求得腹拱垂直抗力R后，可将它视为外荷作用在图20的f12、f5、f51，影响线上，求得抗力所产生的反挠度，例如：对拱顶截面的挠度而言：R2=2.985(T) f12R2=2R2-0.017×10-3=-0.10×10-3(m)R5=3.560(T) f12R5=2R5-0.131×10-3=-0.262×10-3(m)式中乘2系对称P=30T的荷载有两个立墙抗力。2、将四个抗力R2、R5作用在资料14内力影响线上，同样可求得0#、5#、12#三个截面的抗力弯矩MP如表7。（三）联合作用位移及内力在表7中将裸拱的

30、挠度和内力与腹拱垂直抗力R所产生的反挠度内力相加，则得以了联合作用后的挠度和内力，将挠度和弯左在图21上。由图可见P=30T作用在拱顶时，考虑联合作用与裸拱相较有如下特点：P=30T在拱顶的联合作用（表7）截面项目051250挠度f×10-3m(=mm)P=30T裸拱fp0-0.972.10-0.970R2=2.985T fR200.100R5=3.560T fR500.507-0.2620.5070f=fp+ fR2+ fR50-0.4631.74-0.4630实测f00-0.101.66-0.100比较f0/f022%95%22%0弯矩M（T-M）P=30T裸拱Mp34.58-2

31、1.5832.55-21.5834.58R2=2.985T MR2-5.580.866-0.9690.866-5.58R5=3.560T MR5-3.826.376-3.5806.376-3.82M=Mp+ MR2+ MR525.18-14.3428.00-14.3425.18轴向力N（T）P=30T裸拱Np55.27456.6454.456.6455.274R2=2.985T NR22.981.3741.321.3742.98R5=3.560T NR56.216.0795.8386.0796.21N=Np+ NR2+NR564.4664.0961.5664.0964.461、拱顶挠度折减系数

32、f=0.83; M=0.86，拱面的计算挠度与实测挠度95%吻合。2、5#截面挠度折减系数f=0.477; M=0.66，实测挠度远比计算小，可见实际拱上构造的联合作用比仅按C+计算为大。以腹拱垂直抗力R来反映联合作用尚有一定的安全度。3、拱趾弯矩折减系数M=0.73，总之用挠度和弯矩的折减系数=联合作用/裸拱，可以说明联合作用的程度。在拱顶加载时值一般在0.80左右，这与模型试验的结果相同，此外需要说明，此P不完全对称时，则方法相同，仅左右R2、R5大小略有差别而已。（三）不对称荷载联合作用荷载P在左侧0#-8#截面之间（空腹区）对全拱而言，属不对称状态。此时拱发生向右侧移，右侧腹拱受水平压

33、缩，产生腹拱水平抗力Q，如图22，由于腹拱Q作用在弹性中心，至拱趾产生弯左WQ=QYK。与此同时，右侧立墙也上翘传递使腹拱趾受压，将产生垂直抗力R。但是因用刚度分配方法只能求解一个未知数，而实验又证明在侧移情况下Q的作用远大于R，因此在不对称荷载时，仅计算Q和WQ，而可忽略不计立墙传递的垂直抗斩R，R的作用由腹拱选用无铰拱的图式（Q计算偏大）而得到补偿。（一）腹拱水平抗力Q1、腹拱水平抗力Q与结点水平位移和多孔腹拱拱端等代刚度K腹大小成正比，即：式10式中P裸拱在P作用下主腹拱结点所产生的水平位移，如附录I。水平抗力系数，与Q产生的腹拱拱趾弯左WQ=-Q×YK如前面式3。2、例如图2

34、2，垂直荷载P=70T时，使主腹拱结点12#截面产生水平位移=×P=0.2985×2.145×10-3=0.64×10-3(m)，由此引起腹拱水平抗力Q=×K腹=0.64×10-3×194.8×103=124.85(T)，腹拱的YK=-0.28(m)，WQ=-124.85×(-0.28)=34.83(T)。（二）抗力Q、W所产生的反挠度内力1、单位水平抗力Q=1作用于12#截面（或8#）在拱内产生的弯矩可查附录。单位腹拱拱趾弯左WQ=1作用于8#截面在拱内氧生的弯矩可查附录。2、将计算而得到的（Q、WQ）

35、乘以附录和所查到的单位力弯矩可得到Q、W作用在裸拱圈上所产生的反弯矩，挠度可乘以该桥单位力的挠度值（用图乘法求得，计算过程从略）而得。P=70T在51#截面时联合作用（表8）截面项目051250挠度f×10-3m(=mm)P=70T裸拱fp0-5.48-1.7188.000Q=124.85 fQ04.660-4.660W=34.83 fW0-0.710.490.1220f=fp+ fQ+ fW0-1.53-1.2283.5620实测f00-1.26-0.213.320比较f0/f082%17%96%0弯矩M（T-M）P=70T裸拱Mp89.5-31.828.8103.5-149.2Q

36、=124.85 MQ-7733.100-33.1077W=34.83 MW12.35-9.695.42-1.711.14M=Mp+ MQ+ MW24.75-8.39-23.3868.69-71.06轴向力N（T）P=70T裸拱Np57.3057.2957.1071.8778.667Q=124.85 NQ-63.24-63.24±62.4363.2460.950W=34.83 NW2.912.93.363.553.527N=Np+ NQ+ NW-3.03-3.05122.89-1.973138.66143.11（三）联合作用挠度、内力在表8中将P在裸拱中的挠度和内力与腹拱水平抗力Q及W

37、所产生的反挠度和内力相加则得到联合作用的挠度和内力，将结果绘在图22上。由图可见P=70T作用在5#截面位置时考虑到联合作用与裸拱相较有如下特点：1、P=70T时5#截面，挠度折减1=0.432,弯矩折减M=0.664，右拱趾弯矩折减系数M=0.476，左拱趾弯左折减系数M=0.276，总之考虑联合作用后，不对称荷载P作用下的挠度和内力折减程度平均达到0.5左右，即比裸拱承载力可提高一倍以上。由此可见，在计算中考虑联合作用巨大效果。2、按本文方法所得计算挠度f=fp+ fQ+ fW与实测值在5#和51#截面有82-96%的吻合度。在拱顶截面，实测值更小，这是因为填料和桥面系等都参与作用未予计入

38、所在地致。应当说明，P在51#截面时，控制设计的是51#和01#截面，由表8数值可见，腹拱WQ=34.83(T-m)对51#截面弯矩M5W=-1.71(T-m)，挠度f5W=0.122(mm)绝对值都很小，因此在计算51#和01#截面内力时可以将WQ忽略不计。WQ对拱顶5#截面影响较大，但该两截面不控制设计。（四）联合作用弯矩影响线在生产实践中，往往只对若干控制设计的截面进行内力计算，因此可以绘制该截面考虑联合作用的弯矩影响线，再在其上布载。现仍以f/L=1/8，L=40m桥跨为例，以左拱趾弯矩M左和拱顶弯矩MK影响线计算步骤来说明。（一）左拱趾MK影响线1、如图23，单位荷载P=1分别在左右

39、半拱时：拱顶12#截面的水平位移表值列在表9中。腹拱抗力 单位抗力对左拱趾的弯矩如附录查得，如图23上标明。腹拱水平抗力Q对左拱趾的反弯矩MQ=Q。P在左半拱：MQ右=12.935×103表×15.308×10-3L=198L表值P在右半拱：MQ左=12.935×103表×（-15.308×10-3L）=-198L表值2、P=1作用下裸拱圈左拱趾的弯矩MP由资料14中查得，列在表9中。3、将MP和MQ相加，可得到联合作用弯矩，计算过程如表9，表示如图24。将图中正负弯矩的面积和最高座标Y分别计算折减系数Y=Y联/Y裸，=联/裸取平均值

40、说明拱趾负弯矩考虑联合作用折减系数=0.6215，正弯矩考虑联合作用折减系数=0.595。4、应当指明表9中忽略了WQ影响，对正弯矩有较大误差，对负弯矩精度足够。（二）拱面MS影响线1、如图20单位荷载P=1在0#-10#截面之间时，立墙与主拱的垂直相交结点2#、5#挠度不都是负值，因此产生上翘而引起的垂直抗力RS不大，故仍按产生水平抗力Q计。Q作用在12#截面对MS没有影响，但WQ=-QYK作用在8#截面，它对拱顶负弯矩有决定性影响，因此可按图25方法计算。如前知腹拱抗力Q=12.935×103表PWQ=-QYK=-12.935×103表P×(-0.28)=3.

41、6218×103表P由附录查所以W所产生的拱顶弯矩=3.6218×103表P×0.1556=563.4表P=14L表P2、P=1作用在12#截面时，Q=0，但在图20上立墙和主拱垂直相交结点2#、5#均产生上翘，因此产生腹拱垂直抗力R2、R5，按图26方法计算。P=1作用拱顶、2#截面挠度f2P=-16.722×10-6(m/T)。5#截面挠度f5P=-36.538×10-6(m/T)。2#立墙腹拱垂直抗力）5#立墙腹拱垂直抗力）由资料14查到时拱顶弯矩 故抗力R2、R5所产生的拱顶弯矩MR2=2×-4.006×10-3L&

42、#215;(-6.220×103)f2P=2×24.917f2pLMR5=2×-12.484×10-3L×(-3.673×103)f5P=2×24.917f5pL3、P在11#截面时也均使左右侧立墙腹拱上翘而产生垂直抗力R，用同样方法计算，但注意左右R值不等（当fp为正值时则R=0）例如：11#截面 垂直抗力R引起弯矩M12R2=-0.79×10-3L M12R5=-3.148×10-3L10#截面 M12R2=-0.766×10-3L M12R5=-4.116×10-3L9#截面 M12R2=-0.76×10-3L M12R5=-4.664×10-3L拱趾弯矩影响线（表9）MP位置MQ=±198LP表MPM折减系数附录I PMQ附录VMP+MQM/MP×10-3×10-3L×10-3L×10-3L0000010.0147612.293-34.0153-31.0920.91420.0476909.443-54.568-45.1250.82730.08828417.480-64.313-46.8330.72840.12682625.111-65.533-40.4220.61750.1