专题10：选修系列10

1、2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题10:选修系列一、选择填空题二、解答题1. (江苏2008年附加10分)选修4 1几何证明选讲A如图，设 ABC的外接圆的切线 AE与BC的延长线交于点 E，/ BAC的平分线与BC交于点D .求证：ED2 二EB EC .【答案】 证明：如图，T AE是圆的切线，. ABC CAE 。又 AD 是/ BAC 的平分线， BAD 二.CAD。 ABC BAD 二 CAE CAD 。NADE =NABC +NBAD，厶 DAE =NCAE +NCAD ,_ADEDAE o EA=ED。2EA是圆的切线，.由切割线定理知 ，EA -EC EB

2、。2而 EA=ED , ED =EB EC。【考点】与圆有关的比例线段。【分析】根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而 得到 EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。2. (江苏2008年附加10分)选修4 2矩阵与变换0寸应的变换作用下得到曲线 F，求F的在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆4x2 y2 = 1在矩阵°方程.【答案】解:设P(x)，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x),y0)在矩阵A对应的变换下变为点 P (x0, y0)x -匹冷- 2I 、小=y。则有=2x0，即,，所以*ly0 = y02 2 ' 2 &#

3、39; 2又因为点P在椭圆上，故4X0 y。=1，从而(x0)(y。)=1所以，曲线F的方程是x2y2 =1。【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。【分析】由题意先设椭圆上任意一点P（xo,y。），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P'（x0, y0），得到两点的关系式，再由点 P在椭圆上代入化简。3. （江苏2008年附加10分）选修44 参数方程与极坐标2在平面直角坐标系xOy中，点P（x, y）是椭圆y2 =1上的一个动点，求S =x y的最大值.3【答案】解：椭圆xy2 =1的参数方程为X='、3COS （为参数）3y = sin可设动点P的坐标为（J3cos肌sin *

4、）,其中0兰©<2兀. S = x y = . 3 cossin =2（- cos sin ） = 2sin（ §）Ji 当时，S取最大值2。6【考点】椭圆的参数方程【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式 进行化简，即可求出所求。4. （江苏2008年附加10分）选修4 5不等式证明选讲111/设a, b, c为正实数，求证： 3 3 * 3+abc > 2 3 .a b c1，即飞a丄丄2b3 c3 abc【答案】证明： a,b,c为正实数,由平均不等式可得1 1 1+ +:3 33 -a b c1 3-3 a

5、bc abc。c3abcW H + abc > 2 乙。 abc【考点】平均值不等式，不等式的证明。【分析】先根据平均值不等式证明111,3333 ' abc -a3 b3 c3abc-abc，再证abc _ 2,3。 abc5. （江苏2009年附加10分）选修4 -1:几何证明选讲如图，在四边形 ABCD中， ABC BAD.求证：AB / CD.【答案】 证明： ABC BAD ,/ ACB= / BDA。 A、B、C、D 四点共圆，/ CBA= / CDB。又 ABC BAD，/ CAB= / DBA。/ DBA= / CDB o AB / CD。【考点】全等三角形的性质

6、，四点共圆的判定，圆周角定理，平行的判定。【分析】 由厶ABC BAD得/ ACB= / BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而/ CBA= / CDB。再由厶 ABC BAD 得/ CAB= / DBA。因此/ DBA= / CDB，所以 AB / CD。6. （江苏2009年附加10分）选修4 - 2 :矩阵与变换 求矩阵A 2的逆矩阵.I2门【答案】解：设矩阵A的逆矩阵为 W'则；I； Wh'jo0113x + 2z=1x- -1,z = 2,y = 2,w = -3。即3x+2z 3y+列=0, r2； + z=0。解得:2x+z 2y+w_ 03y+2w = 02y

7、w = 1_1 2 A的逆矩阵为jI2-3一【考点】逆矩阵的求法。【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。7. （江苏2009年附加10分）选修4 - 4 :坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为X （t为参数，t 0）1 y =3（t t）求曲线C的普通方程。【答案】解： X2二t丄-2, X2 2二t二上。tt 3曲线C的普通方程为：3x? _ y 6 =0。【考点】参数方程和普通方程。1c111y【分析】将X =吐_ r平方即可得到X2 2 =t -，再将y =3(t -)化为t -，从而消去参数t,点ttt 3得到曲线C的普通方程。8. (江苏2009年附加10分)选修4 - 5

8、 :不等式选讲设 a >b > 0,求证：3a3 2b3 沁a2b 2ab2.【答案】 证明：3a3 2b3 - (3a2b 2ab2) =3a2(a - b) 2b2(b - a) =(3a2 - 2b2)(a - b),9999nC a 沛 >0, a -b >0 3a2 -2b2 >0, /. (3a2 2b2)(a b) >03322- 3a 2b >3a b 2ab .【考点】 不等式的证明。【分析】由代数式的变形可得 3a3 2b3 -(3a2b - 2ab2) = (3a2 -2b2)(a -b) _0 , 即可得证。9. (江苏2010

9、年附加10分)选修4-1 :几何证明选讲AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过 D作圆O的切线交 AB延长线于点 C,若DA=DC，求证:AB=2BC 。【答案】 证明：连接OD，则OD丄DC ,又 OA=OD , DA=DC ,/ DAO= / ODA= / DCO，/ DOC= / DAO+ / ODA=2 / DCO。/ DCO=300,Z DOC=60°。 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA。AB=2BC。【考点】 三角形、圆的有关知识。【分析】连接OD，贝U OD丄DC，又OA=OD , DA=DC，所以/ DAO= / ODA= / DCO，再证明OB=BC=OD=O

10、A，即可求解。10. (江苏2010年附加10分)选修4-2 :矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0) , B( 2,0) , C( 2,1)。设k为非零实数，矩阵A1 > B、C1 , A1B1C1M= |k 0 ',N= |°1_|，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为1。1 一 1 0 一的面积是厶ABC面积的2倍，求k的值。【答案】解：由题设得MN000由?山|ti 0，可知 Ai ( 0, 0)、Bi (0, 2)、Ci ( k ,2)。计算得 ABC面积的面积是i， AiBiCi的面积是|k|，则由题设知:| k |=2'：

11、i = 2。所以k的值为2或一2。【考点】图形在矩 阵对应的变换下的变化特点。【分析】k由题设得MN二oi I00一1，根据矩阵的运算法则进行求解。11. (江苏2010年附加10分)选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 ? =2cosv与直线3(cosv - 4 7nr - a = 0相切，求实数a的值。【答案】解： =2cosr， Y =2Sosr。.圆 t = 2cos，的普通方程为:(x-i)2y2 = i o直线 3cost - 4sin v a = 0 的普通方程为：3x 4y a = 0，又.圆与直线相切，142，解得：心，或8。【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程

12、。【分析】在极坐标系中，已知圆-2cosr与直线3"co，4sinr，a = 0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出a值。12. (江苏2010年附加10分)选修4-5 :不等式选讲设a、b是非负实数，求证：a3 b3 - x ab(a2 b2)。【答案】证明：a3b3-“ ab(a2b2)= a2 a(. a - . b)b2 b(. b - a)-、b)(倚5 -( .b)5=c、ab）2c.a）4（.a）3（、b）c,a）2（、.b）2 c,a）（、b）3（、.b）4又实数a、b0, 上式0二 a3 b3 _、ab(a2 b2)。【

13、考点】证明不等式的基本方法，二项式定理。【分 析】利 用 二 项 式 定 理 求 AD , AE分别是，圆0,和圆02的直径。ABACADAE2r,-=定值。a3b3rOb(a2b2)=(.a_.b)2(,a)4(2)3(£)C.a)2(.b)2( a)(b)3(b)4即可。13. （江苏2011年附加10分）选修4-1 :几何证明选讲如图，圆0,与圆02内切于点A，其半径分别为 片与r2（ r, nr2）.圆0,的弦AB交圆。2于点C （ 0,不在AB 上）.求证：AB : AC为定值.【答案】证明：连接A0,，并延长分别交两圆于点 E, D，连接BD , CE,圆0,与圆。2内切

14、于点A，点。2在AD上。3T / ABD= / ACE= 。二 BD / CE。2【考点】两圆内切的性质，圆周角定理，平行的性质。【分析】 如图，利用 EC / DB , AB : AC=AD : AE=2 r, : 2 r2，证出结论。14. （江苏2011年附加10分）选修4-2 :矩阵与变换已知矩阵求向量，使得A2=：.【答案】解：设:=A2,=3 2_2, _2 ,|4 3由 A2 f'得，【4 2皿越3x+2y =14x +3y = 2，解得y：21【考点】矩阵的运算法则。【分析】 设向量J*，由a2：.= 一：，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x和y的值，从y而求得向量

15、:-O15. （江苏2011年附加10分）选修4-4 :坐标系与参数方程x - 5cos'x - 4 - 2t在平面直角坐标系 xOy中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（ty=3sin 半y=3_t为参数）平行的直线的普通方程.【答案】 解：由题意知，椭圆的长半轴长为a = 5，短半轴长b = 3 , c = 4。右焦点为 4,0 o1 将已知直线的参数方程化为普通方程得x -2y 2 = 0，所求的直线的斜率为 丄°21所求的方程为 y （x4）即x 2y 4二0 °2【考点】椭圆及直线的参数方程。【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直

16、线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。16. （江苏2011年附加10分）选修4-5 :不等式选讲解不等式：x |2x -1b：3 .【答案】解：原不等式可化为严-住。或严-Y+2x-1 <3x-（2x1）c31 41解得， x < 或_2 < x< o2 32原不等式的解集为2 x 2 < x<【考点】解绝对值不等式。【分析】原不等式可化为2x _0x 2x -1 ：3或Z0x；2x1 : 3，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集。17.（ 2012年江苏省附加10分）选修4 -1:几何证明选讲如图,AB是圆O的直径,D,E

17、为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点 C，使BD =DC，连结AC,AE,DE .【答案】证明：连接AD。 AB是圆O的直径， ADB =90° （直径所对的圆周角是直角）CB AD _ BD （垂直的定义）。又 BD =DC , AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义） AB二AC （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 B =/C （等腰三角形等边对等角的性质）。又 D,E为圆上位于 AB异侧的两点， B = E （同弧所对圆周角相等）。 E二/C （等量代换）。【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证.E = . C ,就得找

18、一个中间量代换，一方面考虑到 B和.E是同弧所对圆周角， 相等;方面由AB是圆O的直径和BD二DC可知AD是线段BC的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 B二/C。从而得证。本题还可连接 OD，利用三角形中位线来求证 ZB ZC。18. （2012年江苏省附加10分）选修4 - 2 :矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值.【答案】解： A1 A = E ,O2 2_-1-3 -4-_13 1/ A 丄=44 ，二 A = (A11 -22矩阵A的特征多项式为令f ' =0，解得矩阵A的特征值讦-1, 2=4。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵 A的特征值。19.（2012年江苏省附加10 分）选修4 - 4 :坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆C经过点P（ 42，-4圆心为直线"一亍#与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.【答案】解：圆C圆心为直线Tsin -亠.3与极轴的交点,I3丿2在! sin3 中令 71=0，得=1。V3丿2圆C的圆心坐标为（1, 0）。圆C经过点P 2兀圆C的半径为PC =12 -2 12cos =1。4圆C经过极点。.圆C的极坐标方程为'