思维特训(十四)　反比例函数的综合应用

1、.思维特训十四反比例函数的综合应用与反比例函数图象有关的探究问题主要表达在两个方面，一是探究存在性，二是探究图形的形状及数量关系等解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起，还有要注意一些数学思想的灵敏应用类型一存在性问题1如图14S1，一次函数yk1xbk10与反比例函数yk20的图象相交于点A1，2，Bm，11求这两个函数的表达式2在x轴上是否存在点Pn，0n0，使ABP为等腰三角形？假设存在，求出n的值；假设不存在，请说明理由图14S12如图14S2，一次函数yx1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC.1假设点C在反比例函数y的图

2、象上，求该反比例函数的表达式2点P2，m在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当PAD与OAB相似时，P点是否在1中的反比例函数图象上？假如在，求出P点的坐标；假如不在，请加以说明图14S232019牡丹江 ：如图14S3，直线yxb与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x27x80的一个根，请解答以下问题：1求点B的坐标2双曲线yk0，x0与直线AB交于点C，且AC5，求k的值3在2的条件下，点E在线段AB上，AE，直线ly轴，垂足为P0，7，点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形？假设存在，请直接写出点N的坐标；假设不存

3、在，请说明理由图14S3类型二探究关系问题4如图14S4，在平面直角坐标系xOy中，函数yx0的图象与直线yx2相交于点A3，m1求k，m的值2点Pn，nn0，过点P作平行于x轴的直线，交直线yx2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数yx0的图象于点N.当n1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；假设PNPM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围图14S452019德州 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数yx与yk0的图象的性质小明根据学习函数的经历，对函数yx与y，当k0时的图象性质进展了探究下面是小明的探究过程：1如图14S5所示，设函数yx与

4、yk0图象的交点为A，B，点A的坐标为k，1，那么点B的坐标为_；2假设P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PMPN.证明过程如下：设Pm，直线PA的函数表达式为yaxba0那么解得直线PA的函数表达式为_请你把上面的解答过程补充完好，并完成剩余的证明当P点坐标为1，kk1时，判断PAB的形状，并用含k的式子表示出PAB的面积图14S5详解详析1解：1把A1，2代入y，得到k22，反比例函数的表达式为y.点Bm，1在反比例函数y的图象上，m2，由题意得点A1，2，B2，1在一次函数yk1xb的图象上，解得一次函数的表达式为yx1.2A1

5、，2，B2，1，AB3.当PAPB时，n1222n221，n0.n0，n0不合题意，舍去；当APAB时，22n1232.n0，n1；当BPBA时，12n2232.n0，n2.综上所述，n1或2.2解：1在yx1中，令y0可得x，令x0可得y1，A，0，B0，1，BAO30.ABC是等边三角形，BAC60，CAO90.在RtBOA中，由勾股定理可得AB2，AC2，C，2点C在反比例函数y的图象上，k22，反比例函数的表达式为y.2点P2，m在第一象限，ADODOA2，PDm.当ADPAOB时，那么有，即，解得m1，此时P点坐标为2，1；当PDAAOB时，那么有，即，解得m3，此时P点坐标为2，3

6、把P2，3代入y可得3，点P2，3不在反比例函数图象上；把P2，1代入y可得1，点P2，1在反比例函数图象上综上可知，P点坐标为2，13解：1解方程x27x80得x8或x1.线段OA的长是方程x27x80的一个根，OA8，A8，0将A8，0代入yxb，得4b0，b4，B0，42在RtAOB中，OA8，OB4，AB4.如图，过点C作CHx轴于点H，那么CHOB，AOBAHC，即，解得CH5，AH10，OH1082，C2，5双曲线yk0，x0经过点C，k2510.3存在，分两种情况：当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的一边时，过点E作EGx轴于点G，作EMAC交直线l于点M，如图所示，EGOB

7、，AGEAOB，EGOB1，AGAO2，OG826，E6，1EMAC，设直线EM的函数表达式为y2xc，把E6，1代入，得12c1，解得c11，直线EM的函数表达式为y2x11，当y7时，72x11，x9，M9，7C2，5，点N的坐标为1，11；当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为7，3；当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的对角线时，分别过点E，C作EGl于点G，CHl于点H，如图所示，那么EGMMHC90，EG716，CH752.四边形EMCN是矩形，EMC90，由角的互余关系得GEMHMC，EGMMHC，GMMHCHEG2612.又GMMH

8、628，GM2，MH6，点M的坐标为4，7E6，1，C2，5，N0，1；当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为4，1综上所述，存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为1，11或7，3或4，1或0，14解：1将A3，m代入yx2，得m321，A3，1将A3，1代入y，得k313.2PMPN.理由：当n1时，P1，1，把y1代入yx2，得x21，x3，M3，1，PM2.把x1代入y，得y3，N1，3，PN2，PMPN.Pn，n，点P在直线yx上，过点P作平行于x轴的直线，交直线yx2于点M，Mn2，n，PM2.同理可得PN|n|.PNPM，即PN2，即|3n2|2n，即或解得0n1或n3.5解：1由正、反比例函数图象的对称性可知，点A，B关于原点O对称，点A的坐标为k，1，点B的坐标为k，12证明过程如下，设Pm，直线PA的函数表达式为yaxba0那么解得直线PA的函数表达式为yx1.当y0时，xmk，点M的坐标为mk，0过点P作PHx轴于点H，如图所示，点P的坐标为m，点H的坐标为m，0，MHxHxMmmkk.同理可得HNk，PMPN.由可知，在PMN中，PMPN，PMN为等腰三角形，且MHHNk.当P点坐标为1，k时，PHk，MHHNPH，PM