数学建模——水资源

1、水资源短缺风险综合评价摘要.我国特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，特别是北京，水资源成为焦点话题。本文通过对北京市水资源短缺风险的综合评价，以及对影响水资源短缺因素之间的关系进行讨论分析。对北京市水资源短缺风险进行等级划分，通过建立模型对风险因子进行调控并有效来降低风险，并对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。对于本题，我们主要采用excel表格和matlab软件对模型进行求解。针对第一个问题，我们通过采用excel表格的方式，画出农业用水，工业用水，水资源总量和第三产业及生活等其它用水及降雨量的折线图，通过对比他们的走势及前几十年的关系，判断出主要风险因子。针对第二个

2、问题，我们利用模糊综合评价法对水资源风险进行评判，把水资源风险划分成低，较低，中等，较高和高五个等级，选取第一个问题得出的四个主要风险因子为评价对象的因素。关于风险因子权重的确定问题，我们采用了熵值法，从而较好地避免主观因素的影响，得出农业用水，工业用水，水资源总量和第三产业及生活等其它用水的权重分别为0.2128,0.2965,0.2659,0.2248。最后计算出水资源短缺风险的评判结果为中等。针对第三个问题，我们需要预测四个主要风险因子未来两年的数据，从而得出未来两年水资源短缺风险的情况。首先我们采用指数拟合的方法，画出各个图。判断各个走势，预测未来的风险情况。关键词. excel表格

3、折线图 模糊数学 熵值法 权重 指数拟合 matlab软件 MathType1. 问题的重述 我国是一个极度缺水的国家，我国的淡水资源总量为28000亿立方米，占全国水资源的6%，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，名列世界第四位。但我国的人均水资源只有2300立方米，仅为世界水平的四分之一，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。 北京本就不是一个多水的城市，新中国建立以来，北京多年的平均降雨量是585毫米年均形成水资源量37.4亿立方米，人均水资源量不足200立方米，但即使这个数据，近年来也在不断下降。北京市水资源短缺已经成为影响和

4、制约首都社会和经济发展的主要因素。我国年用水量整体呈现递增趋势，用水结构也发生了很大的变化。农业用水比例逐年下降，而工业和生活用水、生态用水所占的比例逐年上升，水资源短缺风险始终存在。所以如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。北京2009统计年鉴及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染

5、、农业用水、管理制度，人口规模等。2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？ 3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。 4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。2. 题的分析 对第一个问题来说，评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？我们都知道，影响北京市水资源短缺风险的风险因子有很多，那我们就需要去比较，通过对比，以作图的方式发现其中的差别，并判断主要的风险因子。并且我们要在问题解答的过程中自动去除一些影响甚微的因素，从而减小计算量，排除一些主观因素，以数据来表

6、述问题答案。对于第二的问题来说，建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？所谓综合评价，就是对现有的数据进行分析，并且做出一个评价的标准，并且把北京的情况给出一个评价。运用模糊数学中的综合评价模型，首先建立偏差矩阵，确定评价集合，根据风险度与偏差度的关系建立隶属度矩阵，最后根据熵值法确定各主要风险因子的熵权值，并求出过去30年北京市总体的风险指标。对应到所给的标准中。对第一个问题来说，评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？我们都知道，影响北京市水资源短缺风险的风险因子有很多，那我们就需要去比较，通过

7、对比，以作图的方式发现其中的差别，并判断主要的风险因子。并且我们要在问题解答的过程中自动去除一些影响甚微的因素，从而减小计算量，排除一些主观因素，以数据来表述问题答案。对于第二的问题来说，建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？所谓综合评价，就是对现有的数据进行分析，并且做出一个评价的标准，并且把北京的情况给出一个评价。运用模糊数学中的综合评价模型，首先建立偏差矩阵，确定评价集合，根据风险度与偏差度的关系建立隶属度矩阵，最后根据熵值法确定各主要风险因子的熵权值，并求出过去30年北京市总体的风险指标。对应到所给

8、的标准中。3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设1. 用水资源总量的影响来代替包括降水量等来水量的影响。2. 将人口数的影响并入到第三产业及生活等其他用水的影响当中。3. 并假设通过选择后的影响因素相互独立。4. 假设未来两年中不会发生洪灾、旱灾等大型自然灾害，不会兴建水利工程，政府关于水利方面的政策不会有大的变动。5. 假设数据来源可靠准确。6. 假设1979年-2007年间，无偶然因素对水资源供需关系产生重大影响。3.2符号说明A 矩阵B 归一化矩阵K 偏差矩阵Min 最小Max 最大V 等级标准（评论域）R 隶属度H 熵值W 权重（权重矩阵）U 加权平均4. 模型的建立与求解4.1通过

9、查阅北京市统计年鉴，我们初步选取了农业用水，工业用水，第三产业及生活等其他用水，水资源总量，降雨量作为主要考虑的水资源短缺因子。为了防止风险因子无明显变化或者变化明显、无规律影响分析结果，我们将五个风险因子进行简单作图分析： 从图中不难看出，农业用水，工业用水分别在1989,1992年前波动比较大，但是在1990,1993年以后总体呈下降趋势，通过查资料知道： 农业方面，我国逐渐抛弃了传统的漫灌方式，在全国范围内推广使用滴灌及喷灌的灌溉方式，实现了对水资源的节约。此外，从90年代开始初步实现了工程技术、农业技术和管理技术的有机结合，因此农业用水自1990年一直处于下降态势。 工业方面，自改革开

10、放以来，我国的科技创新能力逐年增强，高科技产品也逐年增多，产业也在向高端科技发展。由此，在生产方面，拥有了很多节水的技术及产品。从而，工业用水量在逐渐减小。 第三产业及生活等其他用水，自1978年改革开放以后，北京市增加了诸如酒店、学校、医院等的很多机关单位，并且北京市的人口数目也大幅上升，尤其是这其中外来人口数的增加都使得第三产业及生活等其他用水量也随之大幅上升。 通过简单的作图发现，农工业用水，第三产业及生活等其他用水，水资源总量，降雨量有着一定变化，可以从数据变化的角度对之加以分析，因此这些风险因子的选择是合理的。 但是通过折线图比较，在整个的用水量中，农工业用水，第三产业及生活等其他用

11、水占的比重明显比降雨量要大，所以农工业用水，第三产业及生活等其他用水为主要因子。4.2模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农

12、、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。建立观测矩阵根据4.1中求出的主要风险因子，建立观测矩阵。其中水资源总量越多，水资源短缺风险就越小，因此水资源总量对于水资源短缺是负相关，在这里我们对水资源总量数据进行取负处理。具体数据见下面矩阵 因子年份农业用水量（亿立方米）工业用水量（亿立方米）第三产业及生活用水量（亿立方米）水资源总量（亿立方米）197924.1814.374.37-38.23198031.8313.774.94-26198131.612.214.3-24198228.8113.894.52-36.6198331.611.244.72-34.7198421.8

13、414.3764.017-39.31198510.1217.24.39-38198619.469.917.18-27.0319879.6814.017.26-38.66198821.9914.046.4-39.18198924.4213.776.45-21.55199021.7412.347.04-35.86199122.711.97.43-42.29199219.9415.5110.98-22.44199320.3515.289.59-19.67199420.9314.5710.37-45.42199519.3313.7811.77-30.34199618.9511.769.3-45.871

14、99718.1211.111.1-22.25199817.3910.8412.2-37.7199918.4510.5612.7-14.22200016.4910.5213.39-16.86200117.49.212.3-19.2200215.57.511.6-16.1200313.88.413.6-18.4200413.57.713.4-21.4200513.26.814.5-23.2200612.86.215.3-24.5200712.45.816.6-23.82008125.217.9-34.24.2.2建立相对偏差矩阵建立关于的相对偏差矩阵。经过4.2.1中对于水资源总量取负处理，农业用

15、水量，工业用水量，第三产业及生活用水量和水资源总量都是负指标，即指标值越小方案越优的指标因素。因此采用如下的公式来计算相对偏差矩阵其中可知，越大，表示其偏差越大，可认为其风险较大。 因子 年份农业用水量工业用水量第三产业及生活用水量水资源总量19790.65460.76420.02540.2414198010.71420.06650.627819810.98960.58420.02040.69119820.86370.72420.03620.292919830.98960.50330.05060.352919840.5490.764700.207319850.019910.02690.2487

16、19860.44150.39250.22780.5953198700.73420.23360.227819880.55580.73670.17160.211419890.66550.71420.17530.768419900.54450.5950.21770.316319910.58780.55830.24580.113119920.46320.85920.50150.740319930.48170.840.40140.827819940.50790.78080.45760.014219950.43570.7150.55850.490719960.41850.54670.3805019970.

17、3810.49170.51020.746319980.34810.470.58940.258119990.39590.44670.6254120000.30740.44330.67510.916620010.34850.33330.59660.842720020.26280.19170.54620.940620030.1860.26670.69030.867920040.17250.20830.67590.773120050.15890.13330.75510.716320060.14090.08330.81270.675220070.12280.050.90640.697320080.104

18、7010.36874.2.3建立评论域水资源短缺风险为相对值，没有明显的界限,根据模糊数学理论可以将各评价指标分为若干级别。通过查资料,我们可以确定水资源短缺风险评论域为，我们选定其对应的区间分别为低，较低，中等，较高，高。对于隶属度矩阵的确定，我们采用模糊统计的方法，将每个评价因素对应于各分级指标的次数除以总次数得出评价因素对应各等级的隶属度4.2.4熵值法确定权重系数：信息熵评价所获系统信息的有序度及其效用，即由评价指标值构成的判断矩阵来确定指标的权重，从而尽量消除各指标权重的人为干扰，使评价结果更符合实际。其具体计算如下：（1） 在4.2.3中通过计算得到了4个风险因子，5个评价指标的隶

19、属度矩阵R： （2）将判断矩阵进行归一化处理，得到归一化矩阵，的元素为：将数据代入，构造归一化矩阵: （3）根据熵的定义，4个评价对象5个评价指标，确定各风险因子的熵值： 其中 将数据代入，得到 为：通过上述计算，得到各风险因子的熵矩阵： （4）利用熵值计算确定权重代入数据，得到各风险因子的权重矩阵：由上式可以看出，熵值越小时，熵权越大，表明相应的评价指标的信息量越有效，该评价指标越重要。反之，指标的熵越大，其熵权越小，该指标越不重要。4.2.5根据模糊数学原理进行综合评价： （1）水资源短缺风险评价的模糊综合评价模型为W与R的合成运算，即 S为水资源短缺风险的评判结果集： （2）根据模糊数学

20、理论中的模糊评判向量处理办法，我们采用加权平均原则处理数据，根据加权平均原则的公式：我们将评论域分别赋予权值代入公式可以计算：即北京市水资源短缺风险评价结果为中等。4.2.6根据评价结果调控风险因子 （1）农业用水：其所占权重系数较小，从4.1.1的图中看，其下降程度也比较明显，而且现在一些有效的喷灌滴灌等节水技术也已经推广，因此，只要对其简单调控，该风险因子的风险系数会进一步降低。 （2）工业用水：由权重矩阵可以看出，该风险因子所占权重为0.2965，处在一个比较高的水平，但由4.1.1的定性分析中可以看出，工业用水量正逐年减少可见北京市对工业用水的调控起到了比较好的作用，应当继续保持。 （

21、3）第三产业及生活等其他用水：由权重矩阵，我们可以看出第三产业及生活等其他用水所占权重虽然较小，但是从4.1.1的曲线图可以知道这部分用水随年逐步增长。所以也应当得到重点调控。在生活用水中，公共建筑用水占 55%，我们可以通过建立节水的规定制度来强化员工节水意识采取优惠政策鼓励节水行为大范围使用节水设施。其次，居民用水也占有相当大的比重。针对这一方面，我们通过适当控制人口的增长宣传并鼓励人们循环用水适当提高水价。（4） 水资源总量：针对北京市水来源主要包括:地下水、降水、南水北调工程地下水和降水。我们考虑通过南水北调工程来增加北京供水量。4.3 对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测 为了预测

22、未来两年北京市水资源短缺状况，我们首先对北京市未来两年工农业用水量、第三产业及生活等其他用水量、水资源总量的状况进行预测，继而采用模糊综合评价法评判出短缺风险等级。5.3.1 指数拟合近年来，北京市调控水资源的措施多、范围广、时间长，年代较远的数据对未来的预测没有太大的参考价值。因此，我们选取近10年来的数据进行分析，对时间序列上的用水量进行预测，自然情况下一个数据的变化应当满足的是指数拟合，而不是一次或者二次多项式拟合，因此我们采用指数方式拟合数据，得到以下各图：第三产业及生活用水工业用水农业用水水资源总量总用水量得到下表： 因素年份 农业用水量（亿立方米）工业用水量（亿立方米）第三产业及生

23、活等其他用水（亿立方米）水资源总量（亿立方米）200911.38054.637216.6999 29.1776 201010.84824.288317.3536 31.5256201110.3408 3.965818.0329 34.0626 20129.85723.667518.7389 36.8038由上述图表走势及数据分析可知，北京的农业用水，工业用水在逐年减少，说明北京的农业工业正在减少，第三产业及生活等其他用水会持续升高，不过水资源总量也会有所提升。综合考虑，除第三产业及生活等其他用水量的升高外，其他因素都在向着良性方向发展。第三产业及生活等其他用水量持续走高的现象，我们可以采取如下

24、措施：控制人口的大幅度增长和流入，倡导并鼓励市民的节水行为、强化节水意识。4.4建议报告北京市是我国的首都，是我国的政治、文化、经济中心，是一座国际化的大都市，经济发展迅速，人口高度集中，在全国的经济社会发展中占据着重要地位。从总体统计数据来看，北京市当地水资源的人均占有量约 300 立方米，是全国人均水平的 1/8，是世界人均水平的1/30，属于重度缺水地区。同时，2009 年全市平均降水量 448mm，比2008 年同期降水量 638mm 少30，比多年平均年降水量 585mm 少 23,成为近几年来缺水最为严重的一年。因此水资源的严重缺乏已经成为了制约北京市经济社会发展的主要因素。1）控

25、制人口增长速度，北京人口逐年上升趋势必然会导致用水量的增加，所以控制人口增长的增长会在一定程度上缓解用水短缺。 2）积极适度的开展各种水源。一是依据水资源的区域分布情况，积极实施跨流域和跨省区域调水，如，南水北调工程的实施在一定程度上缓解了北京用水紧张情况，二是积极开发洪水，雨水，咸水等非常规水源。 3）提高节水意识，这是一个非常艰巨同时又有价值的问题，政府可以加大广告宣传，多在电视，广播电视台，等媒体做宣传工作，让人们意识到节约用水的必要性所在，还可以加大教育投入，从孩子做起，培养节约用水的习惯。 4）加强节水设备的开发 。实行市场准入制度，非节水型器具和命令淘汰的用水器具禁止在北京销售和使

26、用，大力开发新型节水用具，如开发新式抽水马桶，从以前的从以前的储水九升以下标准降到六升，在满足冲洗标准的情况下，大力节约用水。 5）严格审批高耗水项目。从问题一的分析中我问发现对三产业用水占主要位置，第三产业的快速发展其中必有对水资源消耗很大的企业和设备。如，高档的洗浴中心，高科技的洗车场等等。政府应该严格审核，在注重经济发展的同时也要考虑到我们是一个人均资源占有量相当低的国家。严格落实科学发展观核心思想。要继续加强节水措施和重复用水措施改造。达到提高节水水平和水的重复利用率，最终实现经济可持续发展。 6）加快发展农业用水灌溉，北京现在每亩用水380-580立方米，而水资源短缺的国家用水比我们

27、低许多。所以我问的农业灌溉用水存在很大的提升空间，政府应该努力致力于灌溉方式的提高。如实施灌溉而不是用浇水带抽地下水，加快种植结构的调整和退耕还林严格控制水污染。 7）加大管理制度 加大力度治理污水，严格审核平污标准。市环保人员在人员配置方面要全面，对全市排放的各种污水，加大治理力度，实现污水资源化。 最后加强管理能解决问题但提高节水意识仍迫在眉睫，所以最后还希望政府加强节水意识的宣传和严格审批高耗水的项目，发展经济的同时也不忘记水资源的短缺问题，最后实现经济可持续发展。5. 模型的评价 问题的解决过程中，运用到了三个模型，在第一个问题中，用了类别分析法，这个模型的好处是比较简单直观的判断出主

28、要风险因子，但是也存在弊端，判断可能没有特别精确。第二个模型是运用模糊数学的方法，模糊数学的应用，使原来难以处理的问题有了相对较好的一种方法。第三个模型采用的是指数拟合，通过数据，软件预测出未来几年的用水量，是一种较为科学的建模方法。参考文献 1.姜启源,数学模型,北京：高等教育出版社，1998【2】2009年北京统计年鉴附录问题二 %建立观测矩阵X4=-x4;X4=(X4-min(X4)/(max(X4)-min(X4);A=x1',x2',x3',-x4' %建立相对偏差矩阵X1=X1'X2=X2'X3=X3'X4=X4'K=

29、X1,X2,X3,X4 %建立隶属度矩阵RR=zeros(4,5);for i=1:30 if X1(i,1)<=0.2 R(1,1)=R(1,1)+1; elseif X1(i,1)<=0.4 R(1,2)=R(1,2)+1; elseif X1(i,1)<0.6 R(1,3)=R(1,3)+1; elseif X1(i,1)<=0.8 R(1,4)=R(1,4)+1; elseif X1(i,1)<=1 R(1,5)=R(1,5)+1; endendfor i=1:30 if X2(i,1)<=0.2 R(2,1)=R(2,1)+1; elseif X2

30、(i,1)<=0.4 R(2,2)=R(2,2)+1; elseif X2(i,1)<0.6 R(2,3)=R(2,3)+1; elseif X2(i,1)<=0.8 R(2,4)=R(2,4)+1; elseif X2(i,1)<=1 R(2,5)=R(2,5)+1; endendfor i=1:30 if X3(i,1)<=0.2 R(3,1)=R(3,1)+1; elseif X3(i,1)<=0.4 R(3,2)=R(3,2)+1; elseif X3(i,1)<0.6 R(3,3)=R(3,3)+1; elseif X3(i,1)<=0

31、.8 R(3,4)=R(3,4)+1; elseif X3(i,1)<=1 R(3,5)=R(3,5)+1; endendfor i=1:30 if X4(i,1)<=0.2 R(4,1)=R(4,1)+1; elseif X4(i,1)<=0.4 R(4,2)=R(4,2)+1; elseif X4(i,1)<0.6 R(4,3)=R(4,3)+1; elseif X4(i,1)<=0.8 R(4,4)=R(4,4)+1; elseif X4(i,1)<=1 R(4,5)=R(4,5)+1; endendR=R/30 %求出隶属度的归一化矩阵Bfor i=

32、1:5 B(1,i)=(R(1,i)-min(R(1,:)/(max(R(1,:)-min(R(1,:); B(2,i)=(R(2,i)-min(R(2,:)/(max(R(2,:)-min(R(2,:); B(3,i)=(R(3,i)-min(R(3,:)/(max(R(3,:)-min(R(3,:); B(4,i)=(R(4,i)-min(R(4,:)/(max(R(4,:)-min(R(4,:);endB %建立f矩阵for i=1:4 c=0; for j=1:5 c=c+(1+B(i,j); end for j=1:5 f(i,j)=(1+B(i,j)/c; endendf %建立H

33、（熵值）矩阵for i=1:4 c=0; for j=1:5 c=c+f(i,j)*log(f(i,j); end H(i)=(-1/log(5)*c;endH %建立w（隶属度）矩阵for i=1:4 w(i)=(1-H(i)/(4-(H(1)+H(2)+H(3)+H(4);End问题三 农业用水Warnings during fitting:Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try centering and scaling. Linear model Poly4: f(x) = p1*x4 + p2

34、*x3 + p3*x2 + p4*x + p5Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.0001712 (-0.0002555, 0.0005979) p2 = -1.368 (-4.77, 2.035) p3 = 4097 (-6076, 1.427e+004) p4 = -5.455e+006 (-1.898e+007, 8.065e+006) p5 = 2.724e+009 (-4.014e+009, 9.462e+009)Goodness of fit: SSE: 463.1 R-square: 0.5745 Adjusted

35、R-square: 0.5064 RMSE: 4.304工业用水Warnings during fitting:Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try centering and scaling. Linear model Poly4: f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.0001322 (-1.224e-005, 0.0002765) p2 = -1.054

36、(-2.205, 0.09748) p3 = 3152 (-291.1, 6595) p4 = -4.189e+006 (-8.765e+006, 3.864e+005) p5 = 2.088e+009 (-1.923e+008, 4.368e+009)Goodness of fit: SSE: 53.04 R-square: 0.8214 Adjusted R-square: 0.7928 RMSE: 1.457第三产业及生活用水Warnings during fitting:Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try centering and scaling. Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 6.532e-006 (-5.605e-006, 1.867e-005) p2 = -0.06497 (-0.1859, 0.056) p3 = 258.5 (-223.8, 740.8)