【高考冲刺】最新河南省高考数学一诊试卷(理科)及解析

1、河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知 a R,复数 z_-，若T=Z,贝Ua=（）1A. 1 B.- 1 C. 2 D.- 22.（5 分）已知集合 M=x| 0，N=x|y=log3（- 6x2 3 4 5+11x- 4） ，贝UMn7-1N=（）A. 1,丄B.（寺,3 C （1,丄） D.（丄，2）3.（5 分）某城市收集并整理了该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最 高气温（单位：C）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最

2、高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1 月D. 最低气温低于 0C的月份有 4 个4 （5 分）在等比数列an中，若 a2= :, a3=匚，贝 U=（）引十七 1A.亍 B.亠 C.亍 D.25（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？ ”其意思为：今有底面为矩 形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？ ”若以上

3、条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 128n平方尺 B. 138n平方尺 C. 140n平方尺 D. 142n平方尺6.（5 分）定义x表示不超过 x 的最大整数，（x） =x-x，例如2.1 =2，（2.1） =0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的 x=5.8,贝U输出的 z=（）C. 4.6 D.- 2.8x R 都有 f (x) +2f (- x) =3cosx sinx，则函数 f (2x)图象的对称中心为（）2K-y=08. （5 分）设 x，y 满足约束条件*7. （5 分）若对于任意TTTTA. (k兀* 0)( k Z) B. (feiT -, 0)4oZ)

4、D.竽0) (kZ)2 o(kZ)C.(k若 z=- ax+y 取得最大值的最优解不A. - 1.4 B.- 2.6唯一，则实数 a 的值为（）A. 2 或-3 B. 3 或-2 C-寺或丄 D.-寺或 29. （5 分）函数 f （x） =f 的部分图象大致是（）4宀110. （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，贝 U 该几何体的表面积为（A. 20+12.二+2. B. 20+6 7+2.C. 20+6.二+2.；D. 20+12.1+2、2 211. （5 分）设椭圆 E:务+宁的一个焦点为 F （1，0），点 A （ 1， a2b21）为椭圆 E 内一点，若椭圆 E 上存在一点 P

5、,使得|PA+| PF|=9,则椭圆 E 的离 心率的取值范围是（）、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）A.C.D.12. (5 分) 已知函数 f (x) =lnx+ (2e2-a) x 寺4号，其中 e 是自然对数的底数,若不等式 f(x)2 时，恒有 kan=shSnS -成立，若 S99=，则 k=.n502 216. （5 分）设 F1，F2分别是双曲线务-宁d 10）的左、右焦点，过 Fi的直线 I 与双曲线分别交于点 A，B,且 A （m，18）在第一象限，若 ABR 为等 边三角形，则双曲线的实轴长为 _.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解

6、答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12 分）如图，在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 c=4,b=2, 2ccosC=b D, E 分别为线段 BC 上的点，且 BD=CD / BAE=Z CAE（1）求线段 AD 的长；（2）求厶 ADE 的面积.18. （12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮 游戏中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子 中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7 到 12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡

7、片放入一个不透明的盒子中， 每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 4 到 6 的卡片的同学留下，其余的淘 汰；第三轮将标有数字 1, 2, 3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每 人依次从中取得一张卡片，取到标有数字 2, 3 的卡片的同学留下，其余的淘汰； 第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同 学甲参加了该游戏.(1) 求甲获得奖品的概率；(2) 设 X 为甲参加游戏的轮数，求 X 的分布列和数学期望.19. ( 12 分)如图，在三棱台 ABC- A1B1C1中，D，E 分别是 AB, AC 的中点，BiE 丄平面 ABC, AB1C 是等边三角

8、形，AB=2AB1, AC=2BC / ACB=90.(1) 证明：BiC/平面 A1DE(2) 求二面角 A-BBi- C 的正弦值.20. (12 分)已知抛物线E:/=2px(p0)，斜率为 k 且过点 M (3，0)的直线I 与 E 交于 A，B 两点，且 0A -OB+3=0，其中 O 为坐标原点.(1) 求抛物线 E 的方程；(2) 设点 N (- 3, 0)，记直线 AN，BN 的斜率分别为 k1, k2,证明：七+蔦 ；为定值.21. (12 分)已知函数 f (x) = (x+1) eax(a0),且 x是它的极值点.a(1) 求 a 的值；(2) 求 f (x)在t - 1

9、, t+1上的最大值；(3) 设 g (x) =f (x) +2x+3xlnx,证明：对任意 X1, X2( 0, 1),都有 |g (X1)-g( x2)Ii.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 11的参数方程为(t 为参数),ty=kt直线 12的参数方程为(m 为参数)，设 li与 12的交点为 p,当 k 变化时,*p 的轨迹为曲线 C1(I)写出 Ci的普通方程及参数方程；(U)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设曲线 C2的极坐标 方程为 y：-

10、一冷-上一 .,Q 为曲线 Ci上的动点，求点 Q 到 C2的距离的最小值.选修 4-5:不等式选讲23 .已知 f (x) =| x+a| (a RR .(1) 若 f (x) | 2x+3|的解集为-3, - 1，求 a 的值；(2) 若？x R，不等式 f (x) +|x-a| a2- 2a 恒成立，求实数 a 的取值范围.2018 年河南省高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. (5 分)已知 a R, 复数 z 二丄 山J，若.=z，贝Ua=( )iA. 1B

11、.- 1 C. 2D.- 2【解答】 解：z=L_-+a- 1= (a- 1)-( a+1) i，iii贝贝、=(a - 1) + (a+1) i，v=z， a+1=0,得 a=- 1，故选：B.2. (5 分)已知集合 M=x| 0， N=x| y=log3(- 6x2+11x- 4) ，贝UMAK-1N=()A. 1,龙B.4,3 C. (1,丄)D.(斗，2)【解答】 解：集合 M=x|丄厶w0=x|1vx0 =x|丄 丁 一， MAN=x| 1vxw3Ax|寺K 0,执行循环体，x=1.7, y=1 - 1.4=- 0.4, x=1 -仁 0满足条件 x 0,执行循环体，x=- 0.2

12、, y=- 1 - 1.6=- 2.6, x=- 1 -仁-2不满足条件 x0,退出循环，z=- 2+ (- 2.6) =- 4.6.输出 z 的值为-4.6.故选：C.7.(5 分)若对于任意 x R 都有 f (x) +2f (- x) =3cosx- sinx,则函数 f (2x) 图象的对称中心为()A. (k 兀士* 0) (k Z) B.氏兀总，Q) (k Z)C.(罟，0) ( k Z) D.罟需，0) (k Z)【解答】解：对任意 x R,都有 f (x) +2f (- x) =3cosx- sinx，用-x 代替 x,得 f (- x) +2f (x) =3cos (- x)

13、- sin (- x)，即 f (- x) +2f (- x) =3cosx+sinx；由组成方程组，解得 f (x) =sinx+cosx, f(x)Isin(x), f(2x)2sin(2x-).令 2x+L=k n, k Z,求得 x兀,428故函数 f （2x）图象的对称中心为（込-E-, 0）, k Z,2 8故选：D.2z-y0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 OAB）.由 z=y-ax 得 y=ax+z，即直线的截距最大，z 也最大.若 a=0,此时 y=z,此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a0, 目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a

14、0,要使 z=y- ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2x- y=0 平行，此时 a=2,若 av0, 目标函数 y=ax+z 的斜率 k=av0,要使 z=y- ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 xy=1 平行，此时 a=- 3,综上 a=- 3 或 a=2,故选：A.8. （5 分）设 x, y 满足约束条件，若 z=- ax+y 取得最大值的最优解不唯一，贝 U 实数 a 的值为（）IA. 2 或- 3 B. 3 或- 2 C.或丄D.综上所述，只有 B 符合, 故选：B.9. (5 分)函数 f (x)=A.的部分图象大致是-11

15、1CaD.【解答】解： 函数 f（x）的定义域为（-x,u（-藝护U吩,OOf (- X)-K(亠厂4x-1=f (X), f(x) f(x)为偶函数，的图象关于 y 轴对称，故排除 A,令 f (X) =0,即亠4 F_i=0,解得 x=0,函数 f(x)当 x=1 时，f只有一个零点，故排除 D,1一 _亡3(1)=v0，故排除 C,10. （5 分）已知某几何体的三视图如图所示， 贝 U 该几何体的表面积为（A. 20+12.二+2. . B. 20+6：+2.C. 20+6+2.；D. 20+12 :+2 :【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥， 棱锥的底面为矩形 ABCD底

16、面与一个侧面 PBC 垂直，PB=PC=4 AB=3. PAD 中 AP=PD=5 AD=2，二 AD 边上的高为&PAD ；-,则该几何体的表面积为 12 二+8+6+6+2；|=12+20+2, I PF| | PA+I AF| , 2a=| P|+| PF| | PA+| AFi|+| PF 1+9=10, 即 a| PA |AF| , 2a=| PR|+| PF | PA - I AFi|+| PF 9- 1=8,即 a4,SAPCD=SPBA=1-X4二&SABCD=3X|： ：.叨=12 .:,X gx =3故选：D12. (5 分)已知函数 f (x) =lnx+

17、 (2e2- a) x-b,其中 e 是自然对数的底数,ill若不等式 f (x)0,乂当 a 0,f (乂)在(0, +x)上是增函数，f (x)2e2时，由 f (x) =0,得 x=-,a_2 e不等式 f (x)0, f (x)单调递增，a-2e2当 x(- , +x)时，f(x)v0, f (x)单调递减，a-2e2 4 a5,当 x=时，f（X）取最大值,a-2c2)=-In (a- 2e2)-b - 1 - 1 - ln (a- 2e2),-1 -Ln(a-2(a 2e2),令 F (x) =:-1丄 .2、 j- 1丄 匸/=(x2ln(x-2e ) -2e2ICx-2e) x

18、2,x2e2,F( x)令 H (x) = (x- 2O2) In (x- 2e2) 2e2,H (x) =ln (x-2e2) +1,I由 H (x) =0,得 x=2e2当 x(2 孕+二,2e2)时，H (x)v0, H (x)是减函数，当 x=2e2-时，H (x)取最小值 H (2e2丄)=-2e2-ce+x)时，H (x)0, H (x)是增函数,x( 2e2,Ix2 否时，H(x) 0,x3 孕时，H(x)0,H(3e2)=0, 当x(2e2, 3e2)时,F (x)v0, 当 x(3 孕，+x)时，F(x)0,F x=3e?时，F (x)取最小值,F (3e2)=-=-13e2

19、2 eF（x）是减函数,（x）是增函数，?L 的最小值为-2 a2即有一的最小值为a故选：B.、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）| , | 亡 | =2,贝 U 二 -413. （5 分）在厶 ABC 中，|1 + 门=|-【解答】解：在 ABC 中，|+ | =|,可得 I忑盃12=1 忑-AC |2,即有口2+,2+2？“=,2+浮-2？,即为 ？=0,则厶 ABC 为直角三角形，A 为直角，则 mr .,?i =-I 计？I - I ?cosB=-|.拥2二-4.故答案为：-4.14. (5 分)已知(1+x) (a-x)6=ao+aix+a2X2+ +a7x7,

20、 a R,若 a+a计a2+ +a6+a7=0,贝 U a3=- 5.【解答】解：(1+x) (a- x)6=ao+aix+a2x2+ +a7X7中，令 x=1 得，ao+ai+-+a7=2? (a- 1)6=0,解得 a=1，而 a3表示 x3的系数，所以 a3=C63? (- 1)3+C62? (- 1)2=- 5.故答案为：-5.15. （5 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，a1=1，当 n2 时，恒有 kan=sbSn- S| 成立，若 S99=，则 k=.可得$右.:成立,=1,故答案为：2.2 2务-宁 1山 L0）的左、色 b的直线 I 与双曲线分别交于点 A, B,且

21、A（ m ,18）在第一象限, 边三角形，则双曲线的实轴长为.【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AFi| - | AF2| =2a,ABE 是等边三角形，即|AF2|=|AB ,-1 BFi| =2a,又:| BF2- | BF| =2a, I BF2| =| BF|+ 2a=4a,BHFF 中，| BFi| =2a, | BF| =4a,ZFiB 巨=120| F1F2I2=| BF|2+| BF2|2-2| BFi| ?| Bb| cos120；即 4c2=4a2+16a2-2X2ax4aX（-丄）=28a2,2解得 c2=7a2, b2=6a2,可得解得 k=2.a4am一cIS216

22、 n16. （5 分）设 Fi, F2分别是双曲线右焦点，过 F1若厶 ABR 为等则=1,解得 a=-,则 2a=2.故答案为：2. .|AF|由 A 在双曲线上，可得三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)17. (12 分)如图，在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 c=4, b=2,2ccosC=b D, E 分别为线段 BC 上的点，且 BD=CD / BAE=Z CAE(1)求线段 AD 的长；c=4, 2ccosC=b 贝 U cosC=-即 BC=4 则 CD=2在厶 ACD 中，由余弦定理得

23、：AD2=AC2+CD2- 2AC?CDcosC=6则 AD= |.;(2)根据题意,AE 平分/ BAC,则坐=風=1BE AB 25变形可得：cosC=-，则&ADCD-&吩X2X2=-于2解可得 a=4,亠=.18.(12 分)某班为了活跃元旦气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮 游戏中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子 中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字 7 到 12 的卡片的同学留下，其 余的淘汰；第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中， 每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 4

24、到 6 的卡片的同学留下，其余的淘 汰；第三轮将标有数字 1, 2, 3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每 人依次从中取得一张卡片，取到标有数字 2, 3 的卡片的同学留下，其余的淘汰； 第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同 学甲参加了该游戏.(1) 求甲获得奖品的概率；(2) 设 X 为甲参加游戏的轮数，求 X 的分布列和数学期望.【解答】解：(1)设甲获得奖品为事件 A,在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关,(2)随机变量 X 的取值可以为 1, 2, 3, 4.X 的分布列为随机变量 X 的概率分布列为:X1234P111214126

25、所以数学期望 F. :Z 412 b lz19.(12 分)如图，在三棱台 ABC- A1B1C1中，D, E 分别是 AB, AC 的中点，B1E 丄平面 ABC, ABiC 是等边三角形，AB=2ABi, AC=2BC / ACB=90.(1) 证明：BC/平面 AiDE(2) 求二面角 A-BBi- C 的正弦值.【解答】证明：(1)因为 AiBi/ AB, AB=2ABi，D 为棱 AB 的中点，所以 AiBi/ BD, AiBi=BD,所以四边形 AiBiBD 为平行四边形，从而 BBi/ AiD.又 BB?平面 AiDE, AiD?平面 AiDE,所以 BiB /平面 AiDE,因

26、为 DE ABC 的中位线，所以 DE/ BC,同理可证，BC/平面 AiDE因为 BBGBC=B 所以平面 BiBC/平面 AiDE,又 BiC?平面 BiBC,所以 BiC/平面 AiDE.解：(2)以 ED, EC, EB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 E- xyz,设 BC=a 则 A (0 , - a , 0) , B (a , a , 0), C (0 , a , 0) , nII.,则/ -,匚二 Ln, i .设平面 ABB 的一个法向量皿二(巧* y *z | ,A二0ayi4-V3az i=0则， 即,iitAB二0且区十2吕歹1二

27、)取Zi=i，得 | - ： n _1.同理，设平面 BBiC 的一个法向量,又瓦二 -a.,旳呂)，0, 0),20.(12 分)已知抛物线 E:=2px(p0),斜率为 k 且过点 M (3, 0)的直线I 与 E 交于 A, B 两点，且 0A 05+3=0，其中 O 为坐标原点.(1) 求抛物线 E 的方程；(2) 设点 N (- 3,0),记直线 AN, BN 的斜率分别为 ki, k2，证明：-1-k/ k? k为定值.【解答】解：(1)根据题意，设直线 I 的方程为 y=k (x- 3),设 A (X1, yd , B (X2, y2), 所以.!n-&C=0r-ax=0

28、二。，得t-ay+V3az=0取 Z=-1,得，II.,亠，由所以联立方程组y2=2psy=k(i-3)-6p=0 ,2一+儿丫2二9-61二-3GOSni!14故二面角 A- BB- C 的正弦值为:- .=, yy2= 6p,一(珀匕)0E 二負xg+尹 1 丫 2 二4p所以 p=2,从而抛物线 E 的方程为 y2=4x.12 k y2212 Vi+y? (yi + /?)z-2/1y-?=k ZiYn,yiy2= 6p= 12,所以 a=- 3.(2)由(1)知 f (x) = (x+1) e-3x, f( x) = (- 3x- 2) e-3x当,即试寺时，f ( x )在t - 1 , t+1上递增， f昨尹 t+1)我伽)；当 t-i-|-，时，(x)在t -1,t+i上递减，f(Q 血盘二二1巳7 ； 当t十 1，即时，二 f(-.333 丄 33(3)证明：g (x) = (x+1) e-3x+2x+3xlnx，设 g (x) =m1(x) +m2(x)，x(0， 1)，其中TT| j1-T- + :，m2(x)=3x1nx，则 m/ (-3x-2)e*3x+2，设h(x) =(- 3x-2) e3x+2,则 h (x) = (9x+3) e-3x0，可知 m(