椭圆几何性质数学集体备课教案

1、第二章椭圆的几何性质命制：文亚妮校对：高二数学组审核：严春香备课时间：上课时间：§2.1.2椭圆的几何性质一、教学目标：1 .知识与技能：掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。2 .过程与方法：通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养。3 .情感、态度价值观：通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。教、教学重难点：（1）教学重点：椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）教学难点：学生的发现、观察、归纳能力的培养。三：课时计划：1课时四、

2、教学过程：学习目标：1、掌握椭圆的几何性质。2、灵活应用椭圆的几何性质。（一）课堂导入：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特22性？让我们一起来研究一下一一椭圆的几何性质，以方程、41（ab0）为研究对象。a2b2（板书）12.1.2椭圆的几何性质（二）讲授新课探究问题，观察发现问题1:教师：你能找到椭圆纸板的中心吗？学生1:（思考并回答）用手中的纸板折纸一一把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的交点,即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。得出结论：椭圆具有对称性。学生活动1:探究一：椭圆的对称性两条折

3、痕为对称轴椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称；实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合一一椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成，首先让两椭圆重合，旋转180后观察，得出结论问题2:关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？学生2:设P（x,y）,则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）、（-x,y）、（-x,-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x,-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。问题3:那么下面同学们一起归纳出方程要

4、满足什么条件曲线才具有这些对称性。学生3:结论：以-x代x,方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y,方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代y,方程不变，则曲线关于原点对称。老师：非常正确。+二1问题4:那么椭圆1是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？此时学生能快速判断，得出结论。同时让学生明白，图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。问题:5:教师：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐标吗？学生2:椭圆与对称轴有交点，有四个交点

5、。教师：很好，我们把椭圆与它的对称轴的这四个交点分别记作A,A2,Bl,B2请同学们将这四个点标在自己的椭圆纸板上，并抽象成数学图形将椭圆放在平面直角坐标系内研究，求出Ai,A2,Bi,B2的坐标。学生活动2:探究二：椭圆的顶点学生取点、画图，自己动手亲自体验将椭圆抽象成数学图形的过程，并求出A,A2,B1,B2的坐标。22教师：其实，我们把椭圆告4i（ab0）与坐标轴的交点A（a,O）,A2（a,0）,Bi（0,b）,B2（0,b）就叫做ab椭圆的顶点其中线段AAB&分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|AA|=2a,短轴长旧区|=2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长

6、轴在x轴上。(板书)椭圆的顶点：A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)。探究3：椭圆的范围教师：如果图中虚线所代表的就是你所要制作的椭圆纸板所在矩形纸的四个边缘，那么在平面直角坐标系中，他们所在直线的直线方程是什么？结论：椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形内。(板书)椭圆的范围：-a<x<a,-b<y<b学生活动4:问题7：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近于圆形。在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与

7、大家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。问题8：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？(带着疑问进入探究四。)学生活动5：探究四：离心率问题阅读课本39页内容，自习观察2.1-10图，当a不变时，c改变时，椭圆的扁与平与什么有关?学生在老师的启发下而提出离心率这一概念，进而得出可以用"来表示离心率。1）概念：椭圆C焦距与长轴长之比。2）定义式：,一】老师：那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭

8、圆的哪一个几何性质呢？再一次演示几何画板。学生发现厘不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。学生10:离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量。离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。1）范围：2）考察椭圆形状与e的关系：gTOqTQ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。凡椭圆变扁，直至成为极限位置线段其电,此时也可认为圆为椭圆在时的特例。老师：进一步拓展，除了用!可以来刻划椭圆的扁平程度，还可以用什么来刻划呢？学生指出a也可以，老师再问，那b是否也可以呢？它们分别是怎样来刻划的呢？留给大家课后思考。3 .反思构建，性质应用例1、求

9、椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长，离心率、交点和顶点的坐标。例2、下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆?(1)4x29y236W2520229x24y236Wy12164 .课堂小结，竞争合作请你谈谈通过这节课的学习，你学习到了什么？并且请各组成员互相评价。6 .当堂检测：课本41页：2,3,4第二章直线与椭圆的综合(1)命制：文亚妮校对：高二数学组审核：张雪梅§2.2.2直线与椭圆的综合(1)教学目标：(1)知识与技能：类比点与圆、直线与圆的位置关系，理解点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并会判断其位置关系。(2)过程与方法：类比学习点与椭圆、直线与椭圆的位置关系。(3)情感

10、态度与价值观：渗透数形结合思想。教、教学重难点：(1)教学重点：点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(2)教学难点：当直线与椭圆联立时，准确运算的能力。三：课时计划：1课时四、教学过程：学习目标：判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系知识点一点与椭圆的位置关系x22思考1判断点P(1,2)与椭圆了+y2=1的位置关系.答案当x=1时，得y2=3,故y=±*,而2>23,故点在椭圆外.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(X0,y0)与椭圆，+匕=1(a>b>0)的位置关系的ab判定吗？答案当p在椭圆外时，02+-0>1；当P在椭圆上时，b°=1;X2

11、2当p在椭圆内时，b0<1.22梳理设P(x。，y。)，椭圆1+1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如下表所示:ab满足条件位置关系知识点二直线与椭圆的位置关系思考1直线与椭圆有几种位置关系?P在椭圆外22X0 V。 a2+b2>1P在椭圆上22x。y。02+b2=1P在椭圆内22xo y。T2 + p<1 a b答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.22思考2如何判断y=kx + m与椭圆a2+b2= 1(a>b>0)的位置关系?y= kx + m,答案联立x2 y2_a-b2一，消去y得关于x的次方程.位置关系解的个数的取值相交两解A&

12、gt;0相切一解A = 0相离无解A<0儿类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系判断已知点P(k, 1),椭圆着+?=1,点在椭圆外，则实数k的取值范围为 9 4解析(一 00+ 0°)据题知k + 1>1,9 4解得,33.33k<2或k>2.引中探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?，+°°)答案(8,1k2.32解析依就9+1，解行k>§,即k<¥或k".33反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性

13、.22跟踪训练1已知点(3,2)在椭圆亨+看=1(a>b>0)上，则()A.点(3,2)不在椭圆上B.点(3,2)不在椭圆上C.点(一3,2)在椭圆上D.以上都不正确答案C94解析由已知得孑+=1,只有选项C符合该条件.命题角度2直线与椭圆位置关系判断例2(1)直线y=kxk+1与椭圆=1的位置关系是()23A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析直线y=kxk+1=k(x1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.2x(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,也)且斜率为k的直线l与椭圆万+y=1有两个不同的父点P和Q求k的取值范围._x2-1解由已知条件

14、知直线l的方程为y=kx+42,代入椭圆方程得万十(kx+，2)2=1.整理得+k2x2+2/kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于A=8k24；+k2=4k22>0,解得k<好或k>22.即k的取值范围为8,乎U1，+.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1) A>0?直线与椭圆相交？有两个公共点.(2) A=0?直线与椭圆相切？有且只有一个公共点.(3) A<0?直线与椭圆相离？无公共点.22跟踪训练2(1)已知直线l过点(3,1),且椭圆C:3y6=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为

15、（）A.1B.1或2C.2D.02 2（2）若直线y=kx+2与椭圆1+=1相切，则斜率k的值是（）3 2A.当B.普C.土坐D/答案(1)C(2)C解析（1）因为直线过定点（3,1）且<1,2536所以点（3,1）在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.x2y222（2）把丫=1+2代入§+彳=1,得（2+3/"2+12卜乂+6=0,4=0,*2=3,*=±当当堂训练：22.，一xy一.、1 .点A（a,1）在椭圆4+彳=1的内部，则a的取值氾围是（）A.2<a<<2B.a<42或a>y2C.2<a<2D.1&l

16、t;a<122 .若直线y=x+46与椭圆x2+m=1（m>0且m1）只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为（）A.1B.5C.2D.253 .直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是5m第二章直线与椭圆的综合2)命制：文亚妮校对：高二数学组审核：张雪梅.备课时间上课时间§2.2.2直线与椭圆的综合(2)教学目标：(1)知识与技能：会求直线与椭圆相交弦的弦长，会解决椭圆中的最值问题(2)过程与方法：联立方程组的思想，利用韦达定理求弦长；掌握点差法。(3)情感态度与价值观：培养严谨思维能力，认真计算的能力。教、教学重难点：(1)教学重点：求直线与椭圆相

17、交弦的弦长。(2)教学难点：点差法。三：课时计划：1课时四、教学过程：学习目标：1、会求直线与椭圆相交弦的弦长。2、椭圆中的最值问题和范围问题。(一)直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得,另一种方法是利用弦长公式可求得.梳理 弦长公式：(1)| AB=7X1X2+y1 一 y2=、1 + k1 2 | X1X2|=1+k2y+y24yy2(直线与椭圆的交点NjyMB(x2,y2)k为直线的斜率).其中，X1+X2,X1X2或y1+y2,y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y

18、或x后得到关于x或y的一元二次方程得到.(二)弦长及中点问题22例1已知椭圆轰+y=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.369,一一，1，一，一、(1)当直线l的斜率为2时，求线段AB的长度;(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.1解(1)由已知可得直线l的万程为y2=2(x4),1消去 y 可得 x2 18=0,若设 A(X1, y1)，B(X2, y?).则 x + X2=0, X1X21 y=2X，即y=7.由222 xy36+8=1，=18.于是|AB|=xiX22+yi-y22,2.12=、/Xi-X2+4Xi-X2=25yX1+X22-4X1X2若X

19、642=3亚所以线段AB的长度为310.(2)方法一当直线l的斜率不存在时，不合题意所以直线l的斜率存在.设l的斜率为k,则其方程为y2=k(X4).y2=kx4,联立工y36+§=1?消去y得(1+4k2)X2-(32k216k)X+(64k264k20)=0.若设 A(X1, y。，-32k216kB(X2,y,则X1+X2=+4k2,由于AB的中点恰好为P(4,2),所以X1；X261118k=4,解得k=一：,且满足A>0.21+4k21这时直线的万程为y2=2(X4),即X+2y8=0.22X1y36+9j方法二设A(X1,y。，B(X2,y»,则有22JJ

20、3691，x2X2y2y2两式相减得36+=0,士5”口,y2-y19X2+X1整理得kAB=-36y2+y1,由于P(4,2)是AB的中点，X1+X2=8,y1+y2=4,9X8于7H kAB= 367=12'一一一，、1于是直线AB的万程为y2=2(x4),即x+2y8=0.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练1已知椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0且awb)与直线x+y1=0相交于A,

21、B两点，C是AB的中点，若|AB=2，OC的斜率为平，求椭圆的方程.解方法一设A(xi,y。，B(x2,y2),代入椭圆方程并作差，得a(xi+x2)(xi-x2)+b(yi+y2)(yi-y2)=0.A,B为直线x+y-仁。上的点，=-L由已知得x：x?=koK2'代入式可得b=.112a.;直线x+y1=0的斜率k=1.又|AB=11+k21x2-x1|=加膝2刈=272,.|x2x"=2.联立ax2+by2=1与x+y1=0,可得(a+b)x22bx+b1=0.一.一一、一o2bb-1且由已知得xsx2是万程(a+b)x2bx+b1=0的两根，x1+x2=a,x1x2=

22、ob,.4=(x2x)=(x+x2)4xx22b2b-1=a+b4a+b1将b=y2a代入式，解得a=1,3所求椭圆的方程是等=1.ax2+by2=1方法二由，cx+y1=0得(a+b)x22bx+b1=0.设 Ax1, y1), B(x2, y2),则2bb-1x1+x2=x1x2=a+b'a+b'且直线AB的斜率k=1,|AB=yk2+1xI一x22=k2+1xi+X224x1x2厂,4b4a+bb17a+ba + b aba+ b=1.a+ b.IAB|=2蛆，,V4b2-4a±b设C(x,y),则x=-2-=or，y=1-x=a+b.oc的斜率为乎，J=b=g

23、,将其代入式得，a=,b=g.Xb233所求椭圆的方程为2+m=1.33类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.4x2+y2= 1,y=x+m,得 5x2+2mx+ m2- 1=0,因为直线与椭圆有公共点，所以A=4m2-20(m2-1)>0,解得一乎&mK专.(2)设直线与椭圆交于A(xi,y。,B(x2,y2)两点,由(1)知5x2+2m奸m2-1=0,xd2=1(m2-1)所以|AB|=qx1一x2+y1一y22x1一xY2x+x2-4x1x-=l2空，

24、m2T=5-a8m.所以当m=0时，|AB|最大，此时直线方程为y=x.引中探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y»两点，求AOB0积的最大值及AOBH积最大时的直线方程.解可求得。到AB的距离d=,又 |AB =101 8m2,c1S>AAOB=21AB.d2im10-8m2-1f；22二55 m2 mk 2 -455cC当且仅当4一吊=南时，上式取”此时m=土呼E真当.;所求直线方程为xy±4°=0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问

25、题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练4已知椭圆C：x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设。为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAL0旦求|AB的最小值.介上工22八仙，x2y2解(1)椭圆C：x+2y=4化为标准方程为I+2=1，a=2,b=J2,c=J2,、c2，椭圆c的离心率e=a=2.(2)设 A(t, 2) , B(xo,yo) , x°w0.OAL OBOA恒o,tx o+ 2yo=o, . t =2yo xo'又=x2+2y；=4,o<x2<4.IAB2=(xo-t)2+(yo-2)2=xr+；82+4>4+4=8,2xox2o当且仅当Ax2,即x2=4时等号成立,|AB的最小值为2班.(三)当堂检测：221.过点P( 1,1)的直线交椭圆=1于A, B两点，若线段AB的中点恰为点P,则AB所在的直线方程为答案 x 2y+3=05.直线l : y = kx+1与椭圆1+y2=1交于M, N两点，且|MN = 4f,求直线