高级计量经济学总结

1、高级计量经济学第1章 经典回归模型相关理论相关分析是研究变量间相互关系的最基本方法。相关指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。相关指的是线性相关。1相关的分类：（1）按强度分：完全相关，强相关，弱相关，零相关。（2）按变量个数分：简单相关（按形式：线性、非线性相关；按符号：正、负、零相关。）复相关，偏相关。2相关的度量：简单线性相关系数，简称相关系数，用 r 表示。r 的统计表达式是r = 其中T，样本容量；xt，yt变量的观测值；,变量观测值的均值。3简单相关系数的检验 查相关系数临界值表6偏相关系数以3个变量xt, yt, zt,为例（多于3个变量的情形与此相似。），假定控制zt不变

2、，测度xt, yt偏相关关系的偏相关系数定义如下。= 控制zt不变条件下的xt, yt的简单相关系数。7复相关系数（2）计算yt与的简单相关系数，则称是yt与xt1, xt2, , xt k -1的复相关系数。复相关系数与简单相关系数r的区别是简单相关系数r的取值范围是-1，1，复相关系数的取值范围是0，1。简单线性回归模型（熟知各个估计量、统计量，学会分析EViews输出结果）简单线性回归模型如下， yt = b0 + b1 xt + ut 模型包含的经济意义。边际系数，弹性系数等。对经济问题，有时yt对固定的t只能取一个或若干个值。但从建模原理上认为yt，ut是随机变量。对固定的t，它们的

3、值服从某种分布。假定条件：(1) ut N (0, s 2 ), (2) Cov(ui, uj) = 0, (3) xi是非随机的。(4) Cov(ui, xi) = 0.1最小二乘估计（OLS）：最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”。 = = 2最小二乘估计量和的特性：（1）线性特性，（2）无偏性，（3）最小方差性。3OLS回归直线的性质： (1) 残差和等于零，å ut = 0 (2) 估计的回归直线 =+ xt 过（,）点。(3) yt 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，=。4注意分清4个式子的关系：真实的统计模型，yt = b0 + b1 xt + ut （

4、通常是见不到的。）估计的统计模型， yt =+ xt + （对上式的估计。）真实的回归直线，E(yt) = b0 + b1 xt （通常是见不到的。）估计的回归直线，=+ xt （对上式的估计。）= yt - 5yt的分布和的分布（保证正态分布是进行t, F检验的基础。）yt N (b0 + b1 xt, s 2 )。 N (b1, s 2 )。6s 2 的估计：（s 2 是对每一个ut而言，但估计时却是用整个样本的残差计算而得。）= , s.e. = （s.e.越小越好），分母为什么是（T-2）？7拟合优度的测量（评价模型的一个重要指标） R2 = = （回归平方和）/（总平方和）= SSR

5、/SST=1-= 1- 8回归参数的显著性检验（用以检验相应变量是否为重要解释变量。）H0：b1 = 0； H1：b1 ¹ 0 t = = = t (T-2)若 | t | > ta (T-2) ，则 b1 ¹ 0； 若 | t | < ta (T-2) ，则 b1 = 0。（EViews输出结果中相应概率小于0.05回归系数有显著性。）9回归参数的置信区间（给出模型参数真值的可信范围）- ta (T-2) < b < + ta (T-2)10单方程回归模型的预测(1) 单个yT+1的点预测。根据估计的回归函数， =+ xt，得=+ x T+1单个的

6、区间预测是± ta(T-2) s () = ± ta(T-2) E(yT+1)的区间预测是± ta(T-2) s (E() = ± ta(T-2) （单个的预测区间比E(yT+1)的预测区间多ut的一个标准差。）1.3 多元线性回归与最小二乘估计1假定条件、最小二乘估计量和高斯马尔可夫定理yt = b0 +b1xt1 + b2xt2 + bk- 1xt k -1 + ut , 对经济问题的实际意义：yt与xt j存在线性关系，xt j, j = 0, 1, , k - 1, 是yt的重要解释变量。ut代表众多影响yt变化的微小因素。使yt的变化偏离了E(

7、 yt) = b0 + b1xt1 + b2xt2 + bk- 1xt k -1 决定的k维空间平面。 当给定一个样本（yt , xt1, xt2 , xt k -1）, t = 1, 2, , T, 时，上述模型表示为 Y = X b + u , 假定 E(u) = 0, Var (u) = s 2I.假定 E(X 'u) = 0.假定 rk(X 'X) = rk(X) = k .假定 解释变量是非随机的，且当T 时T 1X 'X Q , 其中Q是一个有限值的非退化矩阵。最小二乘法 (OLS) 公式： = (X 'X)-1 X 'Y 估计的回归模型：

8、Y = X+ 的方差协方差矩阵： Var() = E(b) (b)'= s 2 (X 'X)-12. 残差的方差 s2 = '/ (T - k) , s.e. = s3的估计的方差协方差矩阵是 () = s2 (X 'X)-1 4. 调整的多重确定系数 = 1 - = 1- (1- R2) 5. OLS估计量的分布 因为u N (0, s 2I )， Y N (Xb, s 2I )，所以 N ( b, s 2 (X 'X)-1 ) 6. F检验 （只进行一次，检验回归方程的显著性）H0: b1= b2 = = bk-1 = 0; H1: bj不全为零F

9、= = F(k-1,T-k)若 F £ Fa (k-1,T-k) , 接受H0若 F > Fa (k-1,T-k) , 拒绝H0（EViews输出结果中相应概率小于0.05回归方程有显著性。）7t检验 （进行k - 1次，检验每个回归系数的显著性）H 0：bj = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj ¹ 0t = = t(T-k) 判别规则：若½ t ½£ ta(T-k) 接受H 0；若½ t ½> ta(T-k) 拒绝H 0。（EViews输出结果中相应概率小于0.05回归系数有显著性。）

10、8预测相对误差h =非线性回归模型的线性化处理（经验越丰富，线性化效果越好。）非线性回归模型分为两类：一类是不可以线性化的非线性模型，如yt = a0 e a1x + ut，可采用极大似然估计等方法估计参数。一类是可以线性化的非线性模型。线性化后可采用OLS法估计参数。所有评价方法都与第1章介绍的内容相同。这里主要介绍可线性化的非线性模型。主要包括： 指数模型， 对数模型， 幂函数， 双曲线函数， 多项式方程（趋势面分析）， 逻辑曲线 (logistic) 模型， 龚伯斯（Gompertz）曲线。补充材料4：虚拟变量定性变量作解释变量1 截距移动 设模型，yt = b0 + b1 xt + b

11、2D + ut ,其中yt，xt为定量变量；D为虚拟变量。D = 0 或1。注意：若定性变量含有m个类别，最多只能引入m-1个虚拟变量（导致多重共线性）。2 斜率变化 当需要考虑影响斜率，即回归系数变化时，可建立如下模型： yt = b0 + b1 xt + b2 D + b3 xt D + ut ,其中xt为定量变量；D为定性变量。D = 0 或1。通过检验 b3是否为零，可判断模型斜率是否发生变化。1.5.5 异方差异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）复杂型异方差。(1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。

12、金融时间序列中的异方差常表现为复杂型异方差，有自回归条件异方差（ARCH，GARCH）模型处理此问题。 1. 异方差的后果用OLS法求出的仍具有无偏性，但不具有有效性和渐近有效性。 2. 定性分析异方差 (1) 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如个人收入与支出关系，投入与产出关系。(2) 利用散点图做初步判断。(3) 利用残差图做初步判断。 3. 定量检验异方差(1) White检验以二元回归模型为例，yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (5.9)首先对上式进行OLS回归，求残差。做如下辅助回归式，= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4

13、 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (5.10)即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。White检验的零假设和备择假设是 H0: (5.9)式中的ut不存在异方差， H1: (5.9)式中的ut存在异方差在不存在异方差假设条件下统计量 T R 2 c 2(5) (5.11)其中T表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)的OLS估计式的可决系数。自由度5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不计算常数项）。T R 2属于LM统计量。判别规则是若 T R 2 £ c

14、2a (5)，接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 > c2a (5)，拒绝H0 （ut 具有异方差） (2) Goldfeld-Quandt 检验（只适用于检验递增型异方差） H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 F = = ，（k为模型中被估参数个数）在H0成立条件下，F F( n2 - k, n1 - k) 判别规则如下，若 F £ Fa (n2 - k, n1 - k) , 接受H0 （ut 具有同方差）若 F > Fa (n2 - k, n1 - k) , 拒绝H0 （ut 具有递增型异方差）注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以

15、每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型异方差。 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。 4. 消除异方差的方法 （1）直接假定异方差形式是Var(ut) = (k xt)2。（因为Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 | = k xt）如原模型为 yt = b0 + b1 xt + ut 用xt同除上式两侧得 yt / xt = / xt + ut / xt , 此时Var(ut/ xt) = k 2。将参数代入原模型。 （2）对数据取自然对数消除异方差。1.5.6 自相关1. 非自相关假定 Cov(ui, uj ) = E(ui uj)

16、 = 0, (i, j Î T, i ¹ j),自相关又称序列相关。这里主要是指回归模型中随机误差项ut与其滞后项的相关关系。所研究的自相关的主要形式是一阶线性自回归形式。 ut = a1 ut -1 + vt对于总体参数有相关系数 r = a1。经济变量中的自相关一般表现为正自相关。2. 自相关的来源 (1) 模型的数学形式不妥。 (2) 经济变量的惯性。 (3) 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。2. 自相关的后果(1) 只要假定条件Cov(X ' u) = 0 成立，回归系数 仍具有无偏性。(2) 丧失有效性。(3) 有可能低估误差项ut的方差。3.

17、自相关检验介绍三种判别与检验方法。(1) 图示法，（2）DW（Durbin-Watson）检验法，(3) 回归检验法。（4）LM检验（亦称BG检验）法 =+ +b0 +b1x1 t +b2 x2 t + + b k 1 x k-1 t + vt (6.20)上式中的是（6.18）式中ut的估计值。估计上式，并计算可决系数R2。构造LM统计量， LM = T R2 (6.21)其中T表示（6.18）式的样本容量。R2为（6.20）式的可决系数。在零假设成立条件下，LM统计量近似服从 c2(n) 分布。其中n为（6.19）式中自回归阶数。如果零假设成立，LM统计量的值将很小，小于临界值。判别规则是

18、，若LM = T R2 £ c2(n)，接受H0；若LM = T R2 > c2(n)，拒绝H0；4. 自相关的解决方法广义差分变换法。用新变量估计参数值，然后代入原模型。5. 自相关系数的估计用DW统计量估计r，r = 1- DW/2。多重共线性1非多重共线性假定rk (X 'X ) = rk (X ) = k .解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。 | rxi xj | ¹1, | rxi xj | 不近似等于1。因为解释变量间存在一定程度的线性关系是实际中常遇到的情形，所以我们关心的不是有无多重共线性，而是多重共线性的程度。 2多重共线性的经

19、济解释 （1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。（2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。 3多重共线性的后果（1） 当 | rxi xj | = 1，X为降秩矩阵，则 (X 'X) -1不存在，= (X 'X)-1 X 'Y 不可计算。 （2）若 | rxi xj | ¹1，即使 | rxi xj | ®1，仍具有无偏性。（3）当 | rxi xj | ®1时，X 'X接近降秩矩阵，即 | X 'X | ®0，Var() = s 2 (X 'X)-1变得很大。所以丧失有效性。 4多重共线性的检验 （1）初步

20、观察。当模型的拟合优度（R 2）很高，F值很高，而每个回归参数估计值的方差Var(bj) 又非常大（即t值很低）时，说明解释变量间可能存在多重共线性。 （2）Klein判别法。计算多重可决系数R2及解释变量间的简单相关系数rxi xj。若有某个| rxi xj | > R2，则xi，xj间的多重共线性是有害的。 5多重共线性的克服方法5.1 直接合并解释变量 5.2 利用已知信息合并解释变量 5.3 增加样本容量或重新抽取样本 5.4 合并截面数据与时间序列数据5.5逐步回归法1 突变检验（break point test, Chow检验）两个样本分别用n1和n2表示，并定义T = n1

21、 + n2。则所用统计量定义为 F = = F(k, T-2 k) H0: aj = bj , j = 1, , k-1 H1: aj, bj,不全对应相等检验规则是 若F > Fa (k,T-2k) 拒绝H0（回归系数有显著性变化） 若F < Fa (k,T-2k) 接受H0（回归系数无显著性变化）2回归系数的稳定性检验（Chow检验）首先对同一形式模型（含k个被估参数）用样本T和样本T+ n分别进行回归，则所用统计量定义为 F = F(n, T- k) H0: bj = bj' , （j = 1, , k-1） H1: bj与bj' , （j = 1, , k-

22、1），不全对应相等检验规则是 若F > Fa ( n, T- k) 拒绝H0（回归系数有显著性变化） 若F < Fa ( n, T- k) 接受H0（回归系数无显著性变化）第2章 时间序列模型时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是： 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，本身的外推机制描述时间序列的变化。 明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。2.1随机过程概念随机变量组成的一个有序序列称作随机过程。表示为 xt。两种基本的随机过程（1） 白噪声过程 对于随机过程 xt , t&#

23、206;T , 如果E(xt) = 0, Var (xt) = s 2 < ¥ , tÎT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) Î T , k ¹ 0 , 则称xt为白噪声过程。（2） 随机游走过程对于下面的表达式 xt = xt -1 + ut ( 2.3)如果ut 为白噪声过程，则称xt为随机游走过程。随机游走过程的均值为零，方差为无限大。 2.2时间序列模型的分类 1自回归过程, AR(p)如果一个线性过程可表达为 xt = f 1xt-1 + f 2 xt-2 + + f p xt-p + ut , (2.4)用

24、AR(p)表示。2 平均过程, MA(q)如果一个线性随机过程可用下式表达xt = ut + q 1 ut 1 +q 2 ut -2 + + q q ut q = (1 + q 1L + q 2 L2 + +q q Lq) ut = Q(L) ut其中q 1, q 2, , q q是回归参数，ut为白噪声过程。上式称为q阶移动平均过程，记为MA(q)。自回归与移动平均过程的关系： 一个平稳的AR(p)过程可以转换为一个无限阶的移动平均过程，一个可逆的MA(p)过程可转换成一个无限阶的自回归过程， 对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题。不必考虑可逆性问题。对于MA(q)过程，只需考虑可逆性问题，

25、不必考虑平稳性问题。3自回归移动平均过程由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程， xt = f 1xt-1 + f 2xt-2 +f p xt-p + ut +q 1ut-1 + q 2 ut-2 + .+ q q ut-q (2.16)记为ARMA(p, q)。ARMA(p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即F (z) = 0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即Q (z) = 0的根取值应在单位圆之外。4单整自回归移动平均过程随机过程yt 经过d 次差分之后可变换为一个以F (L)为p阶自回归算子，Q (L)为q阶移

26、动平均算子的平稳、可逆的随机过程， F (L)Dd yt = Q (L) ut 则称yt 为（p, d, q）阶单整(单积)自回归移动平均过程，记为AR1MA (p, d, q)。这种取名的目的是与以后各章中的称谓相一致。AR1MA过程也称为综合自回归移动平均过程。2.3 自相关函数以滞后期k为变量的自相关系数列 rk, k = 0, 1, , K （理论的）称为自相关函数。MA(q) 过程的自相关函数具有截尾特征。相关图 rk = gk /g0, k = 0, 1, , K （估计的）是对自相关函数的估计。相关图是识别MA过程阶数和ARMA过程中MA分量阶数的一个重要方法。2.4 偏自相关函

27、数用 fkj 表示k阶自回归式中第j个回归系数，则k阶自回归模型表示为 xt = fk 1 xt-1 + fk 2 xt-2 + + fkk xt-k + ut其中 fkk 是最后一个回归系数。若把fkk看作是滞后期k的函数，则称 fkk, k = 1, 2 (2.45)为偏自相关函数。AR过程和ARMA过程中AR分量的偏自相关函数具有截尾特性 偏相关图, k = 1, 2 ，是对偏自相关函数的估计。偏相关图是识别AR过程和ARMA过程中AR分量阶数的一个重要方法。2.5 时间序列模型的建立与预测建立时间序列模型三步骤。（1）模型的识别，（2）模型参数的估计，（3）诊断与检验。(1) 模型的识别在对经济时间序列进行分析之前，首先应对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差。用单位根检验或相关图判断随机过程是否平稳。防止过度差分。（时间序列的波动幅度变大，即样本的极差变大。）学会按表2.3识别参数p，q。(2) 模型参数的估计学会用EViews估计模型参数，写出表达式，分析EViews估计结果。(3) 诊断与检验检验模型参数的估计值是否具有显著