第25讲平面向量高考选择填空压轴题专专练

1、第二十五讲平而向量选择填空压轴题专练A组一、选择题1.（2017年全国2卷）已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 方.（方+无）的最小值是（）c34tA.-2B CD.-123【答案】B【解析】以8c为x轴，8c的垂直平分线4。为y轴，。为坐标原点建立坐标，则A（0,6）, B（-l,0）, C（l,0）,设 P（x,y）,所以刀=（一尤褥一、），.PC = （l-x,-y）33> 2" 2所以PB + PC = （-2x5-2y）,万（而 + 正） = 2/2y（6一），）=2/ + 2（），一当P（0,日）时，所求的最小值为-1,故选B。2.（201

2、7年高考浙江卷）如图，已知平面四边形，AB±BCt AB=BC=AD=2 , CD二3 ,与 BD交于点。记。月。8 L=OSOC f I=OCVD ,则A. ZXZXZ.B. L<L<L C. y D. I4I4L 【答案】C解 析】 因 为ZAOB = ZCOD>90, 所 以OB OC>0>OA OB>OC OD(-OA<OC,OB<OD) 9 选 C.2 .在。4台中，OA = 4OC 9 OB = 2OD , AD. BC的交点为M,过M作动直线/分别交线段AC, BD于E，尸两点，若oE = /ia4, OF = OB,（4

3、, >0）,则丸+ 的最小值为（）r 3 + 2。7【答案】D【解析】D三点共线可得存在实数”更得OM =rdA + (l-t)Oz5 = r5A + l(l-t)OB,2同理由3三点共线可得存在实数机使得OM = mOB + (l-m)OC = mOB + ； (1 m四,:'1 4 ，解得，-(l-r) = /H3 m =71t = -7OM = ,OA+,08 ,设 OM = xOE+yOF = xAOA+ yjuOB,贝ij,y =-7，即， 37x = -27>' = -,即几+的即，+3 = 7,故人4 =，(4 + ：(，+3=41 + 3 + 幺 +

4、 义卜92 /7 口 712 J 7最小值为4 + ；/,故选：D.3 .已知点。为A43C内一点，NAO8 = 120°,QA = l,O8 = 2,过。作0。垂直A3于点。，点E为线段。的中点，则亍面丽的值为（）八5D 2八 3口 3A. B. -C. D.1471428【答案】D【解析】如图，点。为AABC内一点，NAO8 = 120。, 04 = 1,08 = 2,过。作0。垂直A3于点。，点石为线段。的中点， ODAD = 0, 则OE EA = （-AE） = OD 222前历+历而一次历研|叫"340。西2 -.Za/iC/? 4j , 4 ij用余弦定理可得

5、AB =",因为Sug='4800 = 1o408sinl20。，可得 22L日=,所以OZ) = g,222币3：.OEEA =,故选：D.287C4.设向量，=(cosx,一sin x), b- (-cos(x),cosx)，2则sin 2x的值等于(A. 1【答案】c【解析】B. -1C. ±1D. 0a = tb一7TZ? = (cos( x), cos x) = (-sin x, cos x) 2cosxcosx-(-sinx)(-sinx) = 0, BP cos2 x-sin2 x = 0，所以 tarx = l,tanx = ±l , x

6、= +(k eZ), 2x = k7r + (k eZ) > sin2x = ±l,故选 C.242 5.如图，点PA = P8,NAP3 = 90。，点C在线段R4的延长线上，分别为AABC的边AB,BC上的点.若万与西+方共线，诙与中共线，则的36的值为()A. -1【答案】B【解析】B. 0C. 1D. 2设PA =依=1,以PA. PB所在直线为x, y轴，建立直角坐标系，可得A(1,O), 8(0,1),直线A8的方程为y = l - x,由于区与方+而共线，24 =08,E在NA尸8的角平分线上,可得PE所在直线方程是y = x,设七(加,),诙与两共线得D的纵坐标

7、为？，将y = m代入直线AB方程，得x = -m,可得D(l-w,m)/ 8(0,1),E(m9n)9.直线BE的方程为v 1x 0=-(m-1)x-my + m = O，再令 y = 0 得 x =，可得点。坐标为 tn -1 m - 01-/7?,0),. BC = (-. - 1),丽=(1 一 机),丽瑟=0,故选 B.1 - m1一？6.在正四棱锥PABC。中，。为正方形43CQ的中心，7 = 2£6>(2</1<4),且平面ABE与直线交于£而=/（为所，则（）A -八#=鼻 B /（%） =三C /（2） = -D. /（2）='

8、f 2 + 9【答案】A【解析】因为。为正方形48CO的中心，所以。为8。的中点，又匠=4函2 < 44 4）,所以E在线段PO上,平而A8石与PD殳于F ,即8石的延长线与PD交于F ,在平而尸80中，取 8b的中点G ,连接。G ,则。G 。尸，所以bOGE相似于APFE，相似比为4 ,因此 曹=吗=!，又OG。/，|OG| =|O同，所以咫 =2,萼j =_，故选a.EO PF A11 211 PF A PD 2 + 27 .由点尸向圆。：F + y2=2引两条切线，切点为a, B,则西丽的最小值是（）A. 4>/2.6B- 2a一3C. 3-272D. 6一4人【答案】A【

9、解析】/2设 OP = x , 则 PA2=x2-2, sinZAPO = ,cosZAPB = l-2sin2 ZAPO = 1 -2x三=1 -二，x一 厂PAPB =(x2-2)(1-4-) = 2 + t-6>4x/2-6,所以西丽的最小值是 4j?-6 . 厂厂8 .在A8C中，A5 = 4，ZABC = 30°,。是边上的一点，且A/54以=4力AC则电通的值为（）D. -4A. 0B. 4C. 8【答案】B【解析】而方=而而（而一而=而而=0° , => AD ±CB=> AD = ABsin 30/BAD = 60° =

10、> AD AB = 4x2xcos600 = 4,故选 B.9 . 在平而内，定点 A,民C,O 满足1。4日。月日）2 丽丽=丽皮=皮加=一2,动点P,M满足I而1=1. PM=MC,贝力丽的最大值是（）A 43D 4937+6、/5卜 37 + 2733A. B. C. D.4444【答案】B【解析】由已知易得NAOC = NAO8 = N8OC = 120° J方可=|瓦方=2 .以Q为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系,如图所示，则A（2,0）.B（1,6）（1,6） .设P(x,y),由己知|而| = 1, W(x-2)2 + y2 =.< V -I- 1

11、y 4- 3>/3I.12(x+l) +(>, + 3>/31所以8"=，一，所以即|=它表示圆 /(x-2)2 + y2 =1上的点(X, y)与点(-U-3V3)的距离的平方的;，所以49 T故选B.10.（2017 年天津卷理） AABCZA = 60°48 = 3AC = 2D = 2DC AE = AAC-AB(AeR) A万 4左=一4 九则无=3【答案】-11【解析】 而X？ = 3x2xcos600=3,而=一通十二元，则33_ i _2._29 j i o3/l£)AE = (-/B + -AC)(2AC-A£?) =

12、 -x3 + x4-x9 x3 = -4=>2 = 3333331110. (2017年浙江卷)已知向量a, b满足同=1晌=2,则U+4 + |a4的最小值是 ，最大值是.【答案】4, 2/【解析】 设向量的夹角为e ,由余弦定理有：a - b = >/12+22 - 2xlx2xcos = J5-4cos6 ,a + b =+2- 2xlx2xcos(7r-e)= j5 + 4cos6 , 则：a + b + a-b = j5 + 4cos + j5-4cos£ ,令 y = /5 + 4cosx + j5-4cos+ ,则 y2 = 10 + 2>/25-16

13、cos2 0 e 16,20,据此可得：(, + B + a= y/20 =2y/5,a+h + a-hj = 4 ,即口+ B卜口一砸勺最小值是4,最大值是2G10.已知点A(lm,0),现1 +m,0),若圆。：/ +)2-8工一8)，+ 31=0上存在一点尸，使得丽丽=0,则正实数？的最小值为 【答案】4.【解析】由题意可知，问题等价于以A3为直径的圆与圆。有交点，故以A8为直径的圆：(x-l)2 + y2=m2,而圆C化为标准方程:(x-4)2+(y-4)2=lf圆心距为5,.*.lwi-ll<5<m+l>4<wt<6,即实数川的最小值是4,故填:4.11

14、 . 0F,分别为椭圆匕十二=1的左、右焦点，4为椭圆上一点，且 36 27历= g +函)衣=g(砺+ 弱，贝伽+ |叶.【答案】6【解析】依题意有|OB|3A周,|OC|3A用,故附+ pq = = 6.22B组一、选择题1. (2017年全国3卷理)在矩形ABCD中，AB=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若而二九AB + p AD.贝IJ九+卜的最大值为（A. 3 B. 2>/2C,小D. 2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设 4(0,1),5(0,0),D(2J),P(x,y)GA根据等而积公式可得圆的半径是金，即圆的方程是（- 2）2 +/=-

15、A户= (x,y l),A4 = (O,l),AZ5 =(2,O),若满足N? = 4而 + 彳万X = 2rVY，/z= , 2= 1 - y ，所以义 + = y + l f 设 z =y + 1，即V 1 = A222yz,4 y + l Z = 0,点p（x,y）在圆（x 2）- + y2=上，所以圆心到直线的距离d « >即=L<4=，解得1<Z<3,所以z的最大值是3,即4 +的最大值是3,故选A.炉非2.1. 耳,巴是双曲线亍=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（O户+。8”入户二0 （O为坐标原点）且尸后I,则X的值为（）A. 2

16、B. C. 3D.23【答案】A【解析】由题意得： =1/ = 2,所以c = j5,写（一、5,0）, A（4。），“=君设点P（Jl + »）,所以由（。户+。仁）巴户=0可得：（3+千+底?）.（卜守一底?） = 0,即45m = ±.由双曲5线的第二定义可得所以PF2 = 2 ,所以用=0图+ 2 = 4,所以.PF.2 = 1 = 2 ,故应选A叫3.在平面宜角坐标系xO），中，设直线），=+2与圆/ +2=r2”.>0）交于A1两点，q为坐标原点，若圆上一点。满足配=*西+ 30月，则= 44C. 3D.如【答案】D【解析】由<y=-x+2，）2厂+

17、厂=厂8=1_,解得，X = 1 +卜=1+51=1 一存4.如右图所示，已知点G是AA8C的重心，过点G作直线与A3, AC两边分别交于M,N两点，且丽=x,病=y蔗，则x + 2y的最小值为（）A. 2D-1【答案】C【解析】因为M,N,G三点共线，所以诟 =%而,而一丽 =/1（丽而），因为G是AA3C重心，所以而=g（而+ /），+= 2,所以11 ,x = zaax z11；:,化简得(3工一1)(3)，-1) = 1,解得题目所给图像可知:一=4 y A133由基本不等式得2 =(3x-l)(6y-2)<3x-l + 6y-2Y,即 3(x + 2y) 3之2点,x + 2)

18、，N .当 3且仅当3x l=6y 2,即工=叵口,y =正二时，等号成立，故最小值为363 + 2>/25.在矩形A8C£中，点石为CD的中点，AB = a, AD = b,则屁=（）1 - A.a b2【答案】C1 一 一 C.a + h2D.-a + b 2BE = - AB + AD = -a+b.6 .如图，在QMN中，A,8分别是OM,QN的中点，若。户=七/?）,且点P落在四边形A8MW内（含边界），则上L的取值范围是（）x+ y + 2A.1 2331 1394C.j_ 34,4D.L 24,3【答案】C【解析】分三种情况讨论:. .> OB + AOA当

19、尸在线段A8上时，设4P =九24,则OP =.由于1 +AOP =.©4 +)。火%y e R),所以,故x+y = l：当尸在线段MN设 MP = APNOM+AON则 OP =；一12A，1 + A,故选C.x+y+ 2OP = xOA + yOB = -xOM + - yON(x, ye/?),所以，x = 2221 + 1x + y = 2；当在阴影部分内（含边界），则/7 /A7 . 在 ZkABC 中，BC=7 , cosA = -,siiiC = ,若 动点 P 满 571 7 A ”一一 AP = AB+（l-2）AC（/le/?）,则点P的轨迹于直线AB, AC所

20、围成的封闭区域的面积 3为（）A. 3>/6B. 4、RC. 6nD. 12V6【答案】. B【解析】设行=2获，因为淳=2%薪+。-4闲=%而+。一%）而所以CDP三点共线，所以点尸的轨迹为直线C。，如图：在 AABC中，sin A = 6 , sinC = V6 , BC = 7 ,由正弦定理=,解得57sin A sinC43 = 5,12 ,sin B = sin（A + C）= sin AcosC + cosAsin C =三飞6 ,sabc = x 5 x 7 x v,f6 = 6%/6,=-x-x7x V6 =2%/6, 所 以2352 335S'cq = 6y6

21、2i6 = 4 Vs，故选 B.二、填空题8.已知 AO 是 AABC 的中线，AD = AAB + jli e R）, NA = 120°, A月=2 ,则I AD I的最小值是.【答案】1【解析】AB - AC = bccos 120 = 2 , Z?c = 4,AD =及赤 + 恁）4）（反2） = 1.9.如图，在菱形A4C。中，A3=2, ZDAB=60 , E为8的中点，则汨衣的值【答案】5【解析】 由已知，而在=而（而+DE） = 乔（而+；福）=赤2 + 3 福=5.一、选择题1.如图，在梯形 A8CQ中，AB/CD, AB = 2, CD = 4, BC = AD

22、=& E, F 分 别是40, 8c的中点，对于常数/I,在梯形43CD的四条边上恰有8个不同的点P,使 得匠而=4成立，则实数4的取值范围是（ ）B.(K4 4C. (-py)4 4【答案】D【解析】以CD中点为坐标原点，CD所在直线为工轴建立直角坐标系，则334一1,2)1(1,2),。(2,0),。(一2,0), 口一不1), F(1 1) 22,当P在CD边上时，设尸（苍0），1止（0,2）,5 112 = PE PF = x2- + le(.)则44 4 ：当p在AB边上时,设尸（x，2）Jxk（0J） , 95 112 = PE PF = x2+ le(.) 44 4当P在

23、BC边上时，设尸&，4_2x）,X£（L2） o97 Q 12 = PE PF = x2- + (3-2x)2=5x2-12x + e(-4420 4 ：当p在AD边上时, . 9,2791a c 八 / g 八4 = PEPF = x- f(3 -2a*)" =5.v' - 12ah c ( ,)尸(x,2x + 4),x£(-2,-1),贝|j4420 4 .（915 1191因此实数2的取值范围是2（r 44*42。.4 ,选D.2.己知 P 是 AA8C 内一点，且满足 PA + 2PB + 3PC = 0,记 A48P,A8CP, MCP

24、 的面积依次为X S2, S3,则与S2： S3等于（）A. 1:2:3B. 1:4:9C. 6:1:2【答案】D【解析】取 AC、BC 中点 D、E,连接 PA、PB、PC、PD、PE,D. 3:1:2由万+ 2方+ 3尸2=0,得苏+正=一2（丽+ A?卜/. 2PD = -4PE，即而=-2PE ：丽= -3x2屋=一6而，BA = 3PD；:方=bA，PD = -BAt，P到BC的距离等于A到BC距离的L 6设AA8C的面积为S,则工=1s： 2 6AP到AC的距离等于B到AC距离的！, 3A S.=S , 5, =S-5,-S3 =1s,： S|：S）5=，SS：ls = 3:l:2

25、.26 3故选D.3 .已知点M（1,O）, A8是椭圆:+），2 = 1上的动点，且疝MA = O,则M4 区4的取 4值范围是（）A. |jB. 1,9C. |,9D.,3J33【答案】B【解析】 设九）,因宓丽=宓.（两+苏）=宓2 =*01）2 +4,且y：=_JL片，故4A/X bX = -xj-2x0 + 2（-1<x0<1）,所以（加函）而=-x-2x- + 2 = H 44 93（M4 丽）皿、=：x 4 - 2（-2） + 2 = 9,故应选 B.y>x4 .设此2,点P(x, y)< y<nv:所表示的平而区域内任意一点，M(0,-5),。为坐

26、 x+y <1标原点，/(?)为丽丽的最小值，则/(?)的最大值为A. -B. C. 0D. 233【答案】.A【解析】由题意，f (x) = (0, -5) (x, y) =5y,当y取最大值时，f (x)取最小值f (m),y > x' y < mx所表示的平面区域如图所示x + y <1由I 可得 y= " ，所以 f (m)=-5X 二-5(1-!=5+ § , y = nvcm +1? +1 m + m +1由于m22,所以当2时，f(m)5=W,故选A. 35.设尸为抛物线丁 =2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若尸为AA8C的重心，则I至1 + 1而1 + 1斤I的值为()A. 1B. 2C. 3D.4【答案】.C【解析】试题分析：由条件/己,0), 丁尸是AABC的重心，则有1一 "+" =1,即 2323=+XH +XC =，而2一一1113I 抬I +1 FBI +1 FC 1= (xA + + 弓)+ ( + 5) =(xa +xh + ,)+ 弓=3-6 .如图，边长为1的正方形ABCD的顶