第十章10.110.1.2复数的几何意义2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、10.1.2复数的几何意义课标要求素养要求1 .理解用复平面内的点或以原点为起点的向 量来表示复数，掌握复数的几何意义.2 .掌握共腕复数的概念及性质，会计算复数 的模.理解复数的几何意义，培养学生的数学抽象素养，提升逻辑才t理素养.课前预习 ill!知汨探究 illl II HUI illl|!|i|教材知识探究巧情境更人数形结合可分为两个方面：“以数解形” “以形助 包对应脸(粒)t j&)数”，数与形是有联系的，可以理解为：借助数的精确性来阐明形的某些属性；借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系实数与数轴上的点一一对应，那么复数呢？问题 如何从“形”的角度表明复数的“存在”性，

2、而不是“虚”的？提示 建立复平面，复数z= a+bi(a, bCR)与复平面内的点Z(a, b)及以原点为起点，Z(a, b)为终点的向量OZ一对应.)新知梳理1 .复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面 .在复平面内，x轴上的点对应 的都是实数,因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外、对应的都是纯虚数， 为方便起见，称y轴为虚轴.2 .共腕复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共物复数、 复数z的共腕复数用z_表示.当z= a+ bi(a, bCR)时，有z = abi(a, bC R).复 平面内,表示两个共腕复数的点关于实轴对称; 反之,如果表

3、示两个复数的点在 复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共腕复数 .3 .复数的几何意义对应*复数z= a+bi(a, bCR) 一吆 复平面内的点Z(a, b)；复数z= a+bi(a, bC可二上弘平面向量OZ= (a, b)(以原点。为起点，Z(a, b)为终点的向量).4 .复数的模一般地，向量OZ=(a, b)的长度称为复数z= a+bi(a, bC R)的模(或绝对值)，复 数z的模用Z|表示，因止匕|z| = /a2 + b2.当b = 0时，2| = «2=同.一一般地，两个共腕复数的模相等，即|z|=|z|.教材拓展补遗微判断1 .在复平面内，虚轴上的点对应的复数都

4、是纯虚数.(X)提示除原点外.2 .实数没有共腕复数.(X)提示实数的共腕复数是它本身.一3p|=|z|.(，)微训练1 .若OZ= (0, 3),则OZ对应的复数为.答案 z= 3i一2 .复数 z= -2+i,则2=.解析实部相等，虚部互为相反数.答案 2i一3 .复数z= i-3,则z在复平面内对应的点在第 象限.一解析 V z=-3-i,则对应的点为Z(-3, 1),在第三象限.答案4 .若在复平面内表示复数 z=(m3)+2，mi(mC R)的点在直线y=x上，则|z| =解析由题意知m3=2而，. .m= 9, .z=6 + 6i, .|z| = 6x/2.答案6 12微思考一1

5、.在复平面内，复数z与z所对应的两点有什么关系？提示 旻数z所对应白点与z所对应的点关于实轴对称.2 .复数z= a+bi(a, bCR),则|z|有怎样的几何含义？提示|z|表示复数z的对应点(a, b)离开原点的距离，是实数.3 .复数中两虚数不能比较大小，它们的模呢？提示 两虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小，因为模是实数且大于等疑及早折题型一 复数与复平面内的点【例1】 在复平面内，若复数z= (m22m8)+(m2 + 3m10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；在第二、四象限；(4)在直线y=x上，分别求实数m的取值集合(范围).解 复数 z= (m2 2m8)+(

6、m2+3m10)i 的实部为 m2 2m 8,虚部为 m2 + 3m -10.(1)由题意得 m2 2m8 = 0.解得m= 2或m=4.m的取值集合为 2, 4.2m 2m8<0,由题意， 9m2+3m-10>0,.2<m<4.；m的取值范围为(2, 4).(3)由题意，(m2 2m8)(m2 + 3m10)<0,2<m<4 或一5<m< 2.；m的取值范围为(2, 4)U(-5, -2).2由已知得 m2 2m8=m2+3m10,故 m=g.m的取值集合为| .5规律方法 复数实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内

7、复数所对应的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征【训练11在复平面内，复数i, 1, 4+2i对应的点分别是点A, B, C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数.3 解 由已知得A(0, 1), B(1, 0), C(4, 2),则AC的中点E 2, 2 .由平行四边形x+ 12 =2,x= 3,的性质知E也是BD的中点，设D(x, y),则： 即D(3, 3).y+0 3y=3，2=会.D点所对应的复数为3+3i.题型二 复数与复平面内向量的关系【例2】 向量OZ1对应的复数是5-4i,向量OZ2对应的复数是5 + 4i,则OZ1+ OZ2对应的复数是()A.-10+8iB.10-

8、8iC.0D.10+ 8i设O是原点，向量OA, OB对应的复数分别为2-3i, 3 + 2i,那么向量BAM 应的复数是()A.5+5iB. 5 5iC.5+5iD.55i解析(1)由复数的几何意义，可得OZi=(5, 4), OZ2=(-5, 4), 一.一. 所以OZ1 + OZ2= (5, 4) + (5, 4)=(0, 0),所以OZi+OZ谢应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得 OA=(2, 3), OB=(3, 2), BA=OAOB=(2, 3)(3, 2)=(5, -5).所以BA对应的复数是55i.答案(1)C (2)D规律方法 根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面

9、向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即为复数对应的向量.【训练2】(1)在复平面内，。是原点，向量OA对应的复数为2+i,若点A关 于实轴的对称点为点B,则向量OB对应的复数为.复数z= 3+4i对应的向量OZ所在直线白斜率为 .解析(1)复数2+i表示的点A(2, 1)关于实轴对称的点为B(2, 1),.OB对应 的复数为2-i.(2)二复数z对应点Z(3, 4),4向量OZ所在的直线的斜率为4.34答案(1)2-i (2)43题型三复数的模及共腕复数的计算【例3】已知复数z满足z+ Zl = 2 +

10、8i,求复数z及其共腕复数.解 设 z= a+bi(a, b R),则 z|=/a2+b2,代入方程得 a+bi+'/a2+b2 =2+8i,a+、/a2+b2=2,a= 15,”解得b=8,b= 8.；z= 15+ 8i.其共腕复数为15 8i.规律方法 利用复数模的定义，将复数模转化为实部、虚部的关系，设复数 z的代数形式，用复数相等求解. _，.一兀兀.一.一一 【训练3】(1)右复数z = sin 3icos芯，z2 = 2+3i,或比较幺|与国的大小；(2)求满足条件20|z|<3的复数z在复平面上表示的图形.解(1) . |z“= sin 3-icos 6=q 哂+

11、c0s 6 2=q g+ ¥ 3 等，Z1I<Z2|.|z2| = |2+ 3i| = V22+ 32 = 713,(2)满足条件20因<3的复数z在复平面上表示的图形是以原点。为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹 的圆环，但不包括大圆圆周，如图所示核心素养一、素养落地1理解复数的几何意义，通过复数的模的几何意义，培养学生的数学抽象素养, 提升逻辑推理素养.2 .复数的几何意义复数z= a+bi(a, bCR)的对应点的坐标为(a, b),而不是(a, bi).(2)复数z= a+bi(a, bC R)的对应向量OZ是以原点。为起点的，否则就谈不上 一对应

12、，因为在复平面内与OZ相等的向量有无数个.3 .复数的模复数 z= a+bi(a, bC R)的模|z|=,a2+ b2.(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离.4 .共腕复数的性质可以用来解决一些复数问题.二、素养训练一1 .已知复数z的共腕复数z=1+2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限一解析 由2=1 + 21知2= 1-2i,故z在复平面内对应的点为(1, 2),在第四象限.答案 D2 .若复数z= 1 + ai(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取值范围是解析 复数z= 1 + ai(i

13、是虚数单位)的模不大于2,即1 + a2<4,即a2<3,可得aC 一m，峋.答案镉，V33 .在复平面内，O是原点，OA, OC, AB对应的复数分别为2+i, 3+2i, 1 +5i,那么BC对应的复数为.解析由复数的几何意义可知，OA= ( 2, 1), OC=(3, 2), AB=(1, 5),.OB= OA+ AB=(-2, 1)+(1, 5)=(-1, 6),BC = OC-OB=(3, 2)-(-1, 6) = (4, -4),BC对应的复数为4 4i.答案 4-4i4.若x 2+ yi和3x i互为共腕复数，则实数x与y的值分别是.x 2=3x,x= - 1,解析

14、由共腕复数的定义得得y= 1,y=i.答案 一1,1课后作业巩区提高基础达标一、选择题1 .当0<m<1时，z= （m+1）+（m1）i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 0<m<1,m+ 1>0, 1<m1<0,故对应的点在第四象限内.答案 D.12 .若 z1 = 3 + 4i, z2= -2-啦i，则（）A.|z1|=|z2|B.|Z1|>Z2|C.|Z1|<Z2|D.不能确定解析 剂=，32+42 = 5,忆2| = 2 + （-V2） 2 = 3.二岳3，. .Z1|>|Z2|.答案 B3

15、.在复平面内，复数6+5i, 2+3i对应的点分别为A, B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析 由题意知点A的坐标为（6, 5）,点B的坐标为（一2, 3）.由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为（2, 4）,故点C对应的复数为2 + 4i.答案 C4 .已知复数z满足|z|2 2|z|3=0,则复数z对应点的轨迹是（）A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆解析由题意可知(|z|3)(|z|+1) = 0,即 |z| = 3 或|z|= 一 1.V |z|>0,，忆=？；.复数z对应的轨迹是1个圆.答案 A5 .在复平面内

16、，O为原点，向量OA对应的复数为一1+2i,若点A关于直线v=x的对称点为B,则向量OB对应的复数为()A.-2-iB.-2+iC.1 + 2iD.-1+2i解析1, 2)关于直线y= x的对称点为B( 2, 1), 向量OB对应的复数为2+i.答案 B二、填空题6 .已知复数z= a+43i(aC R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复一数7=.解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 a<0.由|z| = 2知，/a2+ (V3) 2 =2,解得 a= +，故 a= 1,所以 z= 1+/3i, z=143i.答案 15i7 .若复数z1 = 3+ai, z2

17、=b + 4i(a, bC R),且zi与0互为共腕复数，则z= a+bi 的模为.a= - 4,解析由共腕复数的定义得b= 3.|z| = |4+3i|=t ( 4) 2+32 =5.答案 58 .若a, bCR,则复数(a2 4a+5)+( b2 + 2b6)i所对应的点一定落在第象限.解析 复数对应点的坐标为(a2 4a+5, b2 + 2b 6),- a2-4a+ 5= (a-2)2+1>0, b2+2b 6=(b1)2 5<0, .复数对应的点在第四象限.答案四三、解答题9 .实数m取什么值时，复数z=(m2 + 5m+6)+(m22m 15)i(1)对应的点在x轴上方；

18、(2)对应的点在直线x+y+4 = 0上？解 (1)由题意知 m2 2m 15>0,得m<3,或m>5,所以当m< 3,或m>5时，复数z对应的点在x轴上方. 由题意知(m2 + 5m+ 6) + (m2 2m 15)+ 4=0,35 r35 t得 m= 1,或 m= 2,所以当 m= 1,或 m= 2时，复数z对应的点在直线x+ y+4=0上.10 .复数 z= a2-1 + (a+ 1)i(aC R)是纯虚数,求 |z|.解 .复数z= a2-1 + (a+ 1)i是纯虚数，a2 1 = 0,解得 a= 1,a+1". .z= 2i, . .z| = 2.能力提升11复数z=(a 2)+(a+1)i, aCR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是.解析 复数z=(a2)+(a+ 1)i对应的点的坐标为(a 2, a+1),因为该点位于第二象限，a2<0,所以解得1<a<2.a+ 1>0,又Z户弋(a-2) 2+ (a+ 1) 2= 2a2-2a+ 5 =# a2-a + 1 +9”2，9所以|z|呼，3 .答案 322, 312 .设 z= x+ yi(x, yCR),若 10|z|w也,判断复数 w = x+y+(x y)i 的对应点的 集合