同济大学高等数学教案第八章无穷级数

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学教学教案第一章函数、连续与极限授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第八章 第一节 常数项级数的概念与性质课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点几何级数和p级数教学难点无穷级数概念和性质参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数和p级数的收敛性教 学 基 本 内 容一、基本概念：定义1 设有数列，将数列中的各项用加

2、号连接的形式称为常数项无穷级数，简称级数，记为，其中是求和记号，称为下标变量，第项称为级数的一般项（通项）.定义2 对数列，取它的前项的和，称为级数的部分和（前项之和）.定义3 若级数的部分和数列有极限， 即，则称无穷级数收敛，这时，极限就叫做无穷级数的和，并写成；若数列没有极限，则称无穷级数发散.二、定理与性质：收敛级数的基本性质性质1 若级数收敛，其和为，则对任何常数，级数收敛，且其和为，即性质2 若级数，分别收敛于和，即则级数也收敛，其和为，即有推论 若，则级数与具有相同的收敛性；若级数，一个收敛一个发散，则级数一定发散.性质3(级数收敛的必要条件) 如果级数收敛，则.推论 如果当时，级

3、数的一般项不趋于零，那么级数发散.性质4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性.推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.三、主要例题：例1 讨论级数(等比级数) 的收敛性.例2 证明级数是收敛的.例3 判定级数的敛散性.例 4 判定级数的敛散性.例5证明级数 是发散的.例6 证明调和级数是发散的.例7 求级数的和.例8 讨论级数的收敛性.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第八章 第二节 常数项级数的审敛准则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点比较法和比值法，莱布尼兹公式教学难点绝对收敛和条件收敛参考教材同济版、人大版高等数

4、学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差，了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系教 学 基 本 内 容一、基本概念：常数设，级数或称为交错级数.项级数的每一项都是常数，当各项都是大于或等于零的常数时，称为正项级数.设有级数，其中为任意实数，那么该级数叫做任意项级数若级数收敛，级数也收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，级数发散，则称级数条件收敛；二、定理与性质：定理1（基本定理） 正项级数收敛

5、的充分必要条件是它的部分和数列有界.定理2（比较审敛定理）：设是两个正项级数，且，则有若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散.推论（比较审敛定理的极限形式）：设是两个正项级数，若，则与同敛散；若，则当收敛，有也收敛；若，则当发散，有也发散.定理3（比值审敛定理）设是正项级数，且， 则有定理4（根值审敛定理） 若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定.*定理5（积分审敛定理）若（）为非负的不增函数， 则与同敛散.定理6 (莱布尼兹定理) 如果交错级数满足条件：（1） ； （2），则交错级数收敛，且收敛和.定理7 若正项级数收敛，则任意项级数必收敛.定理8 设是任

6、意项级数，若满足下列条件之一，则级数必绝对收敛.(1) 存在收敛的正项级数，满足;(2）;（3）三、主要例题：例1 证明正项级数是收敛的.例2判定级数的敛散性.例3 证明正项级数当时是发散的.例4 判定下列级数的收敛性：(1) ; (2) .例5证明级数是发散的.例6 判定级数的敛散性. 例7 判别下列级数的收敛性(1) ； (2) .例8 判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3) ;（4）； （5）； （6）.例9 判别级数的敛散性.例10 判别级数的收敛性.例11 讨论下列正项级数的敛散性.（1） ； （2）.例12 讨论下列正项级数的敛散性.（1）； （2）.例13 试证明交

7、错级数是收敛的. 例14 判定交错级数的敛散性.例15 级数收敛.例16 判别级数的收敛性.例17 判别级数的收敛性.例18 判别级数的收敛性.例19 判别级数是绝对收敛还是条件收敛.例20 讨论级数的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第八章 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点收敛域和和函数的求法，幂级数展开教学难点展开级数的条件参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微

8、积分标准化作业大纲要求了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、函数项级数的概念： 设定义在区间上的函数列：、，各项用加号连接的形式：，称为函数项无穷级数，简称函数项级数.对于上的每一个值，函数项级数就是常数项级数. 若收敛，则称是函数项级数的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为的收敛域，记为；若发散，则称

9、是函数项级数的发散点，发散点的全体组成的数集称为的发散域.对于收敛域中的每一个数，成为一收敛的常数项级数， 因此有一确定的和，这样在整个收敛域上，函数项级数的和是的函数，记作，称为函数项级数的和函数. 和函数的定义域就是函数项级数的收敛域. 对于收敛域内的点，有.2、 幂级数： 称为关于的幂级数. 令，并将仍记为，则有，因此不失一般性，我们仅讨论这个形式的幂级数.一般地，对于幂级数，当给以确定的值，例如，则幂级数称为一个常数项级数. 若这个常数项级数收敛，则称为函数项级数的收敛点；若这个常数项级数发散，则称为函数项级数的发散点；幂级数的收敛点的全体称为收敛域.二、定理与性质：定理1（Abel收

10、敛定理） 已知幂级数满足 ，则有以下结论成立（1）若，则对任一，幂级数都绝对收敛;(2) 若, 当时，幂级数绝对收敛, 当时， 幂级数发散；（3）若，则幂级数在时都发散.令，称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间，而幂级数的收敛域必为下列区间之一：.当时，幂级数处处都收敛，规定收敛半径；当时，幂级数仅在原点收敛，规定收敛半径.定理2 已知幂级数，若 ，则幂级数的收敛半径 定理3（代数运算）设幂级数 ， 的收敛区间分别为及，其和函数分别为与，即 设，则在上，两个幂级数可以作加法、减法及乘法运算： 定理4（和函数的连续性）设幂级数的收敛域为区间，则它的和函数在收敛域上是连续的.定理5（和函数的

11、可导性）设幂级数的收敛半径为，则其和函数在收敛区间内可导，且有逐项求导公式 .逐项求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为.定理6 （和函数的可积性）设幂级数的收敛半径为，则其和函数在收敛区间内可积，且有逐项求积公式 .定理7（初等函数的展开定理）设是一个初等函数，且在的邻域内有任意阶导数，则在点处可展开幂级数，且有展开式 在端点处，如果级数收敛且也有定义，则展开式在该端点处也成立.三、主要例题：例1 求级数的收敛域.例2 求下列幂级数的收敛域（5）； （6）.例3 求下列幂级数的收敛域：（1）； （2）.例4求下列幂级数的收敛域和函数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.* 例5求幂级数的

12、收敛域和函数.例6 求函数的麦克劳林展开式.例7 把展开成的幂级数.例 8 将函数展开成的幂级数.（1）； （2）；（3）； （4）.例9 将下列函数展开成的幂级数（即在点处的泰勒级数）：（1），； （2），.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第八章 第四节 傅里叶级数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数展开傅里叶级数教学难点展开正弦或余弦级数参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的

13、狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数教 学 基 本 内 容一、 基本概念：1. 三角函数系我们称函数系为三角函数系.该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在上的积分等于零.2. 函数展开成傅里叶级数定义 若 ，、，存在，则由它们确定的系数，、，就叫做函数的傅里叶系数，而三角级数就叫做函数的傅里叶级数.3. 正弦级数与余弦级数若是奇函数，则，傅里叶级数称为正弦级数，即只含有正弦项的傅里叶级数；若是偶函数，则，傅里叶级数称为余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数.二、定理与性质：定理1（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）设是周期为的周期函数，如果它满足：（1）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于，当为间断点时，级数收敛于.定理2 设周期为的周期函数满足收敛定