2020年中考数学二轮核心考点讲解第06讲动点问题专题解析版

1、【中考数学二轮核心考点讲解】第06讲动点冋题专题知识储爸、行程问题公式路程=速度寸间，即S Vg相遇时间=路程和速度和追及时间=路程差、数轴工具1. 数轴上的每一个点与实数之间的对应关系；2. 数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；3. 数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点为莖霆壓 固 春1. 针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；2. 求出所有动点在 起点、拐点、终点”对应的时间；3. 可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；4. 画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；5. 掌握动点所经过的路程与相

2、关线段长度之间的区别与联系6解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定X的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、 图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想.例题精讲【例题1】（2019?大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A , B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y （单位：m）与行走时间X （单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离 y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a b.图1O b CI7【解

3、析】从图1可见甲的速度为12060 ,2从图2可以看出，当X 6时，二人相遇，即：60 V乙 6 120 ,解得：乙的速度V乙80 ,Q乙的速度快，从图 2看出乙用了 b分钟走完全程，甲用了 a分钟走完全程,U 120 120 1 a b60 80 2故答案为如图1,连接AF、CE .求证四边形 AFCE为菱形，并求 AF的长； 如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿 AFB和 CDE各边匀速运动一周，即点 P自AFB A停止，点Q自C D E C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时

4、， 求t的值.【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD / /BC , EAO FCO ,Q AC的垂直平分线 EF , OA OC ,在AOE和 COF中， 2【例题2】已知，矩形ABCD中，AB 4cm , BC 8cm , AC的垂直平分线 EF分别交AD、BC与点E、EEg WFb BFFLF ,垂足为O .图（1）QOAOC ,四边形AFCE是平行四边形，Q EFAC ,四边形AFCE是菱形.AFFC ,设AFXCm ,则CFXCm, BF (8 X)Cm ,Q四边形ABCD是矩形 B 90 ,EAo FCoOA OCAOE COFAOE COF (ASA) , OE OF

5、,在Rt ABF中,由勾股定理得:2 2 24(8 x) X ,解得 X 5 ,即 AF 5cm ；(2)显然当P点在AF上时,Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA ,Q点P的速度为每秒5cm ,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，PC 5t, QA 12 4t ,45t 12 4t ,解得 t34以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t

6、3秒【例题3】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中， O(O,O) , A(6,0) , C(0,3).动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿 OC向终点C运动，运动-秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿 AO向终点O3运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为t (秒).(1) 用含t的代数式表示OP , OQ ;是否存在t ,使得PQ与AC平行？若存在，求出t值；若不存在，请 说明理由.(2) 求POQ面积的最大值.(3) 如图，将 POQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，且点D的坐标(1,3),求t的值.CBQ0P A【解析】(1) QO(0,0) ,

7、 A(6,0) , C(0,3),OA 6, OC 3 ,Q四边形OABC是矩形，AB OC 3, BC OA 6 ,B(6,3),Q动点Q从0点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动-秒时，动点P从点A出发以相等的3速度沿AO向终点O运动.当点P的运动时间为t （秒）时,2AP t , OQ t ,3则 OP OA AP 6 t ;存在，PQ与AC平行，当OPOAOQ 时，PQ/AC ,即 口OC6149 ；(2)S POQ 如PgOQ12(62t)(t 亍)1-t28-t312(t8)2509 ,QQ运动到点C时，t 3 27 ,33P运动到点O时，t 6 ,当。剟t 3时，S随t

8、的增大而增大,时7 - 311S的最大值为匕；2CD 1 ,设 OQ a ,贝U DQ a , CQ 3 a ,在 Rt CQD 中，CQ2 CD2 DQ2,2 2(3 a) 1【例题4】（2019春?西湖区校级月考）如图，等边 ABC的边长为10cm ,动点M从点B出发，沿BAC B的方向以6cms的速度运动，动点 N从点C出发，沿C A B C方向以4cms的速 度运动.（1） 若动点M、N同时出发，经过几秒 MN第一次垂直于 AB ?（2） 若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时， 另一点即停止运动， 那么运动到第几秒钟时，点A、t并请指出此时点 D的具体位置.(2)如图2,当点 M

9、在AB上，点N在AC上时,ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形,【解析】(1)如图1,QMN AB , A 60 ,ANM 30 ,AN 2AM ,10 4t 2(10 6t)Q四边形AMDN是平行四边形,AM DN 10 6t , AM / /DN ,A DNC 60 ,且 DCN 60 ,DNC是等边三角形，DN CN CD，10 6t 4t，t 1，CD 4cm，点D在BC上，且离C点4cm ；如图3,当点M在AC上，点N在AB上时, Q四边形AMDN是平行四边形，AN DM 4t 10， AN /DM，A DMC 60 ,且 DCM 60 ，DMC是等边三角形，DM CM CD，4

10、t 1020 6t，t 3，CD 2cm，点D在BC上，且离C点2cm ；如图4,当点M在BC上，点N在AB上时, Q四边形ADMN是平行四边形，AN DM 4t 10， AN /DM，A MDC 60 ,且 DCM 60 ，DMC是等边三角形，DM CM CD，4t 10 6t 20，t 5，CD 10cm，点D与点A重合，不合题意舍去；综上所述：运动到第 1秒或第3秒时，点A、M、N以及点D在BC上，离C点4cm或点D在BC上，离C点2cm .【例题5】(2019?苏州)已知矩形ABCD中，AB 5cm ,点P为对角线AC上的一点，且 AP 2 5cm .如图，动点M从点A出发，在矩形边上

11、沿着 ABC的方向匀速运动(不包含点 C).设动点M的运动2时间为t(s) , APM的面积为S(Cm ) , S与t的函数关系如图 所示.(1) 直接写出动点 M的运动速度为 Cm / S , BC的长度为 Cm ;(2) 如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着 D C B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/ S) 已知两动点M ,N经过时间X(S)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M , N相遇后立即同时停止运动， 记此时 APM与2 2DPN的面积分别为 SI(Cm) , S2(cm )求动点N运动速度v

12、(cms)的取值范围；试探究SgSz是否存在最大值，若存在，求出SgS2的最大值并确定运动时间 X值；若不存在，请说明理由.Et【解析】(1)t 2.5s 时,Q t 2.5s时，函数图象发生改变, M运动到点B处，5动点M的运动速度为：2cm / S ,2.5Qt 7.5s 时，S 0 ,t 7.5s时，M运动到点C处，BC (7.52.5) 2 10(Cm),故答案为：2, 10;(2)Q两动点M , N在线段BC上相遇(不包含点 C),52当在点C相遇时，V(cms),当在点B相遇时，VAFAPABAC ,55, AF5C Q AC.AB BC22 55*5 ,解得：AF 2,DEAF

13、2, CEBF 3 , PFAP21 2AF4,5 102.56(cm / S),7.53111SIS APMS APFS梯形PFBMS ABM-422-4 2x253252x52x 15 ,SES DPMS DEPS梯形EPMCS DCM1 226161522x3125152x2x ,S1gS2 (21522252x 15)2x 4x30x4(x)244EP EF PF 6,Q 2.57.5 ,在BC边上可取,4152257时，SgS2的最大值为Z【例题6】如图， 已知直角梯形ABCD中，AD/BC ,B 90 ， AB 8cm， AD24cm，BC 26cm，AB为e的直径，动点P从点A开

14、始沿AD边向点D以1cms的速度运动， 动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t S,问：(1) t为何值时，P、Q两点之间的距离为10cm?由勾股定理， 得(26 4t)264 100 ,解得t 5或8 ;(2)当PQ与eO相切时，如图2，由相切,得 PQ AP BQ 26 2t，BE26 4t，PE 8，(26 4t)264(26 2t)2直线PQ与eO相切,当26 3相交0,26, 当 t3-或 8 t,3t 8 或-;3互时运动停止,326T ；相离3【例题7】如图1 ,在AABC中，

15、 A = 30点P从点A出发以2cms的速度沿折线 A C B运动，点Q 从点A出发以a(cms)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动设运动时间为 X(S), AAPQ的面积为y(cm2), y关于X的函数图象由Ci, C2两段组成，如图2所示.(1) 求a的值；(2) 求图2中图象C2段的函数表达式；(3) 当点P运动到线段BC上某一段时AAPQ的面积大于当点 P在线段AC上任意一点时 AAPQ的面积，求X 的取值范围.解；如團 IJfEPD丄AB于Dl VZA=30 J/.y=AQ - PD=aj 宙靈可知当 Q1 时；/.ali=l 解得 a=lj

16、如團即作 PD丄AB 于 Ib 由團象可b PB= 52- 2j=1C1 14-2x? PD-PE - SiI(Icl - 2x) , f .yX A X PD- (10-2XJ ,. -4 时，yy； .X4X(10X4) - jj=,解得,jj=, y=pC10-2x)X=- + 知十影1 1.1 .5解得，JtL=Ol巳二2,由團象可和，3 it二2吋，F二尹有最大值，最大值-X22j -=2j解 得，x-3j I-SJ二岂3r3时，点P gJS段BC上某一段时/XA珂的面积大于当点P在线段JC上 任意一点时Aapq的面积【例题8】已知，如图 ，在？ABCD中，AB = 3cm, BC=

17、 5cm, AC AB , AACD沿AC的方向匀速平移得 到APNM,速度为1cms;同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为 1cms,当PNM停止 平移时，点Q也停止移动，如图 ，设移动时间为t (S) (0VtV 4),连接PQ , MQ , MC,解答下列问 题：(1) 当t为何值时，PQ / MN ?(2) 设AQMC的面积为y (cm2),求y与t之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t,使Sqmc: S四边形ABQP= 1 : 4?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.(4) 是否存在某一时刻t,使PQ丄MQ ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.PCBB

18、CPECBBAPE53B12丄t5MPPQ5()2+ ()2=亠【解析】(1)在RtAABC中,AC=厂；4,由平移的性质得MN / AB, PQ / MN,(2)过点P作PE BC于E,如图(3) / SAQMC : S 四边形 ABQP= 1 : 4 , SzQPC ： S 四边形 ABQP= 1 : 4 , SzQPC： SAABC= 1 : 5,(典盘2)：6= 1: 5，则 PQM = PEQ , MPQ = PQE , PEQsA MQP,12-3t1.6-91 SzQMC = Szqpc, y= Saqmc =丄QC?PE=t (旦-3t)2255=.t-t2 (OV tv4),

19、510 t= 2,(4)若 PQ丄 MQ , PQ2= MP?EQ ,2 2 PE2+EQ2= mp?eq,16-t5 EQ = CE - CQ =t L6-9tt= CPEsA CBA,t PE BC,16-41CPCQCACB PQ / AB,4-tt4555CB向点B运动，当点E到达 若BEF是以BE为底的等腰5四边形ABGE是矩形,ABQ BFEF2EG 3 , AE BG 2t , EF 5FG2t , FG |2t (5 t)| |3t EG2 ,5| ,2(5 t) (3t25)9 ,丄57t 4故答案为：-二.42. （ 2019?乐山）如图1 ,在四边形 ABCD向，从点B开

20、始向右平移时，直线I与四边形ABCD的边分别相交于点 E、F .设直线I向右平移的距离为中，AD /BC , B 30 ,直线 IAB 当直线I沿射线BC方 tl = 0 (舍去)，t2=寻 t=_时， PQ MQ.巧题狂练1. （ 2019?营口）如图，在矩形 ABCD中，AD 5， AB 3 ,点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿 点D时，点E , F同时停止运动.连接 BE , EF ,设点E运动的时间为t ,X ,线段EF的长为y ,且y与X的函数关系如图2所示，则四边形 ABCD的周长是10 2 3【解析】Q B3

21、0 ,直线 l AB，由图可得，AB4cos30BC5，AD7 4由图象可得，AN5 4BE 2EF ,3,4 23，ND CMAB，1，Q B 30 ，EFM 60 ，又Q DM MC 2，DMC是等边三角形,DC DM 2，5 2，四边形ABCD的周长是:ABBCAD CD2.3 532 10 23 ,故答案为：10 2 3 .3. （2019?菏泽）如图，直线3交X轴于点A ,交y轴于点B ,点P是X轴上一动点，以点e P ,当717e P与直线AB相切时，点P的坐标是（-，0）或P（ 33P为圆0).心，以1个单位长度为半径作令X 0，A( 4,0)，OA 4，AB 5，得y B(0

22、.OB 3，43 ,令 y 03），,得 X 4，3交X轴于点A ,交y轴于点B，设e P与直线AB相切于D , 连接PD ,则 PD AB, PD 1 ,Q ADP AOB 90 , PAD BAO , APDS ABO ,PD APOB AB，1 AP3 5APOP 7 或 OP 17 ,337 亠 17P( 3，0)或 p( 7，0)，故答案为：717（3，O）或 P（ T，O） 4. ( 2019?齐宁)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时 出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.

23、请你根据图象进行探究：(1) 小王和小李的速度分别是多少？(2) 求线段BC所表示的y与X之间的函数解析式，并写出自变量 X的取值范围.30A7Q13【解析】(1)由图可得，小王的速度为：30 3 10kmh ,小李的速度为：(30 10 1) 1 20kmh ,答：小王和小李的速度分别是10km / h、20km / h ;(2)小李从乙地到甲地用的时间为：30 20 1.5h ,当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 1.5 15km ,点C的坐标为(1.5,15),设线段BC所表示的y与X之间的函数解析式为ykxb , kb 0,得k301.5k b15b30即线段BC所表示的y与X之

24、间的函数解析式是y30x30（1剟X1.5）.5. ( 2019?青岛)已知:如图，在四边形 ABCD中，AB/CD ,ACB90 , AB10cm , BC 8cm , OD垂直平分A C .点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cms ;同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s ;当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PE AB ,交BC于点E ,过点Q作QF /AC ,分别交AD，OD于点F，G 连接OP，EG 设运动时间为t(s)(0 t 5)， 解答下列问题：(1) 当t为何值时，点E在 BAC的平分线上？(2) 设四边形PEGO的面积为S(cm2),

25、求S与t的函数关系式；(3) 在运动过程中，是否存在某一时刻t ,使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出 t的值；若不存在， 请说明理由；(4) 连接OE , OQ ,在运动过程中，是否存在某一时刻t ,使OE OQ ?若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由.AB 10cm , BC 8cm ,AC102 82 6(cm),Q OD垂直平分线段AC ,OC OA 3(cm) , DOC 90 ,610 83CD OD ,CD5(cm) , OD4(cm),Q PBt, PE AB,易知：PE 3t , BE454t,当点E在BAC的平分线上时Q EPAB, EC AC ,PEEC ,3

26、-t85t,44t 4 当t为4秒时，点E在 BAC的平分线上.QCD /AB ,BACDCO ,Q DOCACB ,DOC SBCA ,AC ABBCOC CDOD(2)如图，连接OE , PC S边形OPEGS OEGS OPES OEGS141412* 5t)g3 护8 5t)尹3 215-t-t6(0t 5)8 8(3)存在.CC35 2267Q S(t)(0t5),8232t 5时，四边形OPEG的面积最大2(4)存在.如图，连接 OQ.Q OE OQEOCQOC90 ,Q QOCQOG90 ,EOCQOG ,tan EoC54OPC S PCE S OEC,最大值为 26732t

27、1g3g(8 4t)tan QOG ,EC GQOC OG，8 5t4316t 或10 (舍弃)53t5,整理得：5t2 66t 160 0 ,解得4 4t516秒时，OE56. ( 2019?天门)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC的顶点坐标分别为 O(0,0) , A(12,0) , B(8,6), C(0,6) 动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发， 以每秒2个单位长度的速度沿边 BC向终点C运动.设运动的时间为 t秒，PQ2 y .(1) 直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y 25t2 80t 100(0剟t 4) _

28、 ；(2) 当PQ 3 5时，求t的值；k(3) 连接OB交PQ于点D ,若双曲线y (k 0)经过点D ,问k的值是否变化？若不变化，请求出 k的值；若变化，请说明理由.XO TtQ备用屈【解析】（1）过点P作PE BC于点E ,如图1所示.当运动时间为t秒时（0剟t 4）时，点P的坐标为（3t,0）,点Q的坐标为（8 2t,6）,PE 6，EQ |8 2t 3t | |8 5t |，2 2 2 2 2 2PQ PE EQ 6|8 5t |25t 80t 100，y 25t80t100(0剟t 4).故答案为：2y 25t80t100(0剟t 4).(2) 当 PQ 3、5时，25t280t

29、 100 (3 .5)2 ,整理，得：5t216t 110,解得：t11 , t211 .5k(3) 经过点D的双曲线y -(k 0)的k值不变.X连接OB ,交PQ于点D ,过点D作DF OA于点F ,如图2所示.QOC 6 , BC 8,OB OC2 BC210.Q BQ / /OP ,BDQS ODP ,匹更 2t 2 , OD 6 .OD OP 3t 3QCB / IOA ,在RtOBC 中，Sin OBCOC3BCCoS OBC -8_4OB104，OB105OFODgDoSOBC 6424DFODgSin OBC 63185555DOF OBC .点D的坐标为(24，?)经过点D的

30、双曲线yk-(kX0）的k值为43225240Q从 在7.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（a,b）,定点D的坐标为（4b,0）,其中a , b分别为方程2 11x的两根，且a b ,动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X轴的正方向匀速运动，动点 点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿 X轴的负方向匀速运动， PQ两点同时运动，相遇时停止, 运动过程中，以PQ为斜边在X轴上方作等腰直角三角形 PQR ,设运动时间为t秒（1）a 8，b （2）当t取何值时， PQR与矩形OABC面积比为2 :3 ？（3）当t取何值时， PQR的边OR经过点B ？（4）设 PQR和矩形OABC重叠部分的

31、面积为 S ,求S关于t的函数关系式ytkCB/，OPAQbOAD X【解析】（1）解方程x211x240得Xl3，X28，Q方程的两根a b，a 8， b3，故答案为：8，3；（2）由（1)知点 B(8,3)，OA 8，OB 3，则S矩形OABC24，由 S PQR2一得 SPQR 16，S矩形OABC3根据题意知OP 2t，DQ t，Q OD 4b12，2t t 12,解得t 4，则 0 4 ；Q PQ 123t ,且 PQR为等腰直角三角形12 3t斜边PQ上的高为2，dCFR7HG/OPA答图1则 SPQR 1 (12 3t) VLJL 16,2 2解得t 4或t 204 (舍去)，3

32、 3故t 4时， PQR与矩形OABC面积比为2:3 ;3(3) Q PQR的边QR经过点B时， ABQ构成等腰直角三角形,AB AQ ,即 3 4 t，t 1 .即当t 1秒时， PQR的边QR经过点B . 故答案为：1 ；过点P作PHBC于点H ,则CHOP2t ,S S矩形OABCS梯形OPGC18 3 -(2t22t 3)3396t ;2当1 t, 2时，如答图2所示.设PR交BC于点G ,RQ交BC、AB于点S、过点P作PHBC于点H ,则CHOP2t ,QD t ,则AQ AT4 t ,BT BSAB AQ3 (4 t) t1 .S S矩形OABCS梯形OPGCS BST11 28

33、 3(2t22t 3)3尹)1t5t19 ；2当2 t, 4时，如答图3所示.设RQ与AB交于点T ,则 AT AQ4 t.PQ 12 3tPR RQ二(12 3t).2(4)当0剟t 1时，如答图1所示设PR交BC于点G ,SSPQRS AQT12 12-PR2-AQ22 247t2 14t28.4396t 2综上所述，S关于t的函数关系式为：S -t2 5t27 2-t214t4(0 剟t 1)1928(1(2t,t,2).4)& （2019?句容市模拟）如图 ，在平面直角坐标系中,1 2二次函数X bx C的图象与坐标轴交于 A ,3B , C三点，其中点 A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（4,0）,连接AC , BC 动点P从点A出发，在线 段AC上以每秒1个单位长度的速度向点 C作匀速运动；同时，动点 Q从点O出发，在线段OB上以每秒1 个单位长度的速度向点 B作匀速运动，当其中一点到达终点时， 另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连 接PQ .(1)填空：b(2)(3)1-,C一3 Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；的面积与 AOC的面积相等，求出点 M的坐标.在点P ,点M在抛物线上，且 AOM【解析】（1）设抛物线的解析式为1L代入得：3y a(x 3)(x 4).13在点P、理由如下：连结(2)