2020届广东省佛山市禅城区高三上学期统一调研测试(二)数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 19 页2020 届广东省佛山市禅城区高三上学期统一调研测试（二）数学（理）试题一、单选题1.已知i是虚数单位，若2 i z（1 i），则 z 的共轭复数z对应的点在复平面的（）A .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D【解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案.【详解】13.i,22故选 D.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2 .设集合A y| y 3x,x R,By | y 4 x2,x R，则AI B()AI B 0,2本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集

2、运算，属于基础题W3 .函数f（x）e的大致图象是（）x 3解：由 2+i = z (1 - i),得 z1 i2i13.i,1 i1i22则 z 的共轭复数 z 对应的点的坐标为1,3），在复平面的第四象限.2 2A.0,2B.0,【答案】C【解析】 根据函数值域的求解可得到集合【详解】A y|y 3x,x R 0,BC.0,2D.0,2A和集合B，由交集定义可得到结果y y 4x2,x R第2页共 19 页【答案】A【详解】由题意得，函数fXeX2x 32T X,则函数f X为偶函数，图象关x 3于 y 轴对称，故排除C、D ,又由当X 1时，f1 0,1 3故排除 B,故选 A.【点睛】

3、4 .已知等边VABC内接于e O,D为线段OA的中点，则uuuBD=()2 uuv 1 uuu/4 uuv 1 uuv2 uuv 5 uuy2uuv 1 uuvA.BA-BCB.BA -BCC.- BABCD.BABC36363633【答案】A数值进行排除求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出【解析】 根据函数的奇偶性及取特殊值X 1，进行排除即可得答案本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中熟练应用函数的奇偶性,以及特殊点的函uuumuuuuuiuBD用BA、BCA .第3页共 19 页的表达式即可.

4、【详解】解：如图所示,uuu i uur i i uuuBA BA ?BC33 2故选 A.【点睛】 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题.5 已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）A .0.75B.0.6C.0.52D.0.48【答案】A【解析】 记事件A:该元件使用寿命超过1年，记事件B:该元件使用寿命超过2年，计算出P A和P AB，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为P ABP B A -.P A【详解】记事件A:该元件使用寿命超过1年，记事件B:该元件使用寿命超过2

5、年，则P A 0.8,P ABP B 0.6,因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P BA皿6P A0.80.75，故选 A.【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题uuur uuruuruuu 1 uuur uuu1uuuBDBAADBAAEBA(AB33uuu、BE)2 uuu i uuurBA BC.36设 BC 中点为 E，则故选 B.第 4 页共 19 页6 .若f(x) sinx. 3 cosx在m,m(m 0)上是增函数，则m的最大值为(52A .B.C .

6、D .6363【答案】C【解析】 利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m 的最大值.【详解】3cosx)= 2sin (x ) 在-m, m (m23 0) 上是增函数, - m，且325求得 m ，且6故选：C.【点睛】正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题.7 .已知a,b是两个相互垂直的单位向量，且cA . 、6.B. 7C.2 2D.2 .3【答案】B【解析】由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，化简计算可得所求值.【详解】rr r r r解：a,b是两个相互垂直的单位向量，可得a?b0, |a|= |b

7、|= 1,因为2, b是相互垂直的，所以得c与a,b的夹角a B的和或差为 90由c a,c b i,rr可得|c|cosa3, |c|cos 1，由 cos2a+COB=1 ,可得 |Ef=4,r rr r r r则b c2= |b|2+|c|2+2b?c1+4+2 = 7,即b cV7.解：若 f (x)= sinx、.31cosx= 2 ( sinx2m，故m的最大值为6，本题主要考查、3,柑1，则|bv|=()第5页共 19 页22由可行域知z x y 2的最大值是|AD17，最小值为D到直线x y 1 0的1距离的平方为一，故选 A.2考点：利用可行域求目标函数的最值则 ABC为（）

8、A 等腰三角形C 等腰直角三角形【答案】【点本题考查向量的数量积的定义和性质,以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方，考查运算8 .设实数x,xy满足约束条件xy1,0,0,则x222的取值范围是（）1A.,172B.1,17【答案】A【解析】 【详解】试题分析:画出约束条件所表示的可行域,如图，A 1,2 ,D 0. 2,9.在厶 ABC中，角A,B , C的对边分别为a ,b,c，若ca cosB(2 a b)cos A,直角三角形等腰或直角三角形【解余弦定理得cosA2 , 2 2b a2bccos B2 2c a2acb2-代入原式得2c,2 2 , 2 2b c b a 2a2bc2

9、.2 2c b a2b22.2 2c b a2c2ac2bc第6页共 19 页解得a b或c2a2b20则形状为等腰或直角三角形，选 D.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.31 12,21第7页共 19 页化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此【答案】因此，这四项的常数项之和即为原式的常数项,且各项的常数项如下:130 90 20141,61即x 1的常数项为141,x故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理及其应用，涉及二项式系数的性质和常数项的确定，以及组合数的运算，属于中档题.11.设奇函数 f(x)在

10、 R 上存在导数f (x)，且在(0,133时要注意应用ABCn这个结论.10.x6的展开式中的常数项为A . 32B.90D . 141【解先将原式写成:6，再用二项式定理将该式展开，根据常数项的特征，得出常数项为:C60C6CC4C6gC4CgC；，最后求出其值即可.【详解：xC；x上式共有 7 项，其中第，五，七项存在常数项,CdgC2cfgC：cgd)上f (x) x2，若In 2 In 3.12，15第8页共 19 页f(m) -(1 m)3m3，则实数 m 的取值范围是(B.2f (1 m)In 2 In 3.12，15第9页共 19 页【答案】B13【解析】构造辅助函数 g(x)

11、 f(x) _x，由 f(x)是奇函数，g( x) g(x) 0，可知31_ _g(x)是奇函数，求导判断g(x)的单调性，f(1 m) f(m)-(1 m) m ，即3g(1 m)g(m)，解得m的取值范围.【详解】1_解：令 g(x) f (x) x ,31_1_Qg( x) g(x) f( x) -( x)_f(x) -x_0 ,33函数g(x)为奇函数，Q x (0,)时，2g (x) f (x) x o ,函数g(x)在x (0,)为减函数，又由题可知，f(0)0,g(0) 0,所以函数g(x)在R上为减函数,13m) (1 m) f(m)3即 g(1 m)-g(m),1 m, m,

12、1m.2故选：B.【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想,属于中档题.()Q f(1 m)f(m)-(1 m)o3,m ,f(112 .若不等式0有且仅有两个正整数解，则实数m的取值范围为In 2 In 3.12，15第10页共 19 页In 2 In 2B.12，813.设等差数列an的前n项和为Sn，且S1352,则a8a9第11页共 19 页In 3 In 2158158【答案】AInx【解析】不等式mx22mx Inx 0有且仅有两个正整数解等价于mx 2m有且xIn x仅有两个正整数解，令fx mx 2m x 2 m,g x，则问题转化为

13、函x数f x ,g x的图像有两个交点。【详解】由题得，x 0，二不等式mx22mx Inx 0有且仅有两个正整数解等价于mx 2mInx ,一 .，一” 亠.记f x mx2m x 2 m, /函数的图象有且仅有两个止整数解x是过定点2,0的直线.又记gxInx,，g x x1 Inx2x，令g x0 x e，二当x0,e时，g x 0,g x单调递增；当xe,时，g x0，g x单调递减，如图所示,1.-iT_2pf13 /4 *Inx一要使mx 2m有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足xIn24mf 2g 22In3In2In3f 3g 35m即-m.故选 A31215f 4g

14、4In46m【点睛】含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数f x x 2 m,利用导函数解决，属于难题。二、填空题【答案】12In 3 In 2Inx第12页共 19 页再利用通项公式代入 a4+a8+a9，即可得出.详解：设等差数列an的公差为 d,TS13=52,13 1213a1+d=52，化为：a1+6d=4 .2则 a4+a8+a9=3ai+18d=3 (ai+6d) =3 4=12 .故填 12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n 项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力14 .为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A,B,C,D,E,F

15、六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A,B两门课程至少要选1门，则学生甲共有 _ 种不同的选法【答案】16【解析】 本道题先计算总体个数，然后计算A,B 都不选的个数，相减，即可。【详解】33总体种数有C620, A,B 都不选的个数有C44，所以一共有 16 种。【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等。15 .在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终 边过点(丄3)，则cos 2.(2 2)3-【答案】1【解析】 结合终边过点坐标，计算出sin ,cos，结合二倍角公式和余弦两角和公式， 即可.【详解】1 .兀，cos2_ 21cos

16、,si n2cos1- ,sin 2 2sin cos2222所以cos 2cos21si n2迈1322【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等.【解析】 分析：设等差数列an的公差为 d，由 Si3=52，可得 13ai+13 122d=52，化简第13页共 19 页16. 已知x“X2是函数fx :2sin 2x cos2x m在0,内的两个零点，贝V2sin%X2【答案】2.55【解析】分析: 由于函数f(x)的两点零点是x1,x2，所以m2sin 2x1cos2xi2sin2x2COS2X2，由和差化积公式，可得2sin(洛X2)20，再由X1X20,n，可解.25

17、详解:由X1,X2是函数f(x)n2sin 2x cos2x m在 0,内的两个零点，可得m2sin 2x1cos 2X12sin2x2COS2X2，即为：点睛：本题考查三角函数零点和的三角函数值问题，关键在于转化零点问题与怎么化简 方程问题.三、解答题在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知 BC 1，且2(sin 2捲sin2x2)cos2x1COS2X2,即有4cos(x(x2)sin(为x2)2sin (x2xjsin(x2xj ,由x(x2，可得sin(捲x2)0，可得sin(x2x() 2cos(Xjx2),2又sin (x1x2) cos2(x-|x2)1，可得sin2

18、(XiX2)20，25-xix2【,n,二sin(x)X2)17 .如图所示,第14页共 19 页cos BCD且AB 2，求AC的长;第15页共 19 页sin CDB sin CBD可得CDBC sinCBD 5，即CD的长为 5.sin CDBAC2迁AC53.530,解得AC . 5，或AC5(舍去)AC的长为3(2)- cos BCD,sinBCD12cos BCD455又TCBD45osinCDBsino180BCD45osinBCD 45osinBCDcosBCD210由余弦定理AB2BC2AC22BC AC cos ACB可得:在BCD中，由正弦定理一(2)若CBD 4丘，求C

19、D的长.【答案】(1) 15 (2) 5【解析】(1)由对角线AC平分BCD，求得cos BCDi，进而得到cos ACB-55在ABC中，利用余弦定理，即可求得AC的长.(2)根据三角sin CDB话，再在BCD中，由正弦定理,即可求【详(1)若对角线AC平分BCD，即BCD 2 ACB 2 ACD,二cos BCD 2cos2ACB 1-5 cosACB 0,cos ACB/在ABC中，BC1,AB2,第16页共 19 页【点睛】1第17页共 19 页本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决 三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在ABC

20、中，通常涉及三边三角，知三(除已知三角外)求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对 角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用 余弦定理求解.由题意可得ai3,d 2或ai6,d 1，再由等差数列的通项公式可得所求;(2)运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求【详解】18 .在公差 d 的等差数列an中，aid6,a1N,d N，且a1d.(1) 求an的通项公式;(2)若ai,a4,冃3成等差的前 n 项和Sn.anan 1【答(1)ann5；( 2)J6n 9【解1anan 1(2n 1)(2n3)12n 1 2n 3，再由裂项

21、相消求和即可得解.an，求得1第18页共 19 页【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想,解：(1) a1d 6,N，且印a1da16 d1当a13时，an2n当a16时，an5.(2) a1,a4,a13成等比数列，a1a132a4a1(a112d)(a13d)，化为 d0 或2a13d(1)2nanan 1(2n1)(2n3)12n 1 2n故Sn-212n 112n 312n 3n6n 9第19页共 19 页考查运算能力，属于基础题.19 .设函数f(x) sin( x ) sin( x )，其中06 2(i)求;(n)将函数y f(x)的图

22、象上各点的横坐标伸长为原来的3得到的图象向左平移个单位，得到函数y g(x)的图象，求g(x)在,3上的444最小值.【答案】(I)2.3(n).2【解析】试题分析：(I)禾U用两角和与差的三角函数化简得到y f (x)、.3(sin x )3.已知f(-)0.2 倍(纵坐标不变)，再将由题设知f(g0及03 可得.(n)由(I)得f (x)从而g(x)、3si n(x4J sin(2x -)3). 3 si n(x根据x12进一步求试题解析:(I)因为f (x)sin( x )6sin( x )2，所以f (x)一 3 .sin x21 cos2cos xsin23cos x2A选sin.3

23、x cos2x)由题设知f(6) 0，所以66kZ.所以2.第20页共 19 页题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错 点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围难度不大,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等x20 在直角坐标系 xOy 中，直线 1 的参数方程为y2 tcos(t 为参数)，以坐标tsi n原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos，直线 I 与曲线 C 交于不同的两点 A，B.(1) 求曲线 C 的参数方程；1 1(2)若点 P 为直线与 x 轴的交点，求22的取值范围|PA|

24、|PB|x 1 cos1 5【答案】(1)(为参数)；(2),一y sin4 16【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系H和三角函数关系式的恒等变变换的应用求出结果.【详解】解：(1)2cos等价于22 cos2 2 2将x y，cosx代入上式，可得曲线 C 的直角坐标方程为2 2y y222x 0，即卩x 1y 1x 1 cos所以曲线 C 的参数方程为sin(为参数).y(U)由所以g(x)(I)得f (x). 3sin(2x -)33sin(x) .3sin(x ).4

25、3_12因为所以123n时，32.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,g (x)取得最小值可谓相当经典.解答本第 i5 页共 i9 页(2)将2 t cos由题意得设方程t2tsin236cos6tcos 8所以ti与t?同号，由参数|PA|PB| tit2代入曲线 C 的直角坐标方程,320，故cos20的两个实根分别为t的几何意义，可得tit2整理得；t26tcosti，t26|cos |，|PA|2ii_ (| PA| | PB|) 2|PA| | PB| PA |2| PB|2| PA|2| PB |2cos22cos，则ti|PB|t2t1t2 cos26cos2tit2

26、2址22tit29,i，tit28,9cos24i629cos 4i6-,，所以丄2的取值范围是4 i6| PA| |PB |丄54，i6【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角函数关系式的恒等变变换， 正弦型函数性质的应用， 一元二次方程根和系数关系的应用， 主要考 查学生的运算能力和转化能力，属于中档题.2i.为发挥体育咋核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学生已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生抽取了i00 人进行调查班级一（i） 一(2)一（3）

27、一（4） 一（5） 一（6） 一（7） 一（8） 一（9） 一（i0）市 级比 赛获 奖人2233443342第 i5 页共 i9 页第23页共 19 页数市级以上比赛获奖人 数2210233212（1）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班学生，其中 3 名对游泳有兴趣，现在从 这 6名学生中最忌抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级以上游泳比赛中获奖，如上表所示，若从高一（ 8）班和高一（9）班获奖学生中随机各抽取 2 人进行跟踪调查记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量 的分布列及数学

28、期望【答案】（1）-；（ 2）分布列见解析，-25【解析】（1）利用互斥事件的概率公式计算所求事件的概率值；（2）由题意知随机变量的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.【详解】解：（1）记事件A 从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i 0,123,则A2A3从这 6 名学生中随机抽取的3 人中至少有 2 人有兴趣，且 A 与A3互斥.第24页共 19 页所求概率p pA2A第25页共 19 页(2)由题意，可知所有可能取值有 0,1, 2, 3.所以的分布列是0123P92415250505050 E( )0一1242153一50505050【点睛】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题.22 .已知函数f(x) aexsi n x,其中a R, e 为自然对数的底数(1) 当 a 1 时，证明：对 x 0,), f (x)1 ;(2)若函数 f (x)在0,上存在极值，求实数a的取值范围。2【答案】(1)见证明；(2)a 0,1【解析】(1)利用导数说明函数的单调性， 进而求得函数的最小值， 得到要证明的结论;(2)问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a 分类讨论，分别研究 a 的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求