2020届四川省遂宁市高三二诊数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题、单选题11 1.已知集合A x | y,B 2,1,0,1,2,3，则（6RA）|B（）J2 xA. 2, 1,0,1,2B B.0,1,2,3C C.1,2,3D D.2,3【答案】D D【解析】利用函数定义域，化简集合A A，利用集合交集、补集的运算，即得解【详解】1由题意得集合A x|y（ ,2）,72 x所以 RA2,）,故（6RA）B 2,3故选：D D【点睛】 本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2 2.若i为虚数单位，则复数zsin2-3（ ）A A .第一象限B

2、B.第二象限【答案】B B【解析】 首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z弟 丄i,求出z，再利用复22数的几何意义即可求解【详解】Qz sin icos23!i,33222 2 _ _i cos，贝 U Uz z在复平面内对应的点位于3C C .第三象限D D .第四象限第2 2页共 2121 页故选：B B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题3 3.X1”是（log2x 0”的（）A A .充分不必要条件C C充要条件【答案】C C【解析】【详解】1 13sin3sin x x2 2【答案】B B3【解析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出，通过

3、图象经过点,0，求出2从而得出函数解析式 【详解】则z在复平面内对应的点的坐标为乡2，位于第二象限B B 必要不充分条件D D.既不充分也不必要条件Q log2x 0X 1”是og2X0”的充要条件，选 C.C.4 4 .函数f XAsin）的图象如图，则此函2A A.f x 3sin2x13sin x2x 3sin2x（其第3 3页共 2121 页解：由图象知A 3,T 4 4，则2 23图中的点，0应对应正弦曲线中的点（，0）,2第4 4页共 2121 页转化思想，数形结合思想，属于基础题【答案】【详解】选项 B B 中m,n还可能异面,选项 C C,由条件可得n/或n故选：D.D.【点睛

4、】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题B B.2【答案】C C过点C时，z z 取得最大值. .【详解】当目标函数经过点C 2,3时，z z 取得最大值，最大值为 7.7.13所以 22，解得-故函数表达式为f X3sin x2故选：B.B.【点本题主三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与5 5 .已知m,n是一个平面，则下列命题中正确的是(A A 若m/,n/，则m/nB B.若m/,n，则m/nC C.若m n,m，则n/D D.若m,n/，则m n【解利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断解：选项A A 中直线m,n还

5、可能相交或异面,6 6 .已知实数x、y满足约束条件3x1 030，则z 2x y的最大值为(【解析】作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部，如第5 5页共 2121 页故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识于中档题 7 7 .已知a,b,c分别是VABC三个内角A,B,C的对边，acosC、.3csi nA be，则A()2A A .6B B.C.C. - -D D.三6 6433【答案】C C【解析】原式由正弦定理化简得.

6、3s in C si nA cosAs inC si nC，由于 sisi nCnC0 A可求A的值 【详解】解：由acosC 3csinA b c及正弦定理得sin AcosC . 3s in Csi nA si nB si nC. .因为B A C，所以sin B sin AcosC cosAsin C代入上式化简得.3sinCsinA cosAsinC sinC 1 1由于 sinsin C C 0 0 ,所以 sinsin A A. .6 6 2 2又0 A，故A. .3故选：C.C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，第6 6页共 21

7、21 页推理论证能力，属于中档题 . .8 8周易是我国古代典籍，用卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包第7 7页共 2121 页含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中 一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（1B.-2【答案】B B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为 概率 【详解】 解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦, 取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑,乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽

8、，离），（巽，兑），（离，兑）共3个,31所以，所求的概率P32. .故选：B.B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.9 9 .如图，平面四边形ACBD中，AB BC,AB DA,AB AD 1,BC . 2， 现将ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PA AC，则三棱锥P ABC的外 接球的表面积为（）3个，由此求出“ I*第8 8页共 2121 页8/23【答案】C C【解析】由题意可得PA面ABC,可知PA BC,因为AB BC，则 BCBC 丄面PAB,于是BC PB. .由此推出三棱锥P ABC外接球球心是PC的中点，进

9、而算出CP 2，外接球半径为 1 1 得出结果 【详解】解：由DA AB，翻折后得到PA AB，又PA AC， 则PA面ABC，可知PA BC.又因为AB BC，则 BCBC 丄面PAB，于是BC PB,因此三棱锥P ABC外接球球心是PC的中点.计算可知CP 2，则外接球半径为 1 1 从而外接球表面积为 4 4【点睛】 本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题.B B.3.3【答案】B B【详解】B B.61010 .设Fl,F2是双曲线c：瓷爲1a2b2a 0,b 0的左，右焦点，0是坐标原点,过点F2作C的一条渐

10、近线的垂线，垂足为P.若PR6OP,则C的离心率为【解析】设过点F2c,o-x的垂线，其方程为ac，联立方程，求abab，即c cab，由PF1V6|OP，列出相应方程，求出离心率故选：C.C.第9 9页共 2121 页解：不妨设过点F2C,0的垂线，其方程为aabx C，bxaaxb解得ab由PF1.6OP，所以有2以a b2C2以a b，C化简得3a2C2，所以离心率e故选：B.B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.1111.函数ax 2与gxe的图象上存在关于直线y x对称的点，则a的取值范围是e，4B B.,e2,

11、e【答案】【解析】由题可知，曲线fax2与y In x有公共点,即方程ax 2 Inx有解，可得2 In x有解,x1 In x2，对x分类讨论,x得出x-时，h x取得极大值ee，也即为最大值, 进而得出结论【详解】解：由题可知，曲线f xax乙匹有解，令h则当2 Inx1一时，h xelnx有公共点，即方程ax 2 Inx有解,1 In x2，x-时，h xe e1时,eh x取得极大值e，也即为最大值,当x趋近于 0 0 时，h x趋近于所以a e满足条件.第1010页共 2121 页第1111页共 2121 页故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化

12、等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题.1212.已知抛物线C : y24x和点D 2,0，直线 x x tyty 2 2 与抛物线C交于不同两点A,B，直线BD与抛物线C交于另一点E给出以下判断：1直线OB与直线OE的斜率乘积为2;2AE/y轴；3以BE为直径的圆与抛物线准线相切 . .其中，所有正确判断的序号是（）A A .B B.C C .D D .【答案】B B【解析】由题意，可设直线DE的方程为x my 2，利用韦达定理判断第一个结论；将 x x tyty 2 2 代入抛物线C的方程可得，yAyi8，从而，yA结论；设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M，则圆

13、心M为线段BE的中点.设B,E到准线的距离分别为d!,d2,e M的半径为R，点M到准线的距离为d，显然B,E,F三点不共线，进而判断第三个结论【详解】则yiy24m,y28.ViV2则直线OB与直线OE的斜率乘积为 丄一2所以正确.xix2将 x x tyty 2 2 代入抛物线C的方程可得，yAyi8，从而，yAy,根据抛物线的对称性可知，A,E两点关于x轴对称，y2，进而判断第二个解：由题意，可设直线DE的方程为x my 2,代入抛物线C的方程，有y24my 8 0.设点B,E的坐标分别为X,yi,X2,y2所XiX2myi2 my22m2y1y22m y-iy24 4.第1212页共

14、2121 页所以直线AE/y轴所以正确.如图，设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M,则圆心M为线段BE的中点.设B,E到准线的距离分别为d1,d2, e M的半径为R, 点M到准线的距离为d，显然B，E，F三点不共线，则d口|BF| |EF|竺R.所以不正确.2 2 2故选：B.B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、 直线与抛物线的位置关系等基础知识， 考查运 算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.、填空题rrrr rr r1313 .已知平面向量am,2,b1,3，且ba b，则向量a与b的夹角的大小为.【答案】4r【解析】由br

15、 r ab，解得mr r4,进而求出cos(a b2 2，即可得出结果 f2【详解】rrr解：因为b (ab), 所以1,3m 1, 1 m1 3 0,解得m 4，所以r r -.4,21,32r rcosa,b：，所以向量a与b的夹角的大小为一.22123224都答案为：一. .4【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能第1313页共 2121 页力，属于基础题.1414 .某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5 5 组，绘制如第1414页共 2121 页图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第

16、五组，已知第二组的频数是8080,则成绩在区间80,100的学生人数是 _.【答案】3030属于基础题. .应填辽.10【考点】三角变换及运用.1616 已知 f(x)f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f (x).若x 0时，f (x) 2x, 【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量,再计算成绩在 8080100100 分的频率，继而得解 【详根据直方图知第二组的频率是0.040 10 0.4,80则样本容量是需200,又成绩在 8080100100 分的频率是(0.0100.005)100.15,则成绩在区间80,100的学生人数是200 0.1530.故答案为：3030【点本题考

17、查了频考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力,1515 .已知sin3，且-，则COS4【答10【解试题分析：因71払4, ,故，所以10第1515页共 2121 页则不等式f(2x) f (x 1) 3x22x 1的解集是_.第1616页共 2121 页【解析】构造g(x)单调性，转化f(2x)f (x)f(xx2，先利用定义判断g(x)的奇偶性，再利用导数判断其21) 3x 2x 1为g(2x) g(x1)，结合奇偶性，单调性求解不等式即可【详解】令g(x)f(x)2x,则g(x)是R上的偶函数，g (x) f (x)2x0，则g(x)在(0,)上递减，于是在(,0)上递增.由f(2

18、x) f (x1) 3x222x 1得f(2x)(2x)2f (x 1)(x 1)2,即g(2x) g(x1),于是g(|2x|) g(|x 1|),则|2x| |x 1|,1解得1 x1.31故答案为：1,3【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题 三、解答题1717 某商场为改进服务质量， 在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查.调查后，就顾客 购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男4040女8040【答1,1第1717页共 2121 页1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?第1818页共

19、 2121 页券若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率.2n ad beabed a e b dP K2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】81有975%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；215. .50【解析】1由题得K25.5565.024，根据数据判断出顾客购物体验的满意度9与性别有关；2获得了100兀购物券的6人中男顾客有2人，记为A, A A2；女顾客有4人，记为B1,B2,B3,B4.从中随机抽取2人

20、，所有基本事件有15个，其中仅有 1 1 人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. .【详解】解析：122200 40 40 80 4050由题得K25.556 5.024120 80 80 1209所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为A1,A;女顾客有4人，记为B1,B2,B3,B4.从中随机抽取2人，所有基本事件有：UA,A,B,A,B2,A,B3,A!,B4,A2 B1,A2, B2,A2B3,A2, B4,B1 B2,B1B3,B1, B4,B2B3,B2B4,B3B4，共15

21、个.2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物附表及公式：K2第1919页共 2121 页其中仅有 1 1 人是女顾客的基本事件有：A,B1,A1，B2,A，B3,A,B4,A,B1,第2020页共 2121 页A2,B2,A2, B3,A2,B4，共8个.所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率P -.15【点睛】 本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题.baa5.1求数列an,bn的通项公式;【答案】1 an2n 1,bn3n 1；2 Sn3n. .2 .1 d 1 1 4d，解得d

22、 2 进而求出数列an,bn的通项公式;C1CiCaCn 1an，可得Cn2 3n 1，进而求出前n项和Sn.bib2babn 1【详解】解：1由题意知，a11，公差d 0，有 1 1,1 d,1 4d成等比数列,所以12d11 4d，解得d 2.所以数列an的通项公式an2n 1.n 1数列bn的公比q 3，其通项公式bnaC2当n 1时，由ba2，所以C a.当n 2时,由C1C2CaCn.an 1,CLC2Oan 1an,b1b2babnbib2babn 11818 .已知等差数列an满足ai1，公差d0，等比数列bn满足 da1,b2a2,2若数列Cn满足3biC2b2Caba2an1

23、，求Cn的前n项和Sn.【解1由a11，公差d0，有1,1 d,14d成等比数列，所以c12当1时，由b；a2，所以C13，当rr2时，由-biC2b2CabaCnb；an1，第2121页共 2121 页两式相减得Cnan1an,bn2第2222页共 2121 页3，继而得出4【详解】所以Cn2 3n 1故Cn3,n 1n 12 3 , n 2所以的前n项和Sn322 332 3n 11时，Siai31，也符合上式,【点本题主要考查等差数列和等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的应用等基础知识;考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识, 属于中BADBAD 6060 ,PAD是边长

24、uur2是否存在满足PFuuurFC 0的点F,使得VB PAE3_ VD PFB?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.【答案】1证明见解析；22.2.【解析】1利用面面垂直的判定定理证明即可;c uuu2由PFuuuFC，知1 FC PC,所以可得出VD PFBBDCVF BDC3VF BCD，因此，VB PAE_VD4PFB的充要条件是的值 1919 .如图，在四棱锥P ABCD中底面ABCD是菱形,第2323页共 2121 页证明：因为PAD是正三角形，E为线段AD的中点,解：1第2424页共 2121 页所以PE AD.因为ABCD是菱形，所以AD AB.因为 BADBAD 60

25、60 ,所以ABD是正三角形，所以BE AD，而BE PE E,所以AD平面PBE又AD/BC,所以 BCBC 丄平面PBE因为BC平面PBC, 所以平面PBC平面PBE【点睛】 本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想， 属于难题.2020.已知椭圆C的中心在坐标原点C,其短半轴长为1，一个焦点坐标为1,0，点A在椭圆C上，点B在直线 y y2上的点，且OA OB1证明：直线AB与圆x2y21相切；2求VAOB面积的最小值.【答案】1证明见解析；21.1.2【解析】1由题意可得椭圆C

26、的方程为y21，由点B在直线 y y 2 2 上，且2uuuuuu2由PFFC，知1 FC PC所以，VB PAE二VP ADB2二VP BCD2VD PFBVP BDCVF BDCVF BCD因此，VB PAE_VD PFB4的充要条件是所以，2uun即存在满足PFuuuFC0的点F1VF BCD,2V1324，3，使得VB PAE_ VD PFB，此时24第2525页共 2121 页OA OB知OA的斜率必定存在，分类讨论当OA的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB与圆X2y1相切；12由1知，VAOB的面积为S -|OAOB 1【详解】解：1由题意，椭圆C的焦点在

27、x轴上，且b c 1，所以a2.2所以椭圆C的方程为?y1.由点B在直线 y y 2 2 上，且OA OB知0A的斜率必定存在,当OA的斜率为0时，|OA42,OB J2,于是AB 2,O到AB的距离为1,直线AB与圆x2y21相切.2当OA的斜率不为0时，设OA的方程为 y y kxkx，与y21联立得1 2k2x22,22 2综上，直线AB与圆x y 1相切.2由1知，VAOB的面积为_2_2k2_1_1_2 疋2 J 2k22、1 2k2上式中，当且仅当k 0等号成立,所以VAOB面积的最小值为 1 1.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解

28、能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题.2121 .已知函数f(x) exxln x ax,f (x)为 f f (x)(x)的导数，函数f (x)在x x0处取得最小值.所以xA222k21 2k2，yA1 2k2，从而OA22 2k22k2而OBOA，故OB的方程为xky,2上，故x 2 k，从而OB12 2k，于是斎OB此时，O到AB的距离为1，直线AB与圆x21相切.OA OB第2626页共 2121 页(1)求证：In XoXo0；(2)若xXo时，f(x)T恒成立，求a的取值范围.【答案】(1 1)见解析；(2 2)1 e,). .【解析】(1 1)对 f(x)

29、f(x)求导，令g(x)In x a 1，求导研究单调性，分析可得存1在一to1使得g2totoo，即e1to0,即得证;1(2(2)分xo oaXo1-o , -Xo10两种情况讨论,转化f ( x)minXof(X)有两个不同的零点a 1 e讨论即得解 【详解】(1)由题意f (x) eXo1当一XoXoa 1-0时,令g(x) exIn x a因为g (1)所以，存在to所以，当xo,toto,故当X故Xo所以有12xoXoX1,X2,In x a1使得Xoa利用均值不等式即得证;分析可得则g (x) exto时g (x)时g (X) g tof f (x)(x)的最小值为f，知g (X

30、)为(o,、e 2etotootoo,g(x)为减函数,g(x)为增函数,to时，g(x)取得最小值，也就是f (x)取得最小值.to,于是有eXo丄o，即eXoXo1xo，In XoXoo,证毕.(2(2)由(1 1)知,f (x) exIn x a11的最小值为xoXo1当一XoXo)的增函数,第2727页共 2121 页当1口1f(x)f(x)为Xo,的增函数，Xoa1 o，即a-1 Xo时，XoX所以f(x)minfXoeXoIn Xoxa12XoXoa,Xo12Xo11 1Xo1.-XoXoX。XoXo由(1 1) 中1xo彳11，得xo1 1,即f(x) 1.2Xo故a 11Xo满

31、足题意.Xo当1Xoa1 o,即a 1-1Xo时,f (x)有两个不同的零点X1,x2,X。X。且XXoX2，即f X2X2eIn X2a 1o aIn X2eX21,若XXo,X2时f (x) fX2of f (x)(x)为减函数，()若XX2,时f (x) fX2o,f,f (x)(x)为增函数，所以 f(x)f(x)的最小值为f x2-注意到f(1)e a 1时，a1 e, 且此时f (1) ea 1o,(i )当a1 e时，f (1)ea1-ofX2,所以oX2,1，即1 X2o又f x2eX2x21 n x2ax2eX2x2In x2In x2eX21 x21 x2e2x21X2eX

32、21 1,而eX21o, 所以1 X2eX2111，即f X21.由于在1Xo1下，恒有丄Xoe,所以1 e 1丄Xo2XX(ii)当a 1 e时，fe a 10 f X2,所以x21 x0,所以由()知X1,x2时，f f (x)(x)为减函数，6第2828页共 2121 页所以f(x) f(1) e a 1，不满足XX。时，f(x)1恒成立，故舍去.1故1 e, a 1Xo满足条件.Xo综上所述：a的取值范围是1 e,).【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题 C3:()上，且VAOB为正三角形.(1) 求点A,B的极坐标；(2)若点P为曲线G上的动点，M为线段AP的中点，求|BM |的最大值.I答案】(1)A 2,-，B 2, - ；(2)3. .【解析】(1 1)禾U用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解;1最大值为| BQ|,即得解. .2【详解】所以点A在曲线(0)上.6又因为点A在曲线C?: sin 1上，所以点A的极坐标是2,62222 .在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为X cos ,以0为极点，X轴正半轴y sin .为极轴建立极坐标系，设点