微积分课件：9-5 函数的泰勒级数

1、一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数三、小结三、小结 第五节第五节 函数的泰勒级数函数的泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定定理理 1 1

2、如如果果函函数数)(xf在在),(0 xU内内具具有有任任意意阶阶导导数数, , 且且在在),(0 xU内内能能展展开开成成)(0 xx 的的幂幂级级数数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 则则其其系系数数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展开开式式是是唯唯一一的的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann系数是唯一的系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得

3、如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在0 xx 处处的的泰泰勒勒级级数数. . nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf的的麦麦克克劳劳林林级级数数. . 问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在),(0 xU内内收收 敛敛于于)(xf在在),(0 xU内内0)(lim xRnn. . 证明证明必要性必要性)()(!)()

4、(000)(xRxxixfxfninii ),()()(xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(limxfxsnn )(limxRnn)()(limxsxfnn ;0 充分性充分性),()()(xRxsxfnn )()(limxsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(limxfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定理定理 3 3 设设)(xf在在)(0 xU上有定义上有定义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒有恒有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内可

5、展内可展开成点开成点0 x的泰勒级数的泰勒级数. .证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收例例1解解.)

6、(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn!1!)0()(nnfann , 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!

7、12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x常用函数的关于常用函数的关于x的幂级数展开的幂级数展开n nx xn0n0 x x(1) e;(x)(1) e;(x)n!n! n 1n 1n nn0n0 x x(4) ln(1x)( 1);( 1x1)(4) ln(1x)( 1);( 1x1)n1n1 2n 12n 1n nn0n0 x x(2)sin x( 1);(x)(2)sin x( 1);(x)(2n1)!(2n1)! 2n2nn nn0n0 x x(3)cos x( 1);(x)(3)cos x( 1);(x)(2n)!(2n)! n nn0n01 1特特别别x

8、;( 1x1)x ;( 1x1)1x1x n nn0n0 ( (1)(1)(2)(2)(n1)n1)(5)(1x)x ;(5)(1x)x ;n!n!( 1x1)( 1x1) 210(6)arctan( 1) 1,121nnnxxxn 2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxx

9、xxxnn 2 2例例3 3 : : 将将下下列列函函数数展展开开成成x x的的幂幂级级数数( (1 1) )f f( (x x) )s si in n x x x0ydyef(x) )3(22 2(4) f(x)ln(1x2x )(4) f(x)ln(1x2x )例例421( )43f xxxx 将将展展开开成成 的的幂幂级级数数1x(2) f(x)arctan1-x 例例5处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x展开

10、成展开成 的幂级数的幂级数0 xx 0 0 xxtxxtxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n x6 f(x)x-12x 例例将将展展开开成成的的幂幂级级数数利用幂级数展开式求常数项级数的和利用幂级数展开式求常数项级数的和 n n0 0例例7 7 求求下下列列级级数数的的和和( (n n1 1) ) n n ! !四、小结四、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.

11、思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122