第十章(第一部分)曲线积分与曲面积分

1、第十章 曲线积分与曲面积分（第一部分）曲线积分、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）一、对弧长的曲线积分的概念1定义.2物理意义表示线密度为的弧段的质量.二、对弧长的曲线积分的性质1线性性质：.2可加性：若，则.3的弧长：.4单调性：设在上，. 则.5与积分曲线的方向无关性：三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算（注：下限<上限）（1）若；则.（2）若；则.（3）若；则.（4）若；则.注被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分典型例题例1求，其中.分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是，而由轮换对称性可知：，由奇偶对称性知：. 故本题有如下简单的

2、解法。解 .五、对弧长的曲线积分的应用1几何应用 求曲线的弧长.2物理应用 质量.质心 ，.转动惯量，.引力 .、对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）一、对坐标的曲线积分的概念1定义.2物理意义.变力沿所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1线性性质：.2可加性：若（方向不变），则.3方向性：设是的反向曲线弧，则.三、对坐标的曲线积分的计算方法1直接计算法（化为定积分计算）.（注：下限起点，上限终点）（1）设；从变到；则.（2）设；从变到；则.（3） 设；从变到；则.（4）设；从变到；则.2格林（Green）公式计算法.（注意使用条件！）（这里为区域的正向边界曲线）3利用积分与路径无关的条件计算法

3、.与路径无关，为区域内任意闭曲线.，单连域，单连域.Newton lebniz公式的推广。4斯托克斯（Stokes）公式计算法.（这里是有向曲面的正向边界曲线）注被积函数可用积分曲线方程化简！四、两类曲线积分之间的联系 .其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.五、对坐标的曲面积分典型例题例1计算曲线积分，其中为曲线沿增大的方向。分析由于，故曲线积分与路径有关。又因积分曲线不是封闭的，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用添补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线的方程改写为，再代入被积函数中计算。解 由于，

4、所以.例2计算曲线积分其中为圆周（按逆时针方向绕行）.分析由于本题积分曲线为圆周，故可首先写出的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1：化为定积分计算。由于的参数方程为：，从变到. 则.解法2：利用格林公式计算。设由所围区域为，则；于是.例3设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。(1) 证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(2) 求函数的表达式；(3) 设是围绕原点的光滑简单正

5、向闭曲线，求(1) 证 在右半平面内，任取两点，以为起点，为终点作任意光滑曲线，再以为起点，为终点作围绕原点的光滑曲线，由题设知所以，即(2)解 因为对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有，所以 从而有所以，有 ，比较两边的同次幂系数得，将代入第二式得. (3) 解 设为正向闭曲线所围区域，由(1)，利用Green公式和对称性，.六、对坐标的曲线积分的物理应用求变力沿曲线所作的功：. (第二部分)曲面积分、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）一、对面积的曲面积分的定义1定义.2物理意义表示面密度为的曲面的质量.二、对面积的曲面积分的性质1线性性质：2可加性：.3的面积：.4单调性：若在上，则.三

6、、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若，. 则.（2）若，. 则.（3）若，. 则.四、对面积的曲面积分典型例题例1计算曲面积分，其中为在与之间的部分。分析因为：，即，从中能确定，或。解令： ；：. 则（如图）.（1）求和在平面上的投影区域：因和在平面上的投影区域相同，设为，则：，.（2）求微元：在和上，；（3）转化为二重积分：.例2计算曲面积分，其中为球面.分析 由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。解 因 ，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易

7、知，故.注 从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：（1）由于积分范围是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数；（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。五、对面积的曲面积分的应用1几何应用 求曲面的面积：.2物理应用质量.质心，.转动惯量，.、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）一、对坐标的曲面积分的概念1定义.

8、2物理意义表示流体密度速度场为，单位时间内流过曲面一侧的流量。二、对坐标的曲面积分的性质1可加性 ；2反号性 ).三、对坐标的曲面积分的计算方法1直接投影法（化为二重积分）（1）设 ，. 则.上侧取“+”，下侧取“”.（2）设，. 则.前侧取“+”，后侧取“”. （3）设，. 则.右侧取“+”，左侧取“”.2高斯（Gauss）公式计算法.或 .这里是的外侧边界，为曲面上点处的法向量的方向余弦.3转化为第一型曲面积分计算法其中为曲面在点处的法向量的方向余弦.4. 斯托克斯公式：或 .其中，为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，在（连同边界）上具有一

9、阶连续偏导数。四、对坐标的曲面积分典型例题例3计算曲面积分，其中为下半球面的上侧。分析由于，定义在曲面上，所以被积函数满足曲面方程. 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即，然后再计算。解 先以代入被积表达式中，得.（法一）直接计算将（或分片后）投影到相应坐标面上化为二重积分逐块计算。其中为平面上的半圆. 利用极坐标，得因此，.（法二）高斯公式补有向曲面取下侧，则构成封闭曲面，且方向为内侧。由所围成的空间闭区域为：（如图所示）. 应用高斯公式，得.又因 ，因此. 例4 计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，若采用参数法转化为定积

10、分计算比较困难。现利用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面的侧与曲线的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。解 设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影区域，则；由Stokes公式，得.五、其它结论1. 与无关，为区域内任意闭曲面， 二维单连通域。2. 空间曲线积分与路径无关的条件与路径无关，为区域内任意闭曲线， 一维单连通域， 一维单连通域.注：二维单连通区域：内任一闭曲面所围成的区域完全属于. 如环面。 一维单连通区域：内任一闭曲线总可以张一片完全属于的曲面，如同心球面之间的区域。3. 散度与旋度 设，均有一阶连续偏导数，（1）散度.（2）旋度.例5设存在一阶连续导数，且存在。并设为任意一张可定向的逐片光滑曲面片，它的边界为，的定向与的定向按右手法则，设的值