样本均值的分布

1、样本均值的分布样本均值的分布特别地,对样本均值 nNXnXnii21,1 则 niiniiniiiNX12211, 定理定理2.12.1：若),(,221 NXXXn 2 常用的抽样分布常用的抽样分布标准化： 1 ,0/NnX 在数理统计中，较多的使用正态总体，其样本在数理统计中，较多的使用正态总体，其样本 的统计量的分布很重要。的统计量的分布很重要。),(,221 NXXXn统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布.（定理一）（定理一）的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例 设(72 ,100)XN ,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n , 则)100,72(nNX故

2、)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n三个抽样分布三个抽样分布).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称统计量则称统计量的样本的样本是来自总体是来自总体设设 )(2卡方分布卡方分布分布分布 1.分布的概率密度为分布的概率密度为：定理定理)(2 . 22n 000 ,e)2(21)(21222xxxnxxnn .)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 例例 设总体 的样本,26542321)()(XXXXXXY) 1

3、 , 0( NX16,XX为总体 X 试确定常数 c , 使 cY 服从2分布.解解) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c)2(312Y性质性质1.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期

4、望和方差分布的数学期望和方差 分布的性质分布的性质2 , 3d21)(2244 xexXExi ., 2, 1ni 分布的性质分布的性质2 性质性质2).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设定理定理2.3：.(2);1()1(1),),(,22222221独独立立与与则则有有方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和样样本本的的样样本

5、本是是总总体体设设SXnSnSXNXXXn 正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理二）正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理二）).(, /,),(),1, 0(2ntTtnnYXTYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. xnxnnnxtn,1221)(212分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为定理：定理：)(nt分布分布t2.图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当 n 充分大时充分大时, 其其图形类似于标准

6、正图形类似于标准正态变量概率密度的态变量概率密度的图形图形.,e21)(lim22xnxt 因因为为,)1, 0()45(分布分布分布近似于分布近似于时时足够大足够大所以当所以当Ntnn .)1 , 0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn例例 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2, 1,) 1

7、, 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX从而).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理定理2.5：正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理三）正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理三）例例 设12(,)nXXX 是来自N ( ,

8、 2 )的简单随机样本, X是样本均值,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(则有则有设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本相同方差的两正态总体相同方差的两正态总体分别是具有分别是具有与与设设,)(11,)(111,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理定理2.6：正态总体的

9、样本均值与样本方差的分布（定理四）正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理四）.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121 SSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中为第二自由度。为第二自由度。为第一自由度，为第一自由度，其中其中记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为变量变量则称随机则称随机独立独立且且设设212121212212).,(,),(/,),(),(nnnnFFFnnnYnXFYXnYnX 分布分布F3.),(/1 1212nnFnXnYF 由定义可知：随机变量由定义可知：随机变量分布的概率密度为分布的概率密度为：定理定理),(.7221nnF .0 ,0,0,1222)(2212112212121211xxxnnnnxnnnnnnxfnnn则有则有互相独立互相独立且这两个样本且这两个样本的样本的样本正态总体正态总体分别来自分别来自与与设设,),(, ),(,222211212121 NNYYYXXXnn定理定理2.8：正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理五）正态总体的样本均值与样本方差的分布（定理五）)1, 1(/2122212221 nnFSS .)(11 ,)(11 211222212121 niiniiYYnSXXnS其中其中证明：证明：),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222