1.3.2-函数的奇偶性讲义全

1、函数的奇偶性一、对称区间(关于原点对称)a, b关于原点的对称区间为b, a(m, 0)关于原点的对称区间为(0,+m )1, 1关于原点的对称区间为1, 1二、奇函数与偶函数，对于x A,，对于x A,一奇函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间关于原点对称都有 f( x) = f( X), 那么f(x)为奇函数。 二偶函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间关于原点对称都有f( x)f(x)，那么f(x)为偶函数。如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。三判断函数奇偶性的步骤:1求函数f(x)的定义域；2假设函数的定义域不关于原点对称，那么该函数不具

2、备奇偶性，此时函数既不是奇函数，也不偶函数；假设函数f(x)的定义域关于原点对称，再进展下一步；3求 f( x);4根据f( x)与f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性；假设f( x) = f(x)，函数是 奇函数；假设f( x) = f(x)，函数f(x)是偶函数；假设 f( x)工土 f(x)，那么f(x)既不是 奇函数，也不是偶函数；假设 f( x) = f(x)，且f( x) = f(x)，那么f(x)既是奇函数，也 是偶函数。【即 f(x) = 0,即定义域关于原点对称的常数函数f(x) = a :当 a工0 时, , , 常数函数是偶函数;. 当旦=0时，常数函数既是奇函

3、数,也是偶函数。.】.例1 :判断以下函数奇偶性。1 1f(x) = - x 2f(x) = x3 + X 3f(x) = x 1 X x 1 x1 24f(x) =-1 5f(x) = x2 + cosx3x【解析】：1奇2奇3非4非5偶 变式练习：判断以下函数的奇偶性。2 x 1f(x) = x x tanx 2f(x) = ln( )2 x【解析】：1偶2奇3奇3f(x)=x(x 1), x 0x(x 1), x 0注意：1、判断函数奇偶性的步骤1求定义域，判断函数定义域是否关于原点对称；2计算f( x) ;3判断，假设f( x) = f(x)偶函数，假设f(x)二一f(x)奇函数，否那

4、么为非奇非偶函数。2、直接判断法：偶±偶=偶；偶 乂偶=偶；奇±奇=奇；奇乂偶=奇。一些重要类型的奇偶函数：1f(x) = ax a x为偶函数，f(x) = ax a x为奇函XX1数；2f(x) =J a >0 且a 丰 1为奇函数；3f(x) = ioga( ) a>0且 aa a1x工1为奇函数；4f(x) = x loga(x .x2 1) a >0且a工1为奇函数。三、奇偶函数的性质与应用一偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称； x) = f(x) = f( | x | );偶函数的单调性在其对称区间的单调性相反；二次函数f(x)二ax2+b

5、x + c(a工0)是偶函数，那么 b = 0。二奇函数的性质:奇函数的图象关于原点对称；f( x)二一f(x):奇函数的单调性在其对称区间的单调性一样；一次函数f(x) = kx + b(k工0)是奇函数，那么 b= 0； 彳假 设 x = 0 在其定义域，那 E么 有 f( 0) = 0。例2：函数f(x) = ax2+ b x + c( a丰0)是偶函数，那么g(x) = x4+ b x3 + cx2是函数。填奇函数、偶函数、非奇非偶函数【解析】：偶函数变式练习1:函数f(x) = ax2+ bx+ 3 a + b (a丰0)是偶函数，且定义域为a 1，2 a，那么 a =， b =。1

6、【解析】：03变式练习2：以下函数是奇函数又是增函数的是31A : f(x) = x + 1 B : f(x) = x C: f(x) = D: f(x) = x x| x |x【解析】：D变式练习3:假设函数f(x) = (x 1)(x a)是奇函数，那么a =。x【解析】：f( - X)= -f(x)，那么(X 1)( X a)X(X 1)(X a)得XX2 (a 1)x a =- X2 (a 1)x a，故 a = - 1例4: f(x)是R上的奇函数，当x >0, f(x) = x2- 2x，求 f(x)的表达式。【解析】：f(x)=2x 2x, x 02x 2x, x 0变式练

7、习：f(x)是定义在R上的奇函数，当x> 0时，f(x) = x2-2x 3,求f(x)的解析式。x2 2x 3, x 0【解析】：f(x) = 0, x 0x2 2x 3, x 0例5:函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f( 1)= 2,那么f(1) =。【解析】：f(1) =- 2变式练习1 :假设f(x)是R上的奇函数，当xw 0, f(x) = 2x2-x，那么f(1) =。【解析】：f(1) =- 3变式练习2：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= 2X 6，那么ff(2)=()2323A : B :44【解析】：DC:- 2 D : 2变式练习3：

8、 f(x)是奇函数，假设g(x) = f(x) + 4,且g(1) = 2,那么f( 1) =。【解析】：f( 1) = - 2变式练习 4:假设 f(x) = x5+ ax3 + bx 8,且 f( 2) = 10,那么 f(2) =。【解析】：f(2) =- 26变式练习 5:函数 f(x) = ln(Jl 4x22x)3，那么 f( Ig 2) + f( Ig1)=。2【解析】：令 f(x) = g(x) 3, g(x)是奇函数，故 f( x) = g( x) 3 , f( x) = g (x)3 ,故 f(x) + f( x) = 6例6： f(x)是定义在(-1, 1)上的奇函数且是

9、减函数，满足f(i a) + f(i 2a)>0,求a的取值围。1 a 2a 12【解析】：1 1 a 1 0 a 3 11 2a 112212 、2 、A :(一 ,)B:( ,)C：D:(一，+ )333233【解析】:| 2x 1|V 1,那么x (12)A333例7:偶函数f(x)在区间0,单调递增，那么满足f(2x 1)v f()的x取值围是3变式练习2：设f(x)是R上的偶函数，在区间(0)上是增函数，且有f(2a2a 1)=0，那么 f( 1) = 0,那么 fx(x j) V f( 1)或 fx(x £) V f(1)，得2 211x(x-)1x(x-)12或2

10、11x(x-)0x(x-)022综上所述：不等式的解集为或 U v x V 0或1 v x V2 2 2(1.170) U (丄,217)2v f(3a22a1),求 a1的取值围。【解析】：法一2a2a 11 2=2(a-)72 1 2>0, 3a 2a 1 = 3(a -)2-> 048332a2 a1>3a2 2a1 ,故 0v a v 3法二：l2a2a 1 |>l3a2 2a 1l ,那么(2a2 a 1)2 > ( 3a22a 1)2,(2a2 a1)2 (3a22a1)2>0, (5a2a 2 )(a 3a )v 0, 0v a v 3。变式练

11、习3:函数f(x)x工0是奇函数，且当x (0,+R )时是增函数，假设f(1) = 0,1求不等式fx(x ) V 0的解集。2【解析】：由于函数是奇函数，在(0,+ )时是增函数，故在(汽 0)上是增函数，T f(1)例8 f(x)是定义在R上的函数，对于任意的x R,都有f(x + y) + f(x y) = 2f(x)f(y),且f(x) 丰0。 1求证：f(0) = 1;2求证：函数f(x)是偶函数。【解析】：1令 x = y= 0,那么 f(0) + f(0) = 2f(0)f(0) , f(x)丰 0,故 f(0) = 1; 2令 x = 0, 那么f(0 + y) + f(0

12、y) = 2f(0)f(y),得 f(y) + f( y) = 2f(y)，即 f( y) = f(y)，即 f( x) = f(x)，故函 数f(x)是偶函数。变式练习1 :假设f(x)的定义域为R,且对任意x、y R，都有f(x + y) = f(x) + f(y)成立。 1判断函数f(x)的奇偶性；2假设当x> 0时，f(x) > 0,判断函数f(x)的单调性；3假设f(8) = 4,求f(】)的值。2【解析】：1令 x = y= 0,那么 f(0) = f(0) + f(0)，得 f(0) = 0,令 y= x,那么 f(0) = f(x) +f( x)，即f( x) =

13、f(x)，故函数是奇函数。2设a > b，那么a b > 0，那么f( a b)>0，那么 f(a) = f( b + (a b) = f(b) + f( a b),即卩 f(a) f(b) = f( a b)>0,即卩 f(a)1>f(b)。故 f(x)在 R 上是增函数。3T f(8) = f(4) + f(4) = 2f(4) = 4f(2) = 8f(1) = 16f( ),故21111耳丄)=1，函数是奇函数， f(丄)=12424例9:偶函数f(x)在区间3, 1上是减函数，那么f( 3), f(1) , f(2)的大小关系是 。【解析】：f(1) v

14、 f(2) v f( 3)变式练习1:设函数f(x)是定义在6, 6上的奇函数， 假设当x0 , 6时，f(x)的图象如下列图，那么不等式f(x) v 0的解集为。【解析】：(3, 0) U (3, 6)变式练习2:设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0, 时，f(x) = x2 2x，那么不等式f(x) v 3的解集为 。【解析】：3, 3 0 , 3上的图象如下列图，那么不等式上凶 v 0g(x)的解集是。【解析】：由奇、偶函数性质作出整个定义域的图象，丄 v 0,即 f (x)g(x) v 0 g(x)故：(一2, 1) U (0, 1) U (2, 3)Joy=f(x)x变式

15、练习3: y = f(x)是偶函数，y= g(x)奇函数，它们的定义域都是3, 3,且它们在x课后综合练习1、假设f(x)是奇函数，那么其图象关于a : x轴对称b : y轴对称c：原点对称 d :直线y x对称【解析】：C2、函数二次函数f(x) = ax2 + bx+ c0是偶函数，那么 b的值A : 1B: 2 C： 0D:不确定【解析】C3、以下函数中为偶函数的是A: y x B: y x c： y x2D: y x31【解析】：c4、函数f(x) 2x a是奇函数，那么 a的值为A :1B :2C: 1 D: 0【解析】：D5、 偶函数f (x)在0,上单调递增，那么以下关系式成立的

16、是()A : f()f( -)f(2)B : f(2) f(-)f()C : f( )f(2)f ( -)D : f( -)f(2)f()【解析】：C6、假设函数y。f(x)是奇函数，f(1)3 ,那么f(1)的值为【解析】：37、f (x)是定义在2,00,2上的奇函数，当x 0时，f (x)的图象如右图所示，那么函数值y的取值围是 【解析】：3, 22,3&如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7，- 3上是A:增函数且最小值为5 B :增函数且最大值为5C :减函数且最小值为5 D :减函数且最大值为5【解析】：B9、以下函数是奇函数是A : f

17、(x) = x2 2x B : f(x) = In X C : f(x) = (-)xd : f(x) = xcosx【解析】：D10、以下函数是偶函数是A : f(x) = 2x12xB : f(x) = xsin xx2C: f(x) = e cosx D: f(x) = xsin x【解析】：B11、f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+R )上是增函数，那么A : f(20.7) v f(log2 5)v f( 3)B: f( 3) v f(20.7)v f(log25)C: f( 3)vf(log2 5)v f(20.7)D: f(20.7)v f( 3)vf(log2 5)【解析】：207v 2v log2 5 v 3 A(-1, 1)上的奇函数，且f() = 2。2512、f(x) = &q