洛必达法则解决问题VIP

1、洛必达法则简介:法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) "mf(x)=0 及 limg(x)=0；可导且g'(x) wo；那么limUx)=limf-=l。xagxx，agx法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件: lmf(x) = 0 及limg(x)=0；(2)/>0,f(x)和g(x)在(Q,A)与(A,")上可导，且g'(x)wo；(3)limf-l,那么limfx-LlimfW。xfgxxgxxfgx法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)=°o及lim

2、gfx)=°o；xax)a limf-=l ,x a g x(2)在1-a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)wo；那么lim"x-)=lim-凶二l。x百gxx汨gx利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:+将上面公式中的 x-a , x一0°换成 x一+00 00洛必达法则可处理 0, 一，0，,0(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条彳 适用，应从另外途径求极限。,x-8,xta,xta洛必达法则也成立。00iDO,0,00一0°型。0000，1，08,1，

3、g,0,88型定式，否W,就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不(4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-1一x-ax2。(1) 若a=0,求f(x)的单调区间;(2) 若当x圭0时f(x)主0,求a的取值范围x.x原解：(1)a=0时，f(x)=e-1-x,f'(x)=e-1.当xW(q,0)时，f'(x)<0;当xW(0,")时，f'(x)>0.故f(x)在(3,0)单调减少，在(0,)单调增加(II)f'(x)=ex12ax由(I)知ex21+x,当且

4、仅当x=0时等号成立.故f'(x)2x-2ax=(1-2a)x,1,.一.从而当12a之0,即aE时，f'(x)之0(x之0),而f(0)=0,2于是当x±0时，f(x)20.x.x.1.由e>1十x(x#0)可得e>1x(x#0).从而当a>一时，2f'(x)<ex-1+2a(e-1)=e、(ex-1)(ex-2a),故当x0,ln2a)时，f'(x)<0,而f(0)=0,于是当xW(0,ln2a)时，f(x)<0.巾1综合得a的取值范围为,12原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：(II

5、)当x=0时，f(x)=0,对任意实数a均在f(x)±0;xx-1当xA0时，f(x)之0等价于a<e-2xxx T令 g (x )=e-2(x>0),则 g (x)=xxex - 2ex x 2x x,令 h(x)=xe -2q +x + 2(x>0),xx.x则h(x)=xe-g+1,h(x)=xe>0,知h'(x)在(0,z)上为增函数，h'(x)>h'(0)=0;知h(x)在(0,收)上为增函数，h(x)>h(0)=0；，g'(x)>0,g(x)在(0,收)上为增函数。xxx由洛必达法则知，lime-2

6、=limex=iime=:x0xx02xx022综上，知a的取值范围为I-a,1I,22. (2011年全国新课标理)已知函数，曲线y = f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x + 2y 3=0。求a、b的值;如果当x >0,且x #1时，f (x)>Jnx+k,求卜的取值范围。x -1 x原解:I ) f '(x)=J 1-(-ln x) x b(x 1)2由于直线x+2y3 = 0的斜率为2'f(1)=1,且过点(1,1),故，1即f'(1)=-2,b =1,解得 a =1 , b = 1。知 f (x)=f(x)-(In xx -1"

7、;21nx考虑函数(k -1)(x2 -1)h(x) =2ln x +- (x > 0),则 h'(x)=2_(k -1)(x1) 2x(i)设 k W0 ,由 h'(x)=22k(x 1)-(x -1)知，当x"1 时，h'(x) <0, h (x)递减。而 h(1)= 0故当 xW(0,1)时,一、c口 11，、 ch(x) >0 ,可得2h(x) >0;1 -x当 xW (1+ °°)时，h (x) <0,可得1 - x2h (x) >0从而当x>0,且x#1时，f(x)-(1nx+)>

8、0,即f(x)>1nx+x-1xx-1x1t x2 （k -1）x2 +2x + k1的图像开口向下，且(ii)设0<k<1.由于(k-1)X2 =4 4(k -1)2 >0,对称轴 x= >11 -k当 xW (1,)时，(k-1) (x2+1 ) +2x>0,故 h'1 -k(x) >0,而h （1） =0,故当x三（1,1,)时，h1 -k一 1(x) >0 ,可得 h (x) <0,与题设矛盾。1 -x2(iii)设 k2l.此日x2 +1>2x,一 2'一(k -1)(x +1)+2x>0n h (x)

9、 >0,而 h (1)=0,故当xW (1,+如）时，h （x） >0,可得11 -x2h （x） <0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（ 原解在处理第（II）时非常难想到,-s , 0现利用洛必达法则处理如下:2xln x另解：（II）由题设可得，当 x0,x=1时，k<2-+1恒成立。1 一 x2x ln x令 g (x)=2- 1(x 0, x =1)，则 g x )=21 -x2. .2.x 1 ln x - x 12 21-x2再 令 h(x ) = (x2+1 )n xx2+1 ( x>0,x#1 )则 hx= 21.1 一 h (x )=2ln x +1,易知 h (x)= 2ln x+1 -在(0,收)±为增函数，且h"（1）=0；故当xW(0,1)时，h"(x)<0,当 x£ (1, +8)时，h”(x)A0；二h'（x ）在（0,1）上为减函数，在（1,2 廿为增函数;故 h x > h 1 =0二h（x ）在（0,收）上为增函数,* h（1）=0二当 xW(0,1)时，h(x )<0,当 xW (1, +°0)时,，当 xW(0,1)时，g'(x)<0,当 x (1, +8)时,二g （x游（0,1 ）上为减函数，在（1, ）上为增