平面的投影及平面上的点

1、 例题 求一点A到水平线BC的距离dd2yyAD例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。ffcb 例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCc 平面的投影平面的投影 三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线 四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置五、平面与平面的相对位置五、平面与平面的相对位置一、平面的表示法一、平面的表示法 一个平面的空间位置可以由下列任一一个平面的空间位置可以由下列任一组几何元素来确定组几何元素来确定: :不在同一直线上的三个点；不在同一直线上的三个点；一直线和直线外的一个点；一直线和直线外的

2、一个点；相交两直线；相交两直线；平行两直线；平行两直线；任意平面图形。任意平面图形。 平面的投影可以由其中一组几何元素的投影平面的投影可以由其中一组几何元素的投影来表示。来表示。 aabbccx一一直直线线和和直直线线外外的的一一个个点点x aabbcc相相交交两两直直线线 aabbccx平平行行两两直直线线c aabbcx任任意意平平面面图图形形 用各组几何元用各组几何元素所表示的同一素所表示的同一平面的投影图。平面的投影图。x aabbcc不不在在同同一一直直线线上上的的三三点点 ABCABCP P面面投影积聚为一直线投影积聚为一直线 abcabc ABCABCP P面面投影反映实形投影反

3、映实形 abcabcABCABC ABCABC倾斜于倾斜于P P面面投影为小于原平面的投影为小于原平面的类似形类似形 abcabcABCABC平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcadabccabbaABC一般位置面 与三个投影面都处于倾斜位置的平面。与三个投影面都处于倾斜位置的平面。一般位置平面一般位置平面三个投影都是小于原平面的类似形。三个投影都是小于原平面的类似形。abb”XZYHOass”a”bsYw一一般般位位置置平平面面 铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面正垂面正垂面-仅仅VV面的平面面的平面侧垂

4、面侧垂面-仅仅WW面的平面面的平面1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于垂直于一个投影面而对另外两个投影一个投影面而对另外两个投影面面倾斜倾斜的平面。的平面。各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面水平投影水平投影p p积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映 、 角。角。正面投影正面投影pp和侧面投影和侧面投影p”p”都是小于原平面的类似都是小于原平面的类似形。形。ppp”XZYWYHO铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面正垂面正垂面-仅仅VV面的平面面的平面正面投影正面投影pp积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映 、 角

5、。角。水平投影水平投影p p和侧面投影和侧面投影p”p”都是小于原平面的类似形。都是小于原平面的类似形。 pqp”XZYWYHOqq”qQqq侧垂面侧垂面-仅仅WW面的平面面的平面A.A.侧面投影侧面投影rr 积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映 、 角。角。B.B.水平投影水平投影r r 和正面投影和正面投影rr 都是小于原平面的类似形。都是小于原平面的类似形。 pr”XZYWYHOrr rRrrYHYWYHYWH投影面垂直面的投影特性 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：（1 1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，它与投影轴的

6、夹角反映平面对另外两个投影面的它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的倾角。倾角。（2 2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面）在另外两个投影面上的投影是小于原平面的类似形。的类似形。Xabcba分析：分析：铅垂面的水平投影为铅垂面的水平投影为斜交于斜交于X X轴的直线，有积聚轴的直线，有积聚性。性。 本题铅垂面用三角形表示。本题铅垂面用三角形表示。c例例1 1 含直线含直线AB (ab, ab) AB (ab, ab) 作铅垂作铅垂面面 ( (用平面图形表示用平面图形表示) )。2. 2. 投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面的平面。平行于某一投影面的平面。 / H / H面的平面

7、面的平面-水平面水平面 / V/ V面的平面面的平面-正平面正平面/ W/ W面的平面面的平面 侧平面侧平面水平面水平面-/ H/ H面的平面面的平面Zppp”XYHOYW水平投影水平投影p p反映平面反映平面P P的实形；的实形；正面投影正面投影pp和侧面投影和侧面投影p”p”都积聚为直都积聚为直线，分别线，分别OXOX轴和轴和OYOYWW轴。轴。正平面正平面-/ V-/ V面的平面面的平面YWqqq”XZYHO正面投影正面投影qq反映平面反映平面P P的实形；的实形；水平投影水平投影q q和侧面投影和侧面投影q”q”都积聚为直线，都积聚为直线，分别分别OXOX轴和轴和OZOZ轴。轴。qQq

8、q侧平面侧平面-/ W/ W面的平面面的平面RrrHVWZrrr”XYHOYW侧面投影侧面投影rr反映平面反映平面R R的实形；的实形；水平面投影水平面投影r r和正面投影和正面投影rr 都积聚为直都积聚为直线，分别线，分别OYOYHH轴和轴和OZOZ轴。轴。r投影面平行面的投影特性 投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：（1 1）在所平行的投影面上的投影反映实形。）在所平行的投影面上的投影反映实形。（2 2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，平行于相应的投影轴。平行于相应的投影轴。aXabccb例例3 3 含点含点A A作作ABC/ VA

9、BC/ V面。面。 分分 析析: : 正平面的水平投影正平面的水平投影积聚为直线并积聚为直线并OXOX轴，正轴，正面投影反映实形。面投影反映实形。 作法：作法：作作abc / OXabc / OX轴。轴。 作作abcabcABCABC。OOOOX X圆平面为水平面圆平面为水平面（1 1）当圆）当圆投影面时，圆在该投影面时，圆在该投影面上的投影反映实形投影面上的投影反映实形-圆圆, ,另外两投影积聚为另外两投影积聚为直线直线, ,长度等长度等于圆的直径。于圆的直径。4. 4. 圆的投影特性圆的投影特性（2 2）当圆当圆投影面时，它在该投影面时，它在该面的投影积聚为面的投影积聚为倾斜于倾斜于投影轴

10、的投影轴的直线直线，长度等于圆的直径。另外，长度等于圆的直径。另外两个投影为两个投影为椭圆椭圆。O OOOX X圆平面为正垂面圆平面为正垂面（3 3）当圆）当圆倾斜于倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似投影面时，它的投影为圆的类似形形- - 椭圆椭圆。圆的投影的作图方法圆的投影的作图方法1 1）当圆）当圆投影面时投影面时OOOOX X圆平面为正平面圆平面为正平面反映圆的实形反映圆的实形长度长度= =圆的直径圆的直径 投影椭圆的长、短轴是圆内一对投影椭圆的长、短轴是圆内一对 相互垂直的直径相互垂直的直径的投影。的投影。（1 1）正垂圆的投影）正垂圆的投影椭圆椭圆 长轴长轴: : 正垂直径正垂直径A

11、BAB的投影的投影 ab=ABab=AB 短轴短轴: : 正平直径正平直径DEDE的投影的投影de=DEcosde=DEcos 2 2）当圆）当圆投影面时投影面时长轴和短轴长轴和短轴正垂直径正垂直径ABAB正平直径正平直径DEDEO OO”O”正垂圆的投影作图正垂圆的投影作图OOX Xa(b)a(b)d de eeedd a”a”b”b”DDd”d”e”e”b ba aDD长轴长轴: : 正垂直径正垂直径ABAB的投影的投影 ab=a”b”=ABab=a”b”=AB短轴短轴: : 正平直径正平直径DEDE的投影的投影 de=DEcos de=DEcos d”e”=DEcos d”e”=DEco

12、s D D铅垂面上圆的投影铅垂面上圆的投影(b)(b)(a)(a)长轴：长轴：铅垂直径铅垂直径CDCD的投影的投影 cd=D cd=D 短轴：短轴：水平直径水平直径ABAB的投影的投影ab=Dcosab=Dcos（2 2）铅垂圆的投影）铅垂圆的投影铅垂直径铅垂直径CDCD水平直径水平直径ABAB短轴：水平直径短轴：水平直径ABAB的投影的投影ab=Dcosa”b”=Dcab=Dcosa”b”=Dcosos长轴：铅垂直径长轴：铅垂直径CDCD的投影的投影 cd=c”d”=Dcd=c”d”=DO OX XOOc(d)c(d) bbaaa ab bccddD DDD铅垂圆的投影作图铅垂圆的投影作图O

13、”O”c”c”d”d”D D b”b”a”a” 垂直面上圆的投影特性：垂直面上圆的投影特性：（1 1）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线段，长度等于圆的直径。段，长度等于圆的直径。（2 2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。4-7 4-7 平面上的点和直线平面上的点和直线1.1.平面上取直线平面上取直线2.2.平面上取点平面上取点

14、3.3.投影面垂直面上的点和直线投影面垂直面上的点和直线一、平面上的直线1. 平面上的直线2. 在平面上作正平线和水平线直线在平面上的几何条件：直线在平面上的几何条件：(1) (1) 通过平面上的两已知点。通过平面上的两已知点。BACPMN直线直线MNMN在平面上在平面上1.1.平面上取直线平面上取直线EFDPNM 结论结论 - - 要在平面上取直线，应先在平面上的已知要在平面上取直线，应先在平面上的已知直线上取点，再过点作直线。直线上取点，再过点作直线。直线直线MNMN在平面在平面P P上上(2) (2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线。直线。b

15、acbXca1122 作法作法1:1: 在平面内的两在平面内的两已知边上各取一点连成已知边上各取一点连成直线。直线。例例5 5 在在ABCABC给定的平面上作一任意直线。给定的平面上作一任意直线。直线直线即为所求。即为所求。 作法作法2:2: 在平面内的一在平面内的一已知边上取一点，再过已知边上取一点，再过点作平面内另一直线的点作平面内另一直线的平行线。平行线。在平面上作正平线和水平线ddeeBACPL L点在平面上的几何条件点在平面上的几何条件: : 点在该平面的一已知直线上。点在该平面的一已知直线上。M 在平面上取点的一般方法：在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作含该点在平面上作辅助直

16、线，然后在所作直线上取点。辅助直线，然后在所作直线上取点。2.2.平面上取点平面上取点直线直线L L在在P P面上，面上，MM点在平面点在平面P P上。上。abccab11dd例例6 6 已知点已知点DD在在ABCABC所决定的平面上，求作所决定的平面上，求作 其正面投影其正面投影dd。作法作法1CABD空间分析空间分析DD点一定在该平面的一条直线上。点一定在该平面的一条直线上。abccab22dd例例7 7 已知点已知点DD在在ABCABC所决定的平面内，求所决定的平面内，求作其正面投影作其正面投影dd。作法作法2CABD空间分析空间分析bbXcaaddc例例8 8 试完成平面四边形试完成平面四边形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。分析分析: : 平面平面ABCDABCD的的对角线一定相交。对角线一定相交。 kkC C点一定在该平面的一条直线上。点一定在该平面的一条直线上。bc”zywyHXOca”(b”)abc121”(