考点3空间向量及其运算(9B)

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点3 空间向量及其运算（9B）2010年高考题1. （2010·全国高考卷理科·11）与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点( ).（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【解析】 选D，设正方体的棱长为，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据两点间距离公式，得方程组，显然时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组解，故这样的点有无穷多个.2. （2010·湖北高考文科·

2、18）如图，在四面体中，且.（）设为的中点，在上且，证明：；（）求二面角的平面角的余弦值.【解析】（）在平面内过点作交于,连接。在等腰中，, 在,在中，。又,为的中点。在中，分别为的中点，。由，知：，又，由知：.（）连接.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点， 。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. .解法二: ()取为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）则, 为的中点，.,又由已知可得,又,.故.即。 ()记平面的法向量为，则由且,得，故可取，又平面的法向量为，二面角的平面角是锐角，记为，则.3.

3、（2010·湖北高考理科·18）如图, 在四面体中，, ,，且.() 设为的中点.证明：在上存在一点,使,并计算的值；() 求二面角的平面角的余弦值. 【解析】方法一:()在平面内过点作交于,连接。,.,.取为的中点，则.在等腰中，, 在,在中，,.()连接P.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点， 。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. 。方法二: () ()取为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）则, 为的中点，.设,且（0，1），,=+=,即，因此存在点,使得.()记平面的

4、法向量为，则由且,得，故可取，又平面的法向量为，二面角的平面角是锐角，记为，则cos=.2009年高考题1.（2009江西高考）如图，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为 ( )A是正三棱锥B直线平面C直线与所成的角是D二面角为 . 【解析】选B.将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.2.（2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_。【解析】设由可得故.yzxO答案:(0,-1，0) . 3.（2009北京高考）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证

5、：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.4.（2009全国）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面B1BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小【解析】（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，

6、建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故 =°，求得 于是 ，°所以与平面所成的角为30°5.（2009江西高考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）

7、求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离【解析】方法一：（1）依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由

8、可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：6.（2009广东高考）zyxE1G1如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.【解析】（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.7.（2009浙江高考）如图，平面

9、平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离【解析】（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，. 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，）得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为. A A1 B B1 C1 D1 C D 8.(2009山东高

10、考) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 【解析】（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAO=ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,

11、0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 2008年高考题1.（2008全国）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD【解析】选B.本题主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接法求点到平面的距离，求出直线与平面的夹角）同时还考查了三余弦公式。，再由（为点在底面

12、内的射影），.2.（2008江苏高考）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围【解析】由题设可知，以、为单位正交基底，ADxyz建立如图所示的空间直角坐标系，则有,BC由，得，所以显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于即 ，得因此，的取值范围是.3.（2008海南、宁夏高考）如图，已知点P在正方体的对角线上，（）求DP与所成角的大小；ABCDPxyzH（）求DP与平面所成角的大小【解析】如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由,可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得与平面所成的

13、角为4.（2008浙江高考）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？【解析】如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（）因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为5.（2008辽宁高考）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF，截面PQGHABCDEFPQHG（）证明：平面

14、PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值【解析】以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 （）因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值（）由已知得与

15、成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为2007年高考题ADBV1.（2007湖北高考）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，C且AC=BC=a，VDC=。（）求证：平面VAB平面VCD ；（）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；【解析】方法一：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直ADBCVxyz角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为方法二：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图

16、所示的空间直角坐标系，则设ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，设是平面的一个非零法向量，则取，得可取，又，于是，关于递增，又即直线与平面所成角的取值范围为2、（2007海南宁夏高考）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）以为坐标原点，射线，分别为轴、轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为BCDAE3.（2007山东高考）如图，在直四棱柱中，已知，（）设是的中点，求证：平面；（）求二