第六章_连续损伤力学

1、第六章第六章 连续损伤力学连续损伤力学 第一节 弹脆性损伤理论 第二节 粘脆性(蠕变)损伤理论 第三节 弹塑性损伤理论 第四节 疲劳损伤理论第一节第一节 弹脆性损伤理论弹脆性损伤理论 1）弹性各向同性损伤模型 对于等温和线弹性情况下的弹性各向同性损伤材料，由于塑性变形很小、温度梯度为零，因此耗散不等式变为： 其中损伤扩展力R的含义是表征材料提供产生新的弹脆性损伤的能力，数量上等于损伤扩展所耗散的能量密度。因此， R也可称为损伤能量释放率密度。 弹性损伤下，Helmholtz自由能密度函数可表示为0R1,1:2efW （1） 式中，是各向同性标量损伤变量；是二阶应变张量；E是四阶弹性系数张量。

2、由应力等效性假设有： 式中是二阶应变张量。 由正则关系得： 当外载不变时，由（1）和（2）式得： 则有： （2） （3） （4） 1:1:2fR :2edWdRdConstant12edWRd（5） 在单向应力下，损伤扩展力为： 式中 是单向拉伸有效应力。 在多向应力下，损伤扩展力为： 其中三向因子Tr 对单轴拉伸情况， ，则有Tr=1。2222221REE2222221eqeqTrTrREE2213 123eqTrvv,/3eq 2）准单侧效应 在一些实际固体材料中，损伤被看作是各向同性的，为简单起见，常用一个标量（损伤度或连续性）表示。 但在受拉和受压时，其力学响应有很大差别。如水泥和某些

3、岩石，其拉压的准静态断裂不同；不少材料的疲劳损伤与平均应力水平有关，及在较大损伤时材料拉和压引起的刚度退化显著不同。这些现象产生的一个重要原因是材料中微缺陷因压缩而闭合的效应。 常引进闭合系数h表征上述微缺陷的闭合效应： （a）h=1，表示双侧效应，即拉压的损伤效应相同，如不发生闭合的球形微空洞。 （b）h=0，表示纯单侧效应，即压缩不引起材料损伤增加； （c）0h1，在同样水平的拉或压下其损伤效应不同，称为准单侧效应。 为表示准单侧效应，在有效应力 与名义应力的关系中引进闭合系数。在一维情况下写为：11h当0 时当0当 th时当 th时 说明初始无损材料在应变达到其损伤阈值th前，材料保持无

4、损状态；在应变超过th后，损伤是状态的函数，其具体形式由实验分析结果加以构造。 定义破坏准则为：当=f 时， =C或=C。说明当单元所受应变达到断裂应变f 时，连续性达到其临界值C ，或损伤度达到其临界值C ，单元破坏（图1）。 应当指出，损伤阈值th ，断裂应变值f以及相应的损伤度临界值C （或连续性临界值C ）都是材料参数，可以由材料试验决定。 实际上，也可用损伤扩展力R达到临界值Rc，表征单元破坏，即有损伤扩展力破坏准则： R = Rc 式中，临界值Rc可称为破坏韧度，反映材料抗损伤破坏的能力或损伤耗散的能量密度；它是材料参数，也由实验确定。 损伤准则和破坏准则，也可推广到三维的情况。

5、4）损伤演化方程 （1）Kachanov方程 Kachnov于1958年在研究最简单的单轴拉伸脆性损伤破坏时，提出以下损伤演变方程： 式中，材料参数A0和n1。上式右边括号中表示的实际上是有效应力 。可见，损伤扩展是受有效应力控制的，负号表示材料的连续性标量是逐步减少的，反映损伤度的逐步加大。 th是由应力表示的损伤值，即说明：当 th时，=1且d=0；当当 th时，1且d 0。（6） () ()nthA Kachanov方程（6）等价于下列用损伤度表示脆性损伤演变过程： （a）恒载荷情况 对于均匀拉伸杆受恒载荷，由于脆性材料的变形很小，因则恒载荷意味着恒应力，设 =0 。积分式（6），利用初

6、始条件：t=0时，=1，有： 得到-t关系： 或（7） 010tnndAd 11011nnnAt11011nntnA（8） ()1nA 利用断裂条件： t=tf时，=0时，可由上式求得恒载荷下拉伸杆的脆断时间： 可见，对于给定材料，脆断时间tf取决于恒应力0的大小。 将式(9)进行整理，代入式(8)，得到用表示的关系： 采用破坏准则=C ，损伤失稳发展而造成材料破坏(可理解为宏观裂纹的形成)，其局部破坏时间为：1(1)nftt（9） 111nftt或（10） （11） 1(1)nfotnA1(1)nccftt （b）连续变化载荷情况 设均匀拉伸杆受连续载荷，应力是时间的函数，即 =（t） 。K

7、achanov方程写为： 利用式（9）的结果，设想脆断时间是应力的连续函数，即： 代入上述演化方程中得： 积分并利用初始条件，得：1(1)( )nfntt 11nfttnAt（12） 110(1)( )tnfndtt dt ( )ntA 于是得到-t关系： 利用破坏条件：t=t*f时，=0时得到： 可见，损伤演变方程与线性叠加原理是等价的；连续变化拉伸载荷下均匀杆的脆性破坏符合线性叠加原理。 （c）多级恒载荷情况 设均匀杆受多级恒拉伸应力 ，每级载荷的作用时间 ，由式（10），有： 11101ntfdt 01ftfdt（12） 1,2,kks1kkkttt 式中， 是相应于恒应力 的脆断时间，

8、由式（9）决定。对上式求和，并考虑初始条件（ t=0时，=1）和破坏条件（ t=t*f时，s=0），则有： 多级载荷下的断裂时间为： （2）非均匀损伤场 如果弹性固体受应力场是均匀的，如等截面的受拉杆，其损伤从理论上说也是均匀的。加载过程中，损伤场将均匀增强，直到发生瞬时破坏。 1111nnkkkkkkfftttt kftk 11skkkftt1sfkktt 然而，一般受载弹性固体的应力场是非均匀的，因而造成的损伤是局部的或非均匀的；损伤场的变化也是非均匀的，固体的损伤和断裂是一全过程。 损伤-断裂全过程通常可分为两阶段：第1阶段是损伤的起始、损伤场的形成与发展，直到断裂起始；第2阶段是断裂发

9、展过程直到固体（结构）完全破坏。对固体的破坏而言，前一阶段称为断裂潜伏阶段，后一阶段称为断裂发展阶段。下面主要讨论第1阶段的损伤发生和损伤场的发展，直到断裂起始。 设应力是位置r和时间t的函数，即：, r t 产生的各向同性损伤也是r和t的函数，即： 因此，损伤场对时间的变化率为： 对于均匀损伤场，与r无关，即： 研究断裂潜伏阶段，应力场变化较小而加以忽略，即设 =（r） ，则依据Kachanov方程，并利用初始条件： t=0时，=1 ，可积分得到： 且因与 无关，有：, r t, r t或ddrdttrt0r110( )(1(1)( )tnnrnAr d 或 可见，连续性场随时间而减弱，而损

10、伤度场则随时间增强。 设在 处， ，则此处连续性取最小值而损伤度取最大值。在 处，断裂起始条件为t=tf，（ri）=0 或（ri）=1 ，或。将此条件代入上式，得脆性断裂起始时间： 应当指出，在断裂潜伏阶段（ ）， 或 。 1111nnrnAr t 11111nnrnAr t irr maxirirr1max1nfitnA0fitt 0r 1r 例1 等矩形截面梁受纯弯曲（小变形情况） 设断裂潜伏阶段，应力场不随时间变化，即： 式中，M是弯矩；m是材料参数；I0是截面惯性矩。 设拉伸区（y0）在受载后发生损伤；而压缩区（y0）不发生损伤。损伤演变方程为： 100mMyyyI 得到： 注意到，在

11、y=h0处， =max ，有 =min 。当min（h0）=0时，在y=h0处发生断裂。因此，由上式可以导出断裂起始时间： 例2 等矩形截面梁受一般弯曲 设弯矩M=M（x），x是沿梁长度方向的坐标，有应力场：0nn mnnMAytI 11011nnn mnMnAytI1001n mnfinMtnAhI 积分损伤演变主程，可得： 设在x= x*处，有M=M（x*）=M max ，则可求得梁的断裂起始时间： 10,mM xx yyI 110, ,11nnn mnx y tMxnAytI1001n mnfinMxtnAhI （3）应变表示的损伤演变 某些情况下，材料损伤并不直接与时间相关，而仅是应变

12、状态的函数。Lemaitre等建议用下列简单的损伤演变方程： 式中， 0和n1是材料参数； th是用应变表示的损伤阈值，也是材料参数。 积分上式，并用初始条件： =0，=1，有-关系： 或：10/0ndd 当th时和d 0当 th时和d 01101011nn 110101nn 再利用断裂条件： =f时， =0 ，可以求得断裂应变： 再代入上式可得到关系的另一形式：111nf 1111001nfn第二节第二节 粘脆性粘脆性(蠕变蠕变)损伤理论损伤理论 1）粘性蠕变断裂 (a) 蠕变现象 * 蠕 变：粘弹性或粘塑性固体材料在恒应力作用下，其应变随时间逐渐增加的现象。 * 应力松驰：在恒应变作用下，

13、其应力随时间缓慢降低的现象。 金属材料在恒定单轴拉伸应力下的典型蠕变曲线由OACDEF表示，常可分为3阶段： * 第1阶段是减速蠕变（CD段），应变率随时间连续降低。 * 第2阶段是稳定蠕变（DE段），应变率近似常数，应变随时间线性增大。 * 第3阶段是加速蠕变（EF段），应变率随时间迅速加大，最后发生材料破坏。 实际上，材料在不同的应力水平或不同的温度环境下，可能处于不同蠕变阶段，具有不同的蠕变机制和微结构变化。 材料在蠕变时往往伴随着微结构变化或缺陷的产生与扩展而构成损伤。在低应力下，材料变形很小，损伤归因于微裂纹的产生、扩散与聚合，最后造成脆性断裂，属长期蠕变断裂。在高应力下，材料有大量

14、晶格滑移而造成粘性损伤，特别使第3阶段蠕变加速，是一种短期蠕变断裂。 （b）稳定蠕变理论 稳定蠕变理论忽略第1阶段蠕变，也不反映第3阶段蠕变。设粘性应变率仅受拉伸应力控制，即： 具体可采用Norton幂律形式 式中， 是粘性应变对时间的导数；B1和m是材料参数。 * 恒载荷情况 研究简单的受拉等截面杆，长度l=l(t)和面积S= S(t) 。在恒定载荷下，应力=(t) 。设初始值：l0 = l(0) ， S0=S(0)和0=(0) 。在材料体积不变假设下，有： f1mB（1） （2） 000SllS（3） 式中，是反映杆尺寸变化的无量纲量。 对于有限变形，定义粘性应变: 则： 将（5）代入No

15、rton方程（2）中有： 考虑到初始条件：t=0时，=1，上式的解为： 或：（5） （4） （6） （7） 01/1n l ln1 11mB 110mdxtxBx101mmtmB 令初始应变率 则式（7）可写为 再利用断裂条件： 时，时，由上式可求得恒载荷下的粘性断裂时间： 或： 而且可导出-t关系： 于是有： （8） （9） （10） （11） 100mB01mtmftt110mftmB11mftt101mft t10()ftm * 恒应变情况： =常数 或 式中弹性应变率： 粘性应变率： 于是上式变为： 利用初始条件：t=0时、 ，积分上式可得：c0c1cE1mB110mEB 0t 1 1

16、11011mtmm B Et0 * 恒加载速率情况： =常数 显然有： 和 代入Norton方程有： l0lltl11mBl（c）强化蠕变理论 强化蠕变理论认为，材料的粘性应变率不仅受应力控制而且与粘性有关，可表示为： 式中，函数f1和f2分别表示应力和粘性应变对 的作用，它们一般都是增函数。将式（3）和（5）代入式（12），得到微分方程： 积分此方程并利用t=0，=1得： 根据粘性断裂条件 ，得： 12ff 1012ff 2110fxtdxxfx 2110ffxtdxxfxftt（12） （d）其他蠕变理论 * 粘性-弹性耦合的蠕变微分方程： * 粘性-塑性耦合的蠕变微分方程 ： 在以上两式

17、中，弹性应变率： 塑性应变率： 粘性应变率： 将各项代入到粘塑耦合的微分方程中得： 解此方程得： 粘性断裂时间为： 1c 1p 1cE pg 1mB01fg00101xg xtdxxf x00101cxg xtdxxf x2）粘脆性断裂时间 基于Kachanov损伤演变方程和Norton稳定蠕变方程求粘脆性断裂时间。 （a）恒载荷情况 将（11）式代入演化方程中得： 考虑到初始条件（ t=0，=1），上式的解为： 利用断裂条件 ，=0 ，得到粘脆性断裂时间：01nn mnfAt t 111111nn mffftmtmn ttftt11m m nfffftmnttmt（13） 如果m=n，则演化

18、方程和粘脆性断裂时间变为： （b）恒应变情况 演化方程和粘脆性断裂时间为： tf实际上是恒应力0作用下的纯脆性断裂时间。 101nftAt 1nfftte 0ntA 100( )(1)ftnnft dtnAt1(1)nfotnA （c）恒加载情况 演化方程： 积分并利用初始和断裂条件可得：0110fn mntn mBdldtA0011n m nm nflt/1n mnABl （d）粘脆性断裂的界限 * 上 界 粘脆性断裂时间 考虑了损伤的影响，应该小于纯粘性断裂时间 ，即： 将两者的表达式代入可得： 粘脆性断裂时间 纯粘性断裂时间 纯脆性断裂时间 即 是粘脆性断裂的上界。当应力 时，单轴拉伸杆

19、将发生纯粘性断裂。 110mftmB11m m nfffftmnttmtftftfftt1(1)nfotnA101m nmn000 * 下界 联立纯脆性断裂时间和粘脆性断裂时间可得： 此方程的解为： 则 应是粘脆性断裂的下界。当应力0 时，单轴拉伸杆将发生纯脆性断裂。 总之，在实用上可把恒应力0下蠕变断裂大致分为3种情形： 1(1)nfotnA11m m nfffftmnttmt00111mm nm nm nmnmn 0000 （1）纯粘性断裂，其条件是0 （2）粘脆性断裂，其界限是 （3）纯脆性断裂，其条件为 一般而言，在高应力下拉伸杆发生纯粘性断裂；在低应力下杆将发生纯脆性断裂；而在一定范

20、围的中等应力杆会发生粘脆性断裂。 000000 （e）第一阶段的影响 在计算有限变形下粘脆性断裂时间问题时，Odqvist提出要考虑第1阶段蠕变的影响，即将下列附加幂律应变0叠加到累积的粘性应变上： 式中B0 1和m0 1是材料参数；实验表明mm0 。于是，有： 将 （3）和（5）式代入得： 考虑到初始粘性应变率 和初始附加应变 后得：000mB001mmdBBdt0010010mmmmdBBdt 010mB00000mB 或： 考虑到边界条件后得： 式中 是未给修正的纯粘性断裂时间。 代入到演化方程，积分并利用断裂条件后得： 01000mmddt 01110000mmmm 11fftt 01

21、0mmmmft00011n m mffmmmttnmnmm 3）脆性损伤对蠕变的影响 （a）简单模型：考虑损伤对蠕变本构方程的作用，较简单的方法是在Norton方程中用有效应力 代替名义应力，即将稳定蠕变微分方程写为： 利用Kachanov方程导出的关系式 ，后得： 积分并利用初始条件（ t=0， ）后得：11mnmBB111nftt1/11mmnfBtt00 1/11111m nnfffnttnm mtt 式中， 是纯脆性断裂时间， 是纯粘性断裂时间。 （b）Rabtonov模型 Rabotnov提出一个较为一般的模型，以分析损伤对蠕变的作用。 上式中，A，B1，n，m，r和q都是材料参数，

22、且r n， q m。 对该演化方程积分得：ftftnrA 1mqB111rftt101nftrA 将上式代入蠕变方程中， 积分得： （c）有限变形情况 对有限变形，其应变和应力分别为： 代入到Rabtonov模型中得：1/11mqrfBtt 111111r qrfffq ttr mtt 0lnln 0exp0expnnrAn 10expmqBm 联立两式得： 积分上式，并利用初始和断裂条件得： 再代入到蠕变方程中得：10expm nr qBdmndA 1/1exp11exp1r qfmnmn 1111ln 11r qmn 1101m nmn BrqA111ln 1fmn1exp1mn /10e

23、xp11expexp1q smfmnBmmn1srq 积分并利用初始和断裂条件后得：/0exp11expexp1q sfmntmtfmdmn/0exp11expexp1q sffmntmtfmdmn第三节第三节 弹塑性损伤理论弹塑性损伤理论 若不考虑热耗散，则耗散不等式变为： 对 有：0pP p R pepppT （， ， ， ， ）ppP R 1）幂硬化材料的损伤 设幂硬化材料的硬化和损伤都是各向同性的，分别用标量p和表示，它们的对偶变量P和R也是标量。p是累积塑性应变，设: 于是相应的累积塑性应变为： 根据实验分析，这种弹塑性材料损伤过程中的耗散势表示为 ： 并由塑性耗散p和损伤耗散d两部

24、分构成，即设：1 223ppijijp 1 2023tppijijpdt , , ; ,P R p eqpYP 为类似于Von Mises准则的硬化函数。这里的y是材料的屈服应力。而损伤耗散势设为： 式中0 和0是材料参数。 根据上面的公式有： 对幂硬化材料，在复杂应力状态下，取Ramberg-Osgood律 ： 式中k 1和m1是材料参数。再考虑到损伤扩展力R的表达式 ，则可导出用累积塑性应变表示的演变方程：0202dR p0000RRp 111eqmk p222eqTrRE （p pth ） 利用损伤阈值条件：p pth ，=1 ，在比例加载的条件下积分上式可得： 一些实验表明， 0 =0

25、，因此，由上式得到比例加载下的关系： 若设破坏条件为p= pc ，=c ，则：1022102mk TrppE 10221102thpmpk TrdpdpE 2 /11112 /111012 2mmmmthmk TrppmE2 /11112 /111012 2mmmmcthmk TrppmE 2）全塑性材料的损伤 在金属成型过程中，损伤往往与大变形相联系。在大变形下，微观尺度的空洞将发生、发展和聚集，构成延伸损伤区，它受微应力集中的塑性变形控制。 在大变形情况下，材料被近似看作是全塑性的。依据Von Mises屈服准则： 取硬化增量P=0，有 代入损伤演化方程可得： 取0 =0 ，还由于y、E和

26、0都是材料参数，可合并为一个新材料参数 。因此，上式可改写为形式更简单的全塑性损伤演变方程：0eqpYP eqY0202YTrpE 210/ 2YME （p pth ） 积分并利用损伤阈值条件得： 在比例加载下，可得： 在利用破坏条件： p= pf ，=c ，可得： 于是有： 在一维情况下，有：1M Trp 11thppMTrdp 11thM Tr pp 11cthM Tr pp 11cthfthpppp pthcfth 这里，th 是单轴拉伸下用应变表示的损伤阈值； f是单轴拉伸断裂应变值。 第四节第四节 疲劳损伤理论疲劳损伤理论 疲劳是在循环载荷下，材料局部发生损伤的累积过程，即材料发生永

27、久局部微结构变化的过程。疲劳破坏的特点有：（a）是在交变的循环应力或循环应变作用下发生的损伤破坏。（b）是一个损伤累积过程。通常认为，这个累积过程包括微裂纹的生成与扩展、宏裂纹的形成与扩展、最后导致材料的断裂破坏。（c）疲劳破坏常带有局部性。微裂纹群的发展、聚集和宏裂纹的形成，造成疲劳损伤的非均匀性与局部性。 1）疲劳与疲劳累积理论 （1）疲劳的力学参量 作为疲劳力学参量的循环载荷可以用应力或应变表示。下面以单轴疲劳为例加以说明。 用应力表示的参量有最大应力max 、最小应力min 、平均应力 ，应力幅a和应力循环特性r等5个，它们之间存在如下关系： 在5个参量中仅有2个是独立的。应力循环特性

28、有如下几种特殊情况： maxmin2maxmin2minmaxr （a）静应力 （b）对称循环应力 （c）非对称循环应力 （d）脉动循环应力 疲劳也可用应变表示的参量有最大应变max 、最小应变min 、 平均应变 ，应变幅a和应变循环特性r等5个参量表示。maxmin1rmaxmin 1r maxmin11r min0max/20r（2）疲劳的分类 （a）无限寿命疲劳和有限寿命疲劳 * 疲劳极限或疲劳强度r：加载无限次循环而不破坏的最大应力。下标r表示循环特性。如-1表示在对称循环应力作用下的材料疲劳极限。 （b）高周疲劳和低周疲劳 在循环载荷较低时，材料的疲劳寿命Nf很长，破坏循环达到很高

29、的周次，称为高周疲劳。 在这种情况下，由于循环应力较低，疲劳力学参量用应力表示，也称应力疲劳。 当循环应力（或应变）超过材料的屈服极限，材料的疲劳寿命较短，即材料破坏只经受了较短的循环周次（一般Nf 104105次），常称为低周疲劳。 在这种情况下，由于局部应力超过屈服极限，需要用应变作为循环载荷参量，故也称应变疲劳。 （c）疲劳累积理论 对于多级应力水平或非稳定疲劳问题，需要疲劳累积理论。 Palmgren-Miner线性累积疲劳损伤理论的基本思想是将各级交变应力造成的疲劳损伤线性叠加起来。 设不同循环应力幅 各作用了 次循环，则每种应力幅造成的疲劳损伤度增量为： 式中， 为在恒循环应力幅

30、作用下材料的疲劳寿命。因此，线性累积理论认为，多级应力循环作用下材料疲劳破坏的条件为： 若应力幅 是连续变化的，则线性累积损伤理论写成积分形式：1,2,kkkNkkkfNN1kkkkkfNN01NfdNNkfNk（1） 式中，Nf疲劳寿命是应力幅a的函数；N*是在连续变化应力幅作用下材料的寿命。 相应于式（1），可设疲劳损伤度： （01） 则有： 这是简单的疲劳损伤演变方程。显然，这个损伤演变方程与线性累积损伤理论是等价的。 在一般情况下，疲劳损伤演变方程的形式为： 即损伤变化率是载荷和损伤变量等的函数。例如，设恒应力幅a作用下的单轴疲劳损伤演变方程为： （2）（4）（3）0NfdNN1fdd

31、NN,dfdN 或或1kkdggdN（5） 式中，g和k是材料参数。积分此式，利用初始条件(N=0时，=0)和破坏条件( N= Nf时，=1)，很容易导出损伤度随循环周次N变化的关系： 将(6)式代入(5)中得: 积分此式，在连续载荷情况下，并考虑初始条件和破坏条件（ N= N*时，=1 ），则有: 即: 可见疲劳损伤演变方程式（5）也是与线性累积损伤理论等价的。1111kfNN 11kfNg k（6）（7）11 1kfddNkN11keN g k1001 1kNfdNkdN01NfdNN 但不少实验证明，许多材料的参数k与循环应力幅a相关，即k = k (a) 。相应地，式（6）应写为: 可

32、见，当参数k与a无关，损伤演变方程式（8）符合线性累积损伤理论(图a)；当参数k与a相关(图b) ，则容易由图推出:（8）1 111kfNN 1kkkfNN说明属于非线性累积。 对两级循环加载的疲劳问题，即k=1，2，且a1 a2 ，其N/Nf关系如下图所示。若先加a1 ，循环周次N1；再加a2 ，循环周次N2时断裂。若已知a1 和a2下的疲劳寿命分别为N1f和N2f，则可得到: 若改变加载次序：先加a2 ，相应周次N2 ；再加a1 ，相应周次N1 ，而断裂得到的累积结果为: 说明若参数k与a相关，则累积的结果与加载次序有关。 211kkkfNN211kkkfNN 2）高周疲劳损伤模型 （1）

33、基于微塑性分析的模型 对于高周疲劳，通常循环应力的最大值低于屈服极限（但高于疲劳极限），材料仍会发生疲劳破坏。这是由于材料某些局部的细观组织发生了塑性变形，即所谓微塑性的不可逆变形。循环应力造成的循环微塑性应变是高周疲劳的主要微观机制。 假定细观结构的应力-应变关系与宏观的关系一致，设晶粒屈服后，其微塑性应力-应变关系仍用幂律表示如下： 式中是 微塑性应变；ka和na是材料参数。 1 npkp（9） Lemaitre认为微塑性损伤演变方程可以有类似于宏塑性损伤演变方程的形式，参照弹塑性损伤公式并用累积微塑性应变率 代替累积宏塑性应变率 ，有： 这里0和0是材料参数。在多维情况下，可设： 这里k

34、、也是材料参数。将此式代入（10），得到微塑性损伤演变方程的具体形式： 式中，Tr是三轴性因子； ，p 00R 001R（10）或11eqeqeqk（11）（12）2221eqeqeqeqTrB202BEk203 在单轴应力情况下， ， ， 以及Tr =1，则由式（12）可得单轴应力下微塑性损伤演变方程： 若循环应力是比例加载，并且 并考虑到一次加载中，损伤变化很小而加以忽略。对式（12）积分得： 从而得到疲劳损伤演化方程：eqeq/3（13）（14）2221Bmax12eqeqmax22021eqddNeqeqTrddB23max23 1eqTrddNB23max23eqTrddNB或 对于

35、稳定的高周疲劳问题，积分上式，并利用初始条件(N=0时，=1)和破坏条件( N=Nf时， =0)，可得: 式中 在1维情况下，对拉伸脉动循环， ， ，疲劳损伤演变方程简化为: 积分此式，利用初始条件与破坏条件，可得式（15），但疲劳寿命表达式应是:（15）（16）（17）2111fNN 21111fNN 或132max213fNBmin0max223max23 1ddNB 代入式（17），单轴疲劳损伤演变方程改为: 对连续变化的载荷，积分上式，取破坏条件N=N*，=1时，有: 得: 疲劳损伤演变方程与线性累积疲劳损伤理论是一致的。 132max213fNB2121 1fdNdN21201 1N

36、fdNdN01NfdNN（18）（19） (2) Choboche模型 Chaboche研究疲劳损伤演变时,考虑到平均应力 的影响，疲劳损伤的演变方程表示为: 式中，f是损伤度的函数；、b是材料参数，0和1分别为脉动循环应力和对称循环应力下的疲劳极限，a是材料的拉伸强度极限。且b与平均应力有关： （a）对 ，这里1也是材料参数，于是疲劳损伤演变方程写为 1dfdNb（20）（21）001bB 11f111ddNb 积分上式，利用初始条件，得到： （b）取 ，这里也是材料参数，疲劳损伤演化方程为： 积分后得：（23）（22）（25）（26）11 111fNN 1011fNb 111f1111dd

37、Nb1 11 111fNN 1011fNb（24） 3）低周疲劳损伤模型 （1）低周疲劳的经典模型 低周疲劳的特点是循环载荷的最大应力max达到甚至超过材料的屈服极限y ；它的疲劳寿命要比高周疲劳的寿命短得多，常低于104105次循环；通常用应变（或塑性应变）作为载荷参量。 根据实验结果，在寿命Nf =104105周的范围内，应变幅与寿命Nf有如下经验关系： 式中，M和c1是材料参数。 更多的实验表明，低周疲劳寿命与塑性应变幅有更直接的关系，即著名的Coffin-Manson低周疲劳经验公式：（27）1MfNc2pfNc 式中，材料参数称为塑性系数。一般情况下，=0.30.8，粗略估算可取=0

38、.5。 (2) 基于弹塑性损伤分析的模型 Lemaitre应用应变等效性假设，用有效等价应力代替等价应力eq，取如下应力-应变关系(幂硬化律): 式中，kc和mc是材料参数。对于脉动循环加载，有 和 ，则上式可写为: 这里，pi是第次循环的累积塑性应变的起始值。 将上面关系式代入损伤扩展力表达式，有:eq1 meqckpeqeqippp 1cmeqcikpp 如令 、 ， 则损伤演变方程改写为： 对一次循环，若是比例加载、不考虑准单侧效应，则Tr是常数；再设一次循环中损伤度变化很小而认为是常数。对式（29）作一次循环积分得：222222cmeqciTrTrRkppEE022202cmeqciT

39、rkpppE 022021cmcikppTrpE （28）（29）202/cEk 2/cm01iTr ppp 得到低周疲劳损伤演化方程： 对于恒累积塑性应变幅（且为比例加载），积分上式，利用初始条件（ N=0时，=0)和破坏条件( N=Nf时， =1) ，有：（30）（31）01iidppdNipTrdppdp0111pdTrdN01111fN N 11011fTrNp（32）（33） 在1维情况下，取 ，Tr=1，疲劳损伤演变方程写为： 疲劳寿命为： 与Coffin-Mansn公式是一致的。 （3）加载频率相关的模型 Lemaitre曾提出一个粘塑性损伤演变方程 ：2pp0121 1pddN

40、110121pfN211A（34）（35）（36） 式中，n、2和A是材料参数。 A+和A-分别表示材料受拉和受压的不同情况。设有以下塑性应变率关系： 这里的m和k为材料参数。 k+和k-分别表示材料受拉和受压情况。将式（37）代入式（36）得： 对一次循环的积分，并分为前、后两部：前者从t到t+t/2；后者从t +t/2到t +t/2，有： 如取 , 则有如下的演化方程：1/1mpk（37）（38）21nn mpkA2/2/21nndttttn mn mdNpptttkkddtdtAAnnkkkRAA 考虑到一次循环中损伤度不变，以及 有： 由于加载频率为： 。于是有： 积分此式，并利用初始和破坏条件得： 整理后得： 与C-M模型一致。（39）2211121112n mkpdtRdN/2ppt 211pn mkpdRdN（40）12ppft2121n mn mkpdRfdN21111fN N 11212n mn mfkpNRf/1221n mm nn mpfkNfR（3）Chaboche模型 将以下塑性应力-应变关系 代入高周疲劳的Chaboche模型的表达式（21），得到考虑平均应力影响的低周疲劳损伤演变方程： 积分此式，并利用初始和破坏条件得： 与C-M模型一致。11/11mpk1111mpkddNb11111fN N 11211mfpNk b4）循环加载下的脆性损伤