第二章函数二次

1、)0(2acbxaxyoxy)0(2acbxaxy)44,2(2abacababx2一般地，如果一般地，如果 cbxaxy2（a，b，c是常数，是常数，0a） 那么，那么，y叫做叫做x的的二次函数二次函数。 从二次函数的解析式可知二次函数的自从二次函数的解析式可知二次函数的自变量变量x的取值范围是全体实数。的取值范围是全体实数。 xyo1123423-1-2-1-2122xxy2 2、在连线时，在起始点和结束点还要沿、在连线时，在起始点和结束点还要沿函数图象的趋势向外延长一部分。函数图象的趋势向外延长一部分。1 1、取值列表时，自变量、取值列表时，自变量X的取值间隔要一致；的取值间隔要一致；例

2、例 1 1已知二次函数已知二次函数122xxy，试在，试在平面直角坐标系画出它的函数图象。平面直角坐标系画出它的函数图象。 x-10123y=x2-2x-12-1 -2 -1 2小结小结由此可知画二次函数图象的一般步骤是：由此可知画二次函数图象的一般步骤是：1、取值列表；、取值列表；2、描点连线。、描点连线。在此过程中需要注意的有：在此过程中需要注意的有：1、自变量取值间隔要一致，通常取、自变量取值间隔要一致，通常取5或或7个值；个值；2、在起始点和终点函数图象还要沿着函数图象、在起始点和终点函数图象还要沿着函数图象的趋势延长一部分；的趋势延长一部分；3、函数图象要能够反映出函数的整体变化情况

3、。、函数图象要能够反映出函数的整体变化情况。演 示 二次函数都是轴对称图形，二次函数都是轴对称图形，图中直线图中直线a 是函数图象的是函数图象的对称对称轴轴。 如右图是某二次函数的图象，如右图是某二次函数的图象，由于二次函数的图象形状象抛出由于二次函数的图象形状象抛出物体的运动轨迹，所以二次函数物体的运动轨迹，所以二次函数图象又叫做图象又叫做抛物线抛物线。 对称轴与抛物线的交点叫对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的做抛物线的顶点顶点，如图中的点，如图中的点M。xyoaM演 示二次函数二次函数)0(2aaxy的性质。的性质。 通过演示可知，对于二次函数通过演示可知，对于二次函数 2axy 的对称轴是

4、的对称轴是y轴，顶点是原点，轴，顶点是原点， 当当0a时，抛物线时，抛物线2axy 的开口向上，的开口向上， 当当0a时，抛物线时，抛物线2axy 的开口向下，的开口向下， |a的值越大，开口越小，反之越大。的值越大，开口越小，反之越大。 xyo一一般般地地，抛抛物物线线 khxay2)( 与与2axy 的的形形状状相相同同。抛抛 物物线线khxay2)(有有如如 下下的的特特点点： 0a时时，开开口口向向上上， 0a时时，开开口口向向下下； 对对称称轴轴是是直直线线hx ； 顶顶点点坐坐标标是是)(kh，。 xyox=h（h，k）二次函数二次函数khxay2)(的性质。的性质。 演 示对于标

5、准形式对于标准形式 cbxaxy2（0a） 通过配方改写成为：通过配方改写成为： abacabxay44222 因此，因此， 抛物线抛物线cbxaxy2 的对称轴是直线的对称轴是直线abx2， 顶点坐标顶点坐标abacab4422，。 )0(2acbxaxy)44,2(2abacababx2xyo已知二次函数已知二次函数3422xxy， 试确定， 试确定的它开口方向、对称轴和顶点坐标。的它开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：解：02 a 函数图象开口向上函数图象开口向上 3422xxy 1) 1(22xy 函数图象的对称轴是直线函数图象的对称轴是直线1x， 顶点坐标是（顶点坐标是（1，1） 。）

6、 。 oxy)44,2(2abacababx2抛物线抛物线cbxaxy2（0a） ，） ， 0a时，开口向上，结合图象可知：时，开口向上，结合图象可知： 当当abx2时，时，y随着随着x的增大而减小；的增大而减小； 当当abx2时，时，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大； 当当abx2时，函数有最小值时，函数有最小值abac442。 抛物线抛物线cbxaxy2（0a） ，） ， 0a时，开口向下，结合图象可知：时，开口向下，结合图象可知： 当当abx2时，时，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大； 当当abx2时，时，y随着随着x的增大而减小；的增大而减小； 当当abx2时，函数有最大值

7、时，函数有最大值abac442。 oxy)44,2(2abacababx2已知二次函数已知二次函数3422xxy，当，当x为何值时，为何值时，y随着随着x的增大而增大？当的增大而增大？当x为何值时，为何值时，y随着随着x的增的增大而减小？函数有最大值还是最小值，并求出最值。大而减小？函数有最大值还是最小值，并求出最值。 解：解：02 a 函数图象开口向上函数图象开口向上 12242ab 当当1x时，时，y随着随着x的增大而增大的增大而增大 当当1x时，时，y随着随着x的增大而减小的增大而减小 当当1x时，时，y有最小值，最小值为有最小值，最小值为 1 过三点的二次函数解析式的确定过三点的二次函

8、数解析式的确定过顶点和一普通点的二次函数解析式确定过顶点和一普通点的二次函数解析式确定已知某二次函数的图象过已知某二次函数的图象过)101(，)41 ( ，)72( ，三三点，求这个函数的解析式。点，求这个函数的解析式。 解：设所求函数解析式为解：设所求函数解析式为cbxaxy2 由已知函数图象过由已知函数图象过)101(，)41 ( ，)72( ，三点得三点得 724410cbacbacba 解这个方程组得解这个方程组得2a，3b，5c 所求得的函数解析式为所求得的函数解析式为5322xxy。 已知某二次函数图象上有已知某二次函数图象上有)31(，)31 ( ，)62( ，三三个点，求它的函

9、数解析式。个点，求它的函数解析式。 解：设函数解析式为解：设函数解析式为cbxaxy2 由已知，函数图象上有由已知，函数图象上有)31(，)31 ( ，)62( ，三个点，三个点，得得 62433cbacbacba 解这个方程组，得解这个方程组，得 1a ，0b，2c 函数解析式为函数解析式为22 xy 由 于 抛 物 线由 于 抛 物 线khxay2)(顶 点 坐 标 是顶 点 坐 标 是)(kh，反之，已知顶点坐标为，反之，已知顶点坐标为)(kh，则可设函数，则可设函数解析式为解析式为khxay2)(。 例题例题 已知某抛物线的顶点坐标已知某抛物线的顶点坐标)43( ，且过点且过点)81 ( ，求它的函数解析式。，求它的函数解析式。 解：顶点坐标是解：顶点坐标是)43( ， 可设函数解析式为可设函数解析式为4) 3(2xay 又过点又过点)81 ( ， 4) 31 (82 a 解得解得1a 函数解析式为函数解析式为4) 3(2 xy 即即1362xxy 已知某二次函数的顶点坐标为已知某二次函数的顶点坐标为) 11 ( ，且过，且过点点)02( ，试确定它的函数解析式。试确定它的函数解析式。 解：解：二次函数的顶点为二次函数的顶点为) 11 ( ，