课程设计模板1

1、学校代码： 10128学 号： 200620905005课程设计说明书题 目：Taylor公式在数值分析中的应用学生姓名：马宏宇学 院：理学院班 级：信计10-1指导教师：任文秀 田毅2013年1月11日摘 要著名的泰勒公式是一古典数学问题, 它在数学、物理多种领域都有广泛应用,在现代数学中仍有重要价值.它能将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使它成为解决数学问题的强有力工具，同时也是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具.泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用.本文章

2、阐述了泰勒公式在数值计算方法中的近似计算、龙格-库塔法、Euler法等应用做详细的介绍.特别的，是在常微分方程数值方法等几个方面的应用,并通过典型例题给出了泰勒公式在求解数值分析问题中的具体应用.关键词Taylor公式;数值分析;应用 ABSTRACTThe famous Taylor formula is a classical mathematic problem, which has widely applied in mathematics, physics multiple, and it still has important value in modern mathematics

3、. It will be express some complex function approximation for simple polynomial function. It changes numerous for brief function to make it become a powerful tool for solvingmathematic problems. This paper expounds the Taylor formula use forNumerical calculation method of the approximate calculation,

4、Runge coulthard method, andEuler method etc,especial,and gives the specific application of Taylor formula in solving the typical examples of numerical analysis.KeywordsTaylor formula; numerical analysis; applic目录引言1第一章 泰勒公式2§1.1 预备知识2§1.1.1 一元泰勒公式2§1.1.2 二元泰勒公式3§1.2 牛顿迭代法5§1

5、.3 龙格-库塔法5§1.3.1 欧拉法5§1.3.2 龙格-库塔法的一般形式6§1.3.3 二阶龙格-库塔法7§1.3.4 三阶与四阶龙格-库塔法7第二章 泰勒公式在计算法中的应用8§2.1 误差估计中的应用8§2.2 泰勒公式求近似值9§2.3基于泰勒公式的算法应用10§2.3.1 线性插值中的应用10§2.3.2 牛顿迭代法应用11§2.4 龙格-库塔法12参考文献14附录 代码的总结15一 牛顿迭代法的C语言程序15二 四阶龙格-库塔法的MATLAB实现16引言十七世纪中叶，随着近代微积

6、分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来.但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾.极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占.1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明.但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近”“随意小”这些词汇，使

7、得计算不够精确.在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决.至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来.由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了.泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的

8、应用.泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.第一章 泰勒公式在本章中，将着重对泰勒公式的一元、二元展开予以说明，并对在数值分析中，利用到泰勒公式的一些算法做出解释.§1.1预备知识§1.1.1一元泰勒公式泰勒公式按其不同的的余项分可为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项为佩亚诺型余项，仅表示余项是，即当时高阶的无穷小.定量的余项为拉格朗日型余项（也可以写成，），下面对这两种泰勒公式做出说明.定义1.1 若函数在点的某邻域存在直至阶导数, 则对此邻域内的点有(1.1)其中，称佩亚诺余项，(1.1)式

9、称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.特别，当时,(1.2)(1.2)式称为（带佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式.注1.1常用的麦克劳林公式定义1.2 若函数在上存在直至阶连续导数, 在（）内存在直至（+1）阶导数，则对任意给定的，至少存在一点（），使得 (1.3)其中，称为拉格朗日余项，(2.3)式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当时，(1.4)其中，(1.4)式称为（带拉格朗日余项的）麦克劳林公式.§ 二元泰勒公式基于一元泰勒公式的给出，能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小，这是二元泰勒公式应用而生，下面给出其定义.定义1.3

10、 若函数在点的某一邻域内连续且有直到，为此领域内任一点，则有（1.5）则（1.5）式称为二元函数在点的泰勒公式.注解1.2（1）表示（2）表示，（3）定义1.4特别的，在泰勒公式（1.5）中，令，就得到二元函数的麦克劳林公式（将与分别用与表示）：（1.6）算例 1.1 求函数.由（1.5）式可得：又其中§1.2 牛顿迭代法简单的迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出，从而确定出，而牛顿迭代法是一中基于一元泰勒公式展开的特殊迭代法，其速度更快，精度更高.下面给出其具体的迭代公式.定义1.5 设已知方程（假定），将函数在点展开，有于是方程=0可近似地表示为这是个线性方程，记其根为，则的

11、计算公式为 ， (1.7)其即为牛顿迭代法.下章将对其程序算法算例予以说明.§1.3 龙格-库塔法§1.3.1 欧拉法在解常微分方程初值问题上，有许多可用可实施的办法，其中欧拉法是解决它的一中数值解法，下面给出其具体公式.对于一阶常微分方程的初值问题解其方程有，利用左矩形求解可得，(1.8)其即为欧拉公式.则的表达式与的泰勒展开式的前两项完全相同注解1.3 （1）为，为. (2)§1.3.2龙格-库塔法的一般形式基与上节可得改进的欧拉公式，如下都是用在某些点上值的线性组合得出的近似值, 且增加计算的次数的次数,可提高截断误差的阶.如欧拉法:每步计算一次的值,为一阶

12、方法.改进欧拉法需计算两次的值，为二阶方法.考虑用函数在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在处的泰勒展开式与解在处的泰勒展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数.既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数.或者说,在这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格库塔（Runge-Kutta）法的基本思想.一般的龙格库塔方法形式为 （1.8)其中（1.9）其中为待定参数，（3.2）式和（3.3式）称为r级显式龙格-库塔法，简称R-K方法.要求上式在点()处作Tailor展开，通过相同项的系数确定参数

13、.§ 二阶龙格-库塔法由上节可知一般的R-K方法，当r=2时，其即为二阶R-K法，由（1.9）和（1.10）式可得到如下的计算公式：这里为待定常数，其可根据二元泰勒公式的展开确定，其证明将在下章予以说明.§ 三阶与四阶龙格-库塔法对于三阶与四阶的R-K法，同上节，即当r=3，r=4时的R-K法，下面给出四阶的R-K法中最经典、最常用的一种公式.四阶R-K法的经典公式：四阶R-K方法的每一步需要进行四次函数值，其证明方法同二阶R-K法，但其证明极其繁琐，这里从略.第二章 泰勒公式在计算法中的应用§2.1误差估计中的应用在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可

14、能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确.算例2.1设有，将被积函数展开为泰勒级数，并取前六项得：用代替被积函数时再积分所得的近似值：0.544977678571且0.94256130<0.5，实际上近似真值时有4位有效数字.，曲线如图所示.在编辑窗口输入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.2);y2=1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6;plot(x,y1,

15、x,y2);legend('exp(x.2)','1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6');grid图2.1有限代替无限所产生的误差由图可知，泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小.§2.2 泰勒公式求近似值在实际工作中，测量或计算数据时，常常要求用比较简单的计算方法得到一定精度的计算结果，这就提出了近似计算问题，这里介绍利用导数进行近似计算的方法，即利用泰勒公式及拉格朗日余项公式在点处展开后，再将取值进行近似计算.例2.2求的近似值依题意，可得：,令 ,则所以 从而由公式（1.4） 故 从而 =误差§2.3 基于泰勒公式的算法应用&

16、#167; 线性插值中应用（线形插值的误差公式） 设为实一元函数，为两点与所决定的线形函数，即，称为在区间上的线形插值如果在区间上二阶可导，在上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计应用带Lagrange型余项Taylor公式：，使得其中，最后一个式子是由于，如果为的上界（特别当在上连续时，根据最值定理，取），则误差估计为，这表明，愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当很小时，曲线的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的§ 牛顿迭代法的应用在第一章中可知，牛顿迭代法是基于泰勒展开的一中算法，在本节中将着重介绍牛顿迭代的算法算例，并在附录中给出其程序设计.算例 2.3 用牛顿迭

17、代法求方程=10的一个实根.精度要求为.依题意可知，该方程的一个实根在2与3之间，即.并且，可以将原方程变换成其中因此，方程满足的条件.且即在区间上各自保持符号不变.并且还可以看出，同号，因此取.采用牛顿迭代格式其计算结果如表2.1所示表2-1牛顿迭代式计算结果-012332.5267102.5062282.5061842.5267102.5062282.5061842.5061840.4732900.0204820.0000430.000000由表2.1可以看出，当时，其迭代值已经满足精度要求，最后取实根的近似值为其牛顿迭代法的程序设计见附录.§2.4 龙格-库塔方法在第一章中，给

18、出了龙格-库塔法的一般形式格式，其形式比较复杂，证明繁琐，在这节中将直接给出其算法实例，并在附录中给出四阶龙格库塔法的matlab程序语言.算例2.4. 使用高阶R-K方法计算初值问题由（1.9）式可知（1）使用3阶R-K方法其结果如下：表2-2 3阶龙格-库塔法结果1.0000 0.10000.10000.11030.12561.11112.00000.20000.12350.13760.15951.24993.00000.30000.15620.17640.20921.42844.00000.40000.20400.23420.28661.66645.00000.50000.27770.3

19、2590.41631.9993由（1.10）式可知（2）使用4阶R-K方法其结果如下：表2-34阶龙格-库塔法结果1.00000.10000.10000.11030.11130.12351.11112.00000.20000.12350.13760.13920.15631.25003.00000.30000.15620.17640.17910.20421.42864.00000.40000.20400.23420.23890.27811.66675.00000.50000.27770.32590.33480.40062.0000参考文献1丁丽娟.数值计算方法M.北京:北京理工大学出版社,2005.2徐士良.数值方法与计算机实现M.北京:清华大学出版社,2006.3郑成德.数学值计算方法M.北京:清华大学出版社,2010.4刘春凤.应用数值分析M.北京: 冶金工业出版社,2005.附录代码的总结一 牛顿迭代法的编码# include”stdio.h”int newt(x,eps,js,f)int js;/最大迭代次数double eps;/控制精度要求double *x;/在该指针指向的变量中存放迭代初值；返回时在该指针指向的变量存放终值.void(*f)();/指向计算方程左端函数f（