合工大电磁场与电磁波第6章答案教材

1、第6章习题答案6-1在Jr =1、； r =4、； 丁 =0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是E(z,t) = E m sin( , t kz)3假设f =150 MHz,波在任意点的平均功率流密度为0.265卩w/mF，试求:(1)该电磁波的波数 k=?相速Vp =?波长冬=?波阻抗 二?(2) t=0 , z=0 的电场 E (0,0) = ?(3) 时间经过0.gs之后电场E(0,0)值在什么地方？解：-rrX(1) k=J* = 2 兀(rad/m)cVp =c/. ； r =1.5 10 8 (m/s)=1 (m)k120n =60n (Q)V£r1 2 1II 2=

2、0.265 10on, Li2 / 0Y尽务= 1.00x10 (V/m) 时间在t = 0时刻之前0.1 口 S电场E(0,0)值在什么地方?二BE(0,0)=E mSin =8.66 10 (V/m)3(3) 往右移 z = vA t =15 m(4) 在O点左边15 m处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是E =10 池 # °a10*y °2)ey 伏 / 米试求：(1)电磁波的传播方向？(2) : (2§av电磁波的相速 Vp二？波长 棗=?频率f二？(3) 磁场强度H二？(4) 沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？解：(1)电

3、磁波沿Z方向传播。 二Em(2)自由空间电磁波的相速 Vp=c=3 108 m/sco20=20?二=0.1(m)=10c 二2n3 109Hz17 4(20 人)i2o “ HE =265 10A(e 2 exe" ey)(A/m)*1* E E112Sav Re(E H)二 2 eA 265 10" ez(W/m2)6-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在 磁波。证？?'？ £ = -jkEoe'" =0,即不满足 Maxwell 方程?不可能存在E =Eoe'kzez的均匀平面电磁波。E = E0ezez的均匀平

4、面电6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m,试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？根据美国国 家标准，人暴露在微波下的限制量为10 _2W/m不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8小时连续照射，不超过 3.8 X 10_ 2w/m2 o 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为-32Sav2.65 10 W/m 2377可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是平安的。6-5在自由空间中，有一波长为12cm的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm且此时E = 31.41V

5、/m ,=0.125A/m。求平面波的频率以及无损耗媒质的7和Jr解：因为二 Jr 7,所以 S； r =(12/8)2 =9/4E冋又因为一 =120兀，所以一 a =H、片4r ( E V I =0.4443牛 1120兀H丿Jr =1 , r =2.25V运动，同时一个均匀平面波也6-6假设有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度 沿V的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值解：设v沿z轴方向，均匀平面波电场为E,那么磁场为1H ezE%电荷受到的电场力为Fe = qE其中q为点电荷电量，受到的磁场力为Fm= qv B =q%vez H - - E - -qv % ； °

6、;E口 0史Ec故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm = VFe C6-7 一个频率为f =3GHz , ey方向极化的均匀平面波在了 = 2.5，损耗角正切值为102的非磁性媒质中，沿正 ex方向传播。(1 )求波的振幅衰减一半时，传播的距离；(2 )求媒质的波阻抗，波的相速和波长；(3)设在x =0处的E = 50sin 6兀況10、+二 ey，写出H (x,t)的表示式。<3. 丿解：(1) tan = =10八，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的10，2 二 3 1092.5=0.49723X08损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为因为e ；-1/2，

7、所以|二哑=1.40mCt(2) 对低损耗媒质，、/ ； = 120 二 I、2.5 =238.4 Q8相速 V - 1 - 3 101.90 10 8m/s卅 v;2.5波长二 v/f =0.0632(m) =6.32(cm)(3) -斗=99.33"08H (xf ° Q5xsin(6 二 109t - x)ez30 5 x=0.21e si n(6910 t _99.3x_3H)ez (A/m)6-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效求：复介电常数r=40 (1 0.3j)(1) 微波传入牛排的穿透深度:?，在牛排内8mm处

8、的微波场强是外表处的百分之几?(2) 微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数1.03( 1 -j0.3 10鼻)。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。21 1'3 )解：(1) 一丄2 a o V=0.0208m = 20.8mm82 3 10(2) 发泡聚苯乙烯的穿透深度328 102 二 2.45 10 9 0.3 10 .1.03 九可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。6-9海水的c -4S/m， ； r =81,=1，在其中分别传播f 100MHz或f =10kHz的平面电磁波时，试求：，-? - ?Vp解：当

9、 f1= 100MHz 时一=8.88'cosa4当 f2 =10kHz 时，8.8 104故f2 =10kHz时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式a s? P s? J 1 cokaV2而fi = 1OOMHz时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。(1)当 f1= 1OOMHz 时:- 2()2 - 仁 37.5(Nep/m).2 J( - pi0.149 108 (m/s)，1 = =0.149(m) i当f2 “OkHZ寸：2 & fc J= 0.397,2:0.397(Nep/m):0.397(rad/m)O51.58 10 (m/s)=15 . 8(m)6-10

10、 证明电磁波在良导电媒质中传播寸，场强每经过一个波长衰减54.54dB证：在良导体中， 1，故 ?=P a因为 E = EoeP = E °扎所以经过一个波长衰减-20lg 旦二-20lg(e=J =54.57(dB) E。，即即6-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波 d = 2疵式中：是穿透深度。试计算(1) 收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。(2) 电源变压器铁屏蔽罩的厚度。(3) 假设中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？(铝：二=3.72 10 7S/m , ； r=1 , Jr=1 ；铁：；-107S/m , ； r

11、= 1 , -lr =104 , f = 465kHzo)(1) 铝屏蔽罩厚度为(2)铁屏蔽罩厚度为3465 10 4 107 =7.60 10*(m) =0.76(mm)3.72 10(3)d =2250 4 二 10104107=1.41 10(m) =1.41(mm)二 465 103 42 10八 104 10747 10 讪)*7(5)d 铝=2 $7=7.33 10 (m) = 73(mm)2 50 4- 103.72 107用铝屏蔽50Hz的电源变压器需屏蔽层厚73mm太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚14. 7m,故可以选用作屏蔽材料。证明，相同截6-12在要求导线的高

12、频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的 证：设N股纱包中每小股线的半径为 r，单股线的半径为 R,贝U二R2二N二r2，即R= . Nr单股线其中二为电导率，为趋肤深度。N股纱包线的高频电阻为rnR1rN6-13群速与相速的关系是V =VP式中1是相移常数，证明下式也成立dVpd dVpVg f证：由：=得d :V)d'=2 二 d () = - 2 d6-14判断以下各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1) E 二 jE ejkzex jEeJkz(2) H =H - e"ey(出十=0)(3) E =Eoekzex -

13、 JEkzey(4) E 二 ekz( e。ex AE° eJ e)(A 为常数，：，0, 一二)(5) H =(且 eyex JAe 甌 ez)nn6 E z,t二 Ems in ，7E z,t=Emcos ， t-kz解：1 z方向，直线极化。2+ x方向，直线极化。3+ z方向，右旋圆极化'4+ z方向，椭圆极化。tkz)ex Em cos (， tkz)eyn兀Emsin (， t-kz) ex)ey445+ y方向，右旋圆极化6+ z方向，左旋圆极化7+ z方向，直线极化。6-15证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。证:设沿z方向传播的直

14、线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为T,J -尹 EMexJ_e上2T")e那么 E = E/cosfte x +sineey)e*_ E10? JH 、=(e ex- J e e y )e2 2=e右圆+ E左圆丄 . J 日、Jfi(e exJ e ey )e6-16 证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿 z 方向传播 的圆极化波为E z,t = Em cos t-kz氓 Emcos t-kzey那么坡印廷矢量瞬时值E ezn2 2Em cos'7T I oo2Em COst 七ez6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：(1) 如果旋

15、转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？(2) 如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化?(3) 如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？解：(1)设巳二E°ex_ey)ej匕恥E2 二 Eo(ejey)ej2e$z贝 U E = E.j E2=Eo(eAjey)( ejq +ej<°)e4kz故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。(2) 设 巳=E °ex jey)ej 1e4kzE2 二 E© - jey)e1e-kz那么 E 二 E E2 =2E°sxe 训

16、e4kz故合成波是线极化波。(3) 设巳=E!o( ex jey)ej 1eAkzE2 =E2o(eey)ejiAAkz那么E洛E2珂巳。Ezo )? _je y)ej匕朮故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场E 二 E (ex jey)垂直入射到z = 0处的理想导体平面。试求：(1) 反射波电场、磁场表达式；(2) 合成波电场、磁场表达式；(3) 合成波沿z方向传播的平均功率流密度。解：(1)根据边界条件(Ei Ej “0故反射电场为Er 二-E°ex jey)eJ zHr = : (-e z)%E= lAe 用(j ex-e y)

17、=Ei Er =2jEosin '-z ( e* jey)1-Re( E H21=2Re-2jE-01 12E)Sav-2E0COSzsin( -z)( ex jey)0(jexe)6-19当均匀平面波由空气向理想介质(S =1 ,二=0)垂直入射时，有84%勺入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数冈为R 3 -“1 /-A一+3 -T V £r所以RJ% A+i2U -同丿又因为R =1 84% =0.16ez Ei (-ez) ErR = 0.4CQS-ZGj。乂 ey)21+0.4=5.44n 0.4 丿6-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，假

18、设媒质波阻抗n2 >1，证明分界面处为电场波腹点；假设2：1，那么分界面处为电场波节点。证：在分界面处的总电场为E= Ei0 Er0二Ei0 ( 1 R ) , R = Er °/E i0, R的幅角即为分界面处入射电场与反射电场的相位差，假设相位差为零，那么形成电场波腹点，假设相位差180°,那么形成电场波节点。n _n解:R = 1,对于理想介质，R为-1,1 :之间的实数。2 1假设2 .1,那么R 0 , R的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点；假设2 ： 1,那么R <0 , R的幅角为18O0,表示分界面处入射电场与反射电场

19、反相， 电场波节点。形成6-21均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。解：(1) R 二 口2 二上丫2 +ni 1 +1,7如下图，求:(1 )介质墙的；r ； ( 2)电磁波频率f；r=9(2)因为两相邻波节点距离为半波长所以，=22 4m在此墙前方测得的电场振幅分布3 10= 二 75(MHz)46-22假设在；=4的玻璃外表镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长 为0.75 Am ,试求：(1)该介质膜的介电常数及厚度；(2)当波长为0.42 Am的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。r2解:(1)九 0.754r2 40.13 Am2 tan vdn f

20、 qef 1-1n fef 131j 1 3ta n/ditanH3-0.99j0.1。0.1，即反射功率与入射功率之比为衣=2 2 j 3t 6-23证明在无源区中向k方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为以下方k HEk E = JHk E = 0k H =0证：在无源区中向k方向传播的均匀平面波可表示为因为E = E ° ekrH = H ° e代入无源区麦克斯韦第可得同理可得又因为代入无源区麦克斯韦第 可得同理可得H °ekr八ekr Ho-je"k" k r Ho 一 je$rk H。二-jk H1方程：I H = j;Ek

21、H = 一 . ； Ek E = BTHE=Eoekrkr Eo二-jeTkr k r E。一 je*k Eo=-j k E4方程：'好0k E =0 k H =06-24平面波的电场强度E = (2 + j3 ) ex +4ey +3ezo?“)v/m试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？解：( 1) k - -1.8ey2.4ez传播方向位于yz平面内，与y轴夹角2 4 -180 -arctan 126.9 °1.8屮3(2) 由于电场分量存在相位差二arcta n ,故为右旋椭圆极化2(3) 因为E k=0 ,所以是横电磁波。6-25证明两种介质(/二二)的交界面对

22、斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成sin 耳 -4 t _ 2sinSo 曲 i 只丄sin佝+q '丄sin 日i +勺tan(n -X ) 2sin81 cosq tan(门即)式中"是4入射角，证：(1)因为3是折射角R2COSp -JCOSVt2COSpVi si n刀所以sin & co 曲 i _ sinQcosT tR =-sin 入 cosj sin n cosr -sin(占 _ 入) sin(33)QOS 3 - 2coA tR/ QOSK - - 2COSRsin pcos = -sin xcosv tsin hcoshin rcosnsi

23、n2R -sin2 3 si n2y si n2 3 sin(二 _ m)cos(3 入)sin(y t )cos(K _ 3) tan ( 3 7)(3)因为所以T =1 R_( 3)T =1Jsin但+q)2sin 耳 cos 吕sin (弓亠 t) nT 二-(1 R )si n 4 1 . sin(m QcosCJsin 弓 sin ( q +q ) cos ? _q )sin4 .sin (弓 7)(弓 弓)sin -i sin (弓 vjcosR -1) sinq sin2 3sin£invjcosG - 4)2sin ScosEsin(p 7)cos(K -耳)sin(

24、 vi n )cos(vi - t )6-26布当儒斯面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为J门2% =arctan Jn =arcs沖 ； -2 rrccos + nJ 1(1 十 n2折射角sinOt = 门灶n碍rCOSAB所以布儒斯特角与折射角互余，即TT出？千=56-27当频率f =0.3GHz的均匀平面波由媒质界面时，试求(1)临界角日c=?；r =4,J =1斜入射到与自由空间的交当垂直极化波以=60。入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何?=9相速(3)当圆极化波以 弓=60。入射时，反射波是什么极化的？1解：(",才 30 °(2

25、)因为 哥？入发生全反射所以折射波沿分界面传播，形成外表波。Vp = V2 =M(3)因为eAec发生全反射，310 =73 江 108 = 1.7A 10 8 ( m/s) nd反射系数的模电=R =1，但反射系数的幅角_ - :. /。将圆极化波分解成相位差7/2的等幅垂直极化波与平行极化波，但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。反射后振幅不变,6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到 电场与入射面的夹角是 45°试问：；r =4、叫=1的介质分界面，如果入射波的(1 )当入射角耳二？时反射波只有垂直极化波。(2)这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几?解：(

26、9;布儒斯特角 Vb =arctann = arctan. ； r =63.4 °故当q二乙=63.4。平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。1_n2,2心二 一 0.6(2、cosp _ . n 2 sin 2n(八 R“2)- 2 2 ?cosQ 十时 n sin q，故垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的2P r1(Jr -1、才 PR_ p ? 66-29证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上时，其布儒斯特角应满足以下关系tan2 vb而对于平行极化波那么满足关系； ； r 、Q ；r 'r -1证：1n2cosd -UcosQR =2COS

27、J QOSKcos2 咼 2COS1 仝 1COSAt由折射定律可求出代入方程1Rsin jb 二 k2sin t=si门加)2r - r(1)cos2Ab =1si n 2Jb；ri r r1?2t(1 -sin ab) =1%sn仏3 ； r亠1;rsin2< 1丁； r 3 ； r2cos2 -"r("r - ； r)tan2 vb州一 1R -0 cosq -ScosB L 1 cos 2 cost rC0SAB 2COSV t(2)(3)式联立?sin 出=rsin mCOSCOSH% .rtan2与垂直极化相比拟，Jr与；互换6-30设z : 0区域中理想

28、介质参数为；ri =4、Ji=1 ； z - 0区域中理想介质参数为；r2 = 9、丄r2 = 1。假设入射波的电场强度为E = eg ex + e 厂屁 z试求：1 平面波的频率；2反射角和折射角；3反射波和折射波。解：1 入射面为xz面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两局部之和，即j6 .Ax zE 川=e j6 .73x z ex - Ei_= eeez=12 ki=287kiMHz k,(xsin 弓 zcos 弓)=6 3 z 得sin 巧二由沁=邑二可得si n 齐 ki2ki3 =60 °sin 齐 =1:t= 35.3 °, k2= 18cos? -

29、J% / 吗一sin2 qR = !210.420(3)cosQ +勺 / 务一 sin2?0.5802 costcos0 +"2/sin 日 i名 2 / cosH j -xi'名 2 / S sin 日 i R| =2i= 0.0425名 / 色cosq+ S2 / 八-sin2 q2 ;2 / v cosyT| =-f. 2=0.638；2 / m COSR亠、匕2 / m - sin2刁因此，反射波的电场强度为Er = Er- E 川，其中E=0.420e$ 矽 eyEr|-0.0425e ex-ez、3折射波的电场强度为Et = Et_ ? E十| ,其中x 丄:&

30、quot;2E0.580e8_r 代 yEt|【j2fl、0.6383 3 n2'1 1h.276Aiex ,J-ez bJ 336-31当一个f二300 MHz的均匀平面波在电子密度N =10141/米3并有恒定磁场 Bq =5 10 *ez特斯拉的等离子体内传播，试求(1)该等离子体的张量介电常数;=?(3)如果这个波是往z方向传播的左旋圆极化波，其相速 VVp 二?解:1如果这个均匀平面波是往z方向传播的右旋圆极化波，其相速0 %一Ne2m °e rB ° m-192141.6 10 103.177 10_31-129.1 108.854 101.6 10-4

31、99.1 10貢5 1038=8.79 10 8Op2 2 =0.8662-'g0.053(0g -国)2Wp 0.9-3 = 1 -；o 1-j 0.0530.866二崭=j 0.0530.913 108、Vp=3.33 10 8 (m/s)-3.13 108 (m/s)0.866-0.866 0.053?g6-32在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆极化波同时向Z方向传播，一个右旋圆极化Er Eme=记(e jey)另一个是左旋圆极化E 2 二 Eme"z(exjey)式中：2: 1，试求(1) z = 0处合成电场的方向和极化形式。(2

32、) z=l处合成电成的方向和极化形式。解：(1) E= E1+ E2= 2Emex合成场指向ex方向，是线极化波。(2) E = E1+ E2二 Em(e_； z e_ 】z)exj(e"z-e 八)e鼻 2z1z d 1z吐1z二 Eme 2 (e 2 e 2 G j(e 2-e 2 )ejAZ打一为丄打一为=2Eme2 cos(-z)exsin(-2 2-z)ey电场两分量相位差等于零合成场是线极化波辽 - -1sin( 2 21 z)厂? 丁 - tan -cos(1 z) 22故当 Z =丨时合成电场与 x 轴夹角为6-33设在z _ 0的半空间是电子密度/泳3的等离子体，并有恒定磁场B o =5 10- e z特斯拉，在Z ： 0半空间为真空。有一频率为 300MHz的正圆极化波沿正 z方向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为订? ；2的介质，其中 ；1、2与 6-31题相同，故2；