多元函数微分学

1、第三讲多元函数微分学§ 1概念及定理1.二元函数极限 lim f x, y = A：= -；0, T 个:0,4$y “00 <J(x-x0 ) +(y y° j c6 时，恒有 f (x, y )A £ 8。注意:动点 Q(x,yy 定点P x0,y0的方向，方式，路径是随意的;往往是通过选择两条不同路径求出的极限不相等lim f x, y不存在。x Jx0y y。亠 3 亠33x 2xy y 求limX 0y jo解:亠 3 亠 23乌迸亠0;3 2 2 33x +2x(x _x )+(x -x )I 二 limlimx jo?x x2 - xx 10y

2、x .x-2x-极限不存在。2. 函数的连续性定义1 ：设z二f x,y在P x0,y0的邻域内有定义，分别给 x, y以增量L x_ y，相应地得到函数的全增量z，假设mzo二，那么称函数z=f x, y在P xd，y0点处连续。y0定义2：设函数z = f x, y在P x0,y0点处满足条件: 在P x°,y°的邻域内有定义； 吧f x, y存在；y妙0 lim f x, y =f X0,y° ；x 沁y jy0那么称z二f x, y在P x°, y点处连续。3. 偏导数f x0 Lx, y 0 - f X °yxlim f x，y0 f

3、 x0，y0XFXy x0,y0 =mf 初。小xoy Uim f 乂“7。Uyy y。设fx x, y , fy x,y仍然对x, y可求偏导，得:2 2：z J，Z J，2 二 fx2 x,y ,2 二 fy2 X,y ;；：2zc z “"fxy x,y,x: yfyx x, y二阶混合偏导.:y .:x般讲，fxy x,y = fyX x,y4. 全微分 设函数z = f x, y在P x, y的邻域内有定义，分别给x, y以增量L x,_ y ,相应地得函数的全增量|_z，假设Lz可写成：Lz = A_|x B_|y OiT ,那么称函数 “ f x,y在P x, y可微。

4、其中，P =+(_y f ,o(P是当LIxT0,_yT0时P的高阶无穷小，A, B与L x,_y无关， AJx BJy 为 z 二 f x, y 的全微分，记为 dz或 df x, y，即：dz 二 A x B_ y。当z = f x,y可微时,A，,B 二二.x ；yT曰 于是:dz 二二 dx 三dy。例 2：设 u =xyyzzx，求 du o解：In u = yl nxzl nyxl nz。取微分得:I nx d y xdzyd yl nzd x;zlnu lnz dxIL> x1o d z例3：设有方程xy x2y2z . 2，求在P 1,0, -1处的全微分dz。解：dz|

5、P ' |P dx '|p dy,xy方程两边对x求偏导，得：I将 P 1,0, -1 代入，得：zx=l ；x + zx zyz+ x y.z+£ ;x 2 2 2x y z方程两边对y求偏导，得：y +弓zxz xyyz0 ;y : 2 2 2x y z将 P 1,0, -1 代入，得：Zy =Y2 ；故：dz|p=dx-、2dy。重要定理：Th1 :设函数z = f x, y在P x, y的邻域内可微，那么f x, y在P x,y点处的两个偏导数 三二fx x, y 和 =fy x, y 存在，并且有 dz = dx 二z dy。:x:y: x: yTh2 :设

6、函数z=- f x, y在P x, y的邻域内两个偏导数 fx x, y，二=f y x, y excy存在并且连续。那么z = f x, y在P x,y处可微。Th3 :设z = f x, y的二阶偏导数连续，fxy x, y = fyx x, y，即对x, y求偏导的次序无关。注意：z = f x, y的连续，可导指的是两个偏导数fx x, y ， fy x, y存在，可微三者之间的关系： 可微 > 可导，可微 > 连续； 连续，不能 > 可导；连续，不能> 可微； 可导，不能 > 可微；可导，不能> 可连续；§ 2多元函数的微分法- 多元简单

7、显函数的微分法例4:设uz=xy，求：:u:x：:u:y,：u。:zuzyz -1解：二 y x.x:u=上 eyzinx)=eyl nx z 1 . z 1z y(zy In 灯 zyl n x ； xyyu ； - yzl nxy I nx zzz yee ylnylnx ylnylnx °x；z 之二多元显函数的微分法f u,v , u = x, y , x, y ， f, :, 均可微，那么z二f L Ix,y , ' x, y 对x, y的偏导数存在，并且有:czczcuczcvczdzcuczdv=+ ， =+。.x；u jxjv；x；:yju ；yjv；y=f

8、u,v , u = t , v ：叽;t ， f, 均可微，那么z = f : t t对t可导并且有：空=2理0。dt cu dtdv dt设 z = f x,u,v , u = x,y,v= x, y ， f,:'均可微，那么复合函数:z = f x,x,y J x, y对x,y的偏导数存在，并且有:； + fv'竺，U=fx O+fu'd.x ；x :y: y:u ' ；:v fv 。注意如下事项:用图示法表示出函数的复合关系:1偏导数或三的结构偏导数或二的项数=中个变量个数，每项是两个因子的乘积，第一个因子是函数对中间变量的偏导；第二个因子是中间变量对指定

9、自变量的偏导数。-或 三仍然是以x, y为自变量，以u,v为中间变量的函数，再求偏导数要将.x :y前面的连锁法那么再作一遍。对于抽象的复合函数一定要设中间变量。例如：z = f x y,si nxy，令u =x y ，v二sinxy。如果求的是高阶偏导数，中间变量通常用1,2,3ll I数字表示更简单。例5:设pf鬲Qff x, y, z 是 k 次齐次函数，即 f tx,ty,tz =tk f x,y, z，计算 x y z '-excycz解：令 u =tx, V =ty,w =tz，那么f tx,ty,tz 二tkf x, y,z - f u,v,w 二tkf x, y, z，

10、两边对t求偏导，得:f;:f;fx y z_:u:v:w两边同乘以t,得：ff;fU V w；:u；:v:Wk二kt f x, y,z j=kf u,v, w ;故: x丄 y丄 zf = kf x, y,z。.x:y-z例 6：设 z = x y, x - y' xy, = JI x丿，V均可微，求zex cy解：z=®(x + y,x y )4 fxy,-'；k x丿:z:x_y2 x:zL、: y ; y'x 2。x - - cos例 7：设 z = f x y,cosxy .、y= Psi n 日解：令 u = x y,v = cosxy,z = f

11、u,v ;-U u =1, 1;：y-X.：VV.ysin xy,xsin xy ；:x: y.zcPL、L、L、f"*.uex：-：L、L、L、L、L、L、L、L、:z :u :y : z :v :x : z : v :y+L、L、L、L、_u 冷二 :V :x伙:：zsi®-yr=-Usdyico：-x xsy-V.zs i n:VL、l、l、:z :z : u :x:z:u=七u 上.'z=- si nz+ Pco比 + y sxyi s 尿cueVaxi n£ o scv例&设Z = f x2y2, xey . f具有二阶连续的偏导，求CZ

12、'' y解： =£ 2x + f2e ;x-2_- = £(f；2x + f2ey ) = 2x( f；2 y+ f；Xe 十 y e 2件(e 2f +y 2界 :x .y:y=4xyf11 2ey x2 y f12 xe2y f22 ey f2三隐函数微分法 设F x,y =0,史x，y ；dx Fy(x, y) z = z x,y，由方程F x,y,z =0确定cZFx(x, y,z )邑_ Fy (x,y,z):xFz' x, y,z ' :yF； x,y,z(意味着jF(x,y,z)=o,只能确定两个因变量，一个自变量，假设求G x

13、,y,z "f列卄虫=十Fy dx Fz dxFxG鱼+G生一Gyzxi dx dxx为自变量，y, z均为x的函数)两边对 x求偏导，得：F' l+F' + F 竺=0Fx ' Fy dx Fz dx 0 Gx 1 Gy'dy Gz -0 Ldx dx由克莱姆法那么:dy ？dx例 9：设 F x-z, y-z =0，求 dz。解：u = x-z, v = y-z, F u,v = 0，求微分得:Fu'du+Fv'dv = 0，即:Fu' dx-dz F； dy-dz =0= dz =Fu dx FvdyFu - F；例 10

14、：设 x2y2 z2 = xyf z2。计算 x目。excy解：两边对x求偏导数：cz2'cz2x 2z yf z xyf t 2z :x: x2:z'；:z=2x 2z x yf t 2xyzf t x :x:x；z=x -exoxyf t -2x2z 1 xyf' t '2:Zxyf t -2yy:y 2z1-xyf t:zcz- x y 次dy 1 -xyf (t):z ；z例11:设F x+ ,y + =0。计算x + y 。:x: y解： 设 u=x.?,v = y.?y xF u, v =0 ,两边对x求偏导，得:Fu 1+lzx +Fv"

15、< y丿12zxx x2两边同乘以x y，得:''；zx yFu xFu x - ex J-yzF v yF= x£g=yzFvx2yFu , 泳yFv +xFu同理可得:z xzFV -y2xFu y:yyFv xFucz x _ :xy=z-xy。例12：设y = f x,t , t由方程F x,ty,t = 0确定为x, y的二元函数，求 鱼。dx解:y = f x,tr V ；，令 ty =un < F x,ty,t i=0两边对x求导，得：= fx 1ftdx 卜'1 +Fu y = f x,t F x,u,t = 0 ''

16、;dtdx'型'dx dxdy I'dt门FtdT。d_ft， dxtFuFx+IyFu+F； dxdxfx-ftdy 一Fx yFu+Rfx( yFu * Ft )ft Fxr dx 1-ft'yFu + Ft' +tft'FutFu yFu +Ft§ 3多元函数的极值定义1：设z =f xy ,在P xo，yo的邻域内有定义，Q x, y为该邻域内异于P Xo，y°的 任一点，假设恒有 f x,y f Xo，y° (或：:：f x)，yo)，那么 f Dy。为 f x,y 的 极小值(或极大值)。I -'

17、定义2：方程组 fx x,y =°的解，称为函数f x,y的驻点。fy(x,y)=oTh1 ：(取极值的必要条件) 设f x°, y°为f x, y的极值，且z=f x, y在P x°,y°处 '的两个偏导数fx x, y ,fy x,y存在，那么fx x, y °。fy(x,y )=°Th2 :(取极值的充分条件)设 z=fx,y在P x°,y°的邻域内有二阶连续的导数，且fx x°, y° =0, fy x°,y° =0,令：A 二 fx2 x°

18、;,y° , B = fx； x°,y° , C = fy2 x°, y°- 卄2A>0 (此时必有Ca0戶f(x°,y° )为极小值 右B -AC <0，那么(A <0 (此时必有C £0吕f (x0, y0 )为极大值 B2 - AC 0，那么f x0, y0不是极值；2 B -AC =0，用配方法判别。一无条件极值：fx(x, y )= 0令z=f x, y , 求出驻点及使，无解的点；fy(x,y )=0 求出二阶导数fx, fy2, fxy在中点处的值； 用Th3判别。二条件极值：设目标

19、函数u=f x,y,z的约束条件为 x,y,zi； = o。极值的求法： 化为无条件极值；利用拉氏乘数法。拉氏乘数法： 作辅助函数：令 F x, y, z = f x, y, z 亠门h x, y,z ;解方程:fx川冷x =0 fy=0fz：；yz =o：x, y,z =0得出驻点 xo,y°,Zo ;:x, y,z =0f xo,yo,zo就是所求的极值或最值。最值的求法:求函数z = f x, y在闭区域D上的最值。 先求z = f x, y在D内可能的极值点，求出对应的函数值; 再求z = f x, y在D的边界上的可能取值点，求出对应的函数值； 进行比拟，最大者为最大值，最

20、小者为最小值。2例13：求z = f x, y = xy 4 -x -y在由x y =16与x轴，y轴所围区域D上的最值。解：先求f x, y在D内可能的取值:解方程组 ' 2 2fx =y 4 - x-y -xy =0 fy = 2xy 4 _x _ y xy2 = 0= y = 2x x= 1,y =2=驻点为 1,2。2f 1,2 =1 24-1-2 =4 ；再求f x,y在D的边界上的可能取值:在 x 轴上，y=0, 0_x_6, f=0 ；在y轴上，x = 0, 0乞y空6, f =0 ；在x y二6上，令x = 6 - y，代入函数中， 2f y =6-yy 4-6 y-y

21、 = -2y 6- y ；f (y)=-22y(6-y)-y2 = 0 =y=4,x=2 ；f 2,4 =2 42 4 -2 -4 二-64 ；比拟后，得：max' f x,y 4, min、f x,y * 八64。DD2例14：求抛物线y = x上的点到直线 y = x-4的最短距离。解：y=x_4 二 x_y_4=0 ；d =yo 2 目标； yo=x。2 约束条件;Ji2 +(-1)22令 F xo, yo = xo yo "4亠 / I yo 'xo ；解方程组Lfx)- 2xo yo 4- 2 ' xo = :_!fyo= -2 xo - yo - 4 '= 02yo =xo 1 1二xoNyo二驻点为4 2 415 片min d =>/2 ；V282 2 2x