2019年离散傅里叶变换.doc

1、第三章 离散傅立叶变换（DFT）31引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然 可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导由反映 它的“有限长”特点的一种有用工具是离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法 在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变 换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处 理的算法中起着核心的作用。有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了更好地理解DFT,需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS o而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并

2、讨论傅 里叶变换的几种可能形式。（连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内， 除若干不连 续点之外，对于任意时间值都可给由确定的函数值，此信号 就称为连续时间信号。） 一、连续时间、连续频率一一连续傅立叶变换（ FT）设x（t）为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示:工o万gJCD武。=C条件二J卜（矶必00 ）必。）可以看由时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非连续，非周期 非上期，连4周期造成频域是连续的谱。、连续时间，离散频率傅里叶级数设f(t)代表一个周期为T1的周期性连续时间函数，f可展成 傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为 Fn , f(t)和Fn组成变换对， 表示为：f(

3、t) =Fnejn，-it2 二Ti =Ci )1 T1Fn =；2i f(t)eT1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信样间隔)。采样脉冲信号的频率为"号 p(t),周期用T表示(采_ 2 二sT11 ThIFTA r可以看由时域 连续函数造成频域是非周期的谱，而时 域的周期造成频域是离散的谱修续，周修(时域周期为Ti)三、离散时间，连续频率序列的傅里叶期，/散(离散间隔为Ci)变换OO-_ /X(ej0) = Z x(n)eu°n正变换：DTFTx(n)=n=二反变换：DTFT -1X(e% =x(n) =%冗二 X(j)jnd。可以 看由时 域离散 函数造 成频域是周期

4、的谱，而时域的 非周期造成频域是连续的谱X(e为级数收敛条件为| njxdn |= nllX(n)1 "很率：周4n和盅韵党问:盅融和周网I离散，非周斗（离散时间间隔为T）周%,连续1 （频域周期为2n= T）四、离散时间，离散 频率-离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运 算，因为至少在一个域（时域或频域）中，函数是连续的。因 为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的 情况，这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。区 |-|"口丁)| 二,卜Q =2"71 'I 4I 4 | H I ikQ =2t/7 I*口J时域抽样

5、间隔T,频域周期Cs=21/T, 时域周期T1,频域抽样间隔C1=2n/T1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设”)是周期为 N的一个周期序列，即 (n) = (n + rN ) , r 为任意整数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散 傅里叶级数来表示。离散傅里叶级数(DFS)对:正变换父(k)=DFS (n)=N 1x x(n)en=0，2NrknN 1 (nWN1kn=0-二二 k 二二反变换(n)=lDFS旬k)尸1 NJN±X(k)ejNkn1 N一、(k)WN11k=N kzo-二：n ：二式中，WN=e , k和n均为整数。N 1-j22kn、(n)e N观察X(k

6、) = nv()。X(k)是一个周期序列吗？如是,周期为多少？N 4_j-：kn=' (n)e N n 4=X(k)。N 1-j'(k mN)X(k mN) =' (n)e N n =e所以。父(k)是一个周期序列，周期为 N(n),周期为N1(k),周期也为NokINI1 Nj2N kn观察(n) = N*X(k)e " ，与连续时间信号与系统中的傅 里叶级数对应，表明将周期序列分解成N个独立谐波分量。第0次谐波序列e夺二基波序列ej2，第k次谐波序列 ej；%,第N-1次谐波序列ej沙，。谐波频率以=(2，/N)k, k=0 , 1, 2,，N-1 ,幅度

7、为(1/N)4(k)。例如：基波分量的频率为 2n/N,幅度是(1/N)X1)。一个周期序列可以用其 DFS表示它 的频谱分布规律。N 1 (n)W:n=0NJWkn' X(n)e N n =0例题：(n)如图所示，求(n)的DFS解：父(k)=DFS(n)=-jkne 8-二；k ；二1-，28 k4jk 二1-e _j"kn3'、X(n)e 8'、X(k)=ns=n. JIsin k, , -«<k”1 -ejT2j3k=1-e 8 =1-e 4_j3；k sin - k弁k j-k石ke 2 (e 2 飞 2 )T 二k j-k-j-k=

8、e 8 (e 8 -e 8 )=|X(k)|如下图所示。JUL山.ul 0 12 3 4 5 5 7N x(n)WNnk =nd0(3.1.(1)1 N J一、X(k)WNk =N kzo(3.1.(2)解：（1）DFT变换区间N=8 ,则:_j22k47二"x(n)eX(k)= n 田.21i3-j kn8 、=n z0JI-jTkn1 -e 8 j? =1 -e 81-ejk 二 k =1-e 4卢sin 9ke 8 2nsin 一 k8 ,离散傅立叶变换（DFT）周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的 离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列，这就可以得到 有限长序列的

9、傅里叶变换（DFT）。设x（n）是一个长度为M的有限长序列,N_j DFT变换区间 N=16,则: 15-j kn3-jkn '、' x(n)e 16' e 16 X(k)=n<=n/ 二 nk正变换 X(k)=DFT x(n) = nj(n)ek=0, 1, 2,，N-11 -j2"knX(k)e N 反变换 x(n)=IDFT X(k)= N n=0, 1, 2,，N-1式中Wn =e N , N称为DFT变换区间长度，N>Mo例 3. 1. 1: x(n)= R4(n),求 x(n)的 8 点和 16 点 DFTcn n I,15sin k1

10、6 , k=0, 1,DFS与DFT的关系 1、 有限长序列和周期序列的关系设x(n)是一个长度为 M的有限长序列，以 N (N>M) 为周期进行周期延拓得 (n)。(n)是x(n)的周期延拓。如下图所示:M=4, N=8, 用式子表75 :以N=8进行周期延拓。(n)的周期为8。' x(n rN ) x(n) = y或(2 = (门模N) = x(n)N, (n模N)表示n对N取余例：设(n)是以N=8周期对有限长序列 x(n)(长度M=4)进行周期延拓得到的。(七)=x(3), x(10)=x(2) o有限长序列进行周期延拓得到周期序列。定义：周期序列(n)中从n=0到N-1

11、的第一个周期为(n)的主值区间，而主值区间上的序列称为(n)的主值序列周期序列的主值序列是有限长序列利用前面的矩形序列符号RN(n)RN(n尸1 , 0<n<N-1.0 ,其他n x(n)= (n) RN(n)x(n)的周期延拓序列是；(n) = x(n) n(n)的主值序列是 x(n);x(n)= (n) RN(n)同理把频域周期序列父(k)也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。X(k)是0(k)的主值序列* > 、. 、 一一 X(k)的周期延拓序列是X(k) ； x(k) = X(k) n父(k)的主值序列是 X(k) ；X(k)=0(k) RN(n)具体而言，我们把时

12、域周期序列(n)看作是有限长序列x(n)的周期延拓；同理把频域周期序列X(k)也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到了一个关于有限长序列的时频域对应的 变换对。这就是数字信号处理课程里最重要的变换 离散傅里叶变换(DFT)。离散傅立叶级数(DFS)正变换 文(k)=DFS (n)=对：N_j，n% (n)e Nn王N(nW:n=0反变换 (n)=|DFS父(k)二-二：二 k ：二二1 N4 j2二kn1 N1 工 X(k)e N -Z X(k)WN'kN k =0= N k =0 二二 一一式中，WN=e , k和n均为整数。离散傅里

13、叶变换(DFT)N 1一、一'、x(n)WNnk正变换：X(k)=DFTx(n)尸n ( ), 0<k<N-1N 1 nk 反变换：x(n)=IDFT x(k)=N、X(k)WN , 0< n< N-1N Je'、 x(n)W;或：x(k)= n 且 RN(k)= X(k)RN(k)1 N 1'、X(k)WNkx(n)= N «RN(n) = x(n) RN(n)DFT隐含有周期性。DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT分别为：X(z) = £ x(n)z0<z <QO n =jodN 二

14、一 _ nkX(k) = DFTx(n)= Mx: 0<k< N-1比较上面两式可以得到：X(k)= X(z)|z 0<k< N-1(3.1.3)或X(k) = X(e出产常k, 0< k< N-1(3.1.4)(3.1.3)表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位 圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)表明X(k)是x(n)的傅立叶 变换X(e叼在区间0, 2兀上的N点等间隔采样。这就是 DFT 的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示 对X(e与在0, 2兀区间上的采样间隔和采样点数不同，所以 DFT的变换结果不同。例 3. 1.

15、 1中，x(n)= R4(n), DFT变 换区间长度N分别取8点和16点，X(k)结果不同。下图为 R4(n)的傅立叶变换X(e吗和R4(n)的8点、16点X(k)的对应图。BP 3.1.1 X*)与 X(L)的关系3. 2离散傅立叶变换的性质 一、线性设Xi(n)、X2(n)是两个有限长序列，长度分别为Ni, N2,且y(n)=a Xi(n)+b X2(n), a, b 为常数。N=maX Ni, N2。Xi(n)有限长序列，长度为 N；X2(n)有限长序列，长度为 N；y(n)有限长序列,长度为 N；Xi(n)的 N 点 DFT 为:Xi(k)=DFTXi(n)=0w kw N-1N_1

16、' Xi(n)WNnkn=0X2(n)的 N 点 DFT 为:X2(k尸DFT X2(n)=NX2(n)W:n=0y(n)的N点DFT为:0 w k w N-1N 1“ y(nWNnkY(k)=DFT y(n) = nN i一 _ _ _ _ nk(aXi(n) bX2(n)WN=n£=a Xi(k)+b X2(k)0<k<N-i二、循环移位定理i、序列的循环移位设X(n)为有限长序列，长度为y(n) -X(n m)N Rn (n)(322)表明先将 x(n)以NN ,则X(n)的循环移位定义为(322)为周期进行周期延拓得到序列(n) = X(n)N,再将(n)

17、左移得到X(n + m),最后取X(n + m)主值区 间(n=0至U N-i)上的序列值，则得到有限长序列 X(n)的循 环移位序列y(n)。过程如下图所示：y(n) =x(n m)N Rn (n)阳) 1Md /111” ")1° 产L I 川j - trillhrlhrnllinill - *i *%(胃+»1-Inuihnrlbnrllli -； 其)|。 |N| II II tjni = Jt(小十2).次EJ卜111一.-"图3.2.1循环移位过程示意图(N = 6)2、 时域循环移位定理设x(n)为有限长序列，长度为 N, y(n)为x(n

18、)的循环移 位序列，即 y(n) =x(n+m)N RN(n),则 mk -Y (k) =DFTy(n) =DFT x(n m)n Rn”)= Wn X(k)其中 X(k)=DFTx(n) , 0<k<N-1Nx(n m)N Rn (n)WNkn证明：Y(k) =DFTy(n) fN -4'、x(n m)NWNkn =n =0令n+m=n ,贝U有N 口加 x j'k(n -m)x(0)nWnY (k)= n amN 1-；m'WN*m、x(n)NW；n一 =n =m由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间

19、，则得：N 1Wnj x(n)NWNknY (k)= n 卫N 1km - z ' knWnx(n)WN ' = n 0=WN”mx(k), 0<k<N-13、 频域循环移位定理如果 x(k)=DFTx(n) , 0<k<N-1Y(k)=X(k 1)nRn*)则：y(n)=IDFT Y(k)尸W；x(n)N 11 X(k l)N RN(k)WNAn 证明：y(n) =IDFT Y(k)= n yN 1-x X(k l)NWN”n=N k 任令k+l =k',则有:Nly(n)=二 WNnl= WNnl= WNnlL' X(k')N

20、WNXk)nN k'土Nil-、X(k)NW/nN k'±)N 1I、X(kj)NWN“n、N kN)工工 X(k')WN,nN k'6N 1= WNnlx(n)三、循环卷积定理有限长序列 x-(n)和x2(n),长度分别为Ni和 心,N=maxN1, N2。xi(n)和X2(n)的N点DFT分别为:Xi(k尸DFTXi(n)X2(k尸DFT X2(n) 如果 X(k)= X i(k) X2(k)则：x(n)= IDFT X(k)=N JXi(m)x2(n-m)N1RN(n)m=0循环卷积过程:工式(一市)独-回uin二-0 1134567 nnn,

21、mIjil-循环卷积过程中，要求对循环反转，循环移位，特别是两个长度位N的序列的循环卷积长度仍为No显然与一般的线性卷积不同，故称为循环卷积。记为： x(n)二 X1(W)(S)X2(77)NXi(m)X2(n -m)NRN(n)= m=0四、复共辗序列的DFT设X(n)是x(n)的复共辗序列，长度为 N, 已知 X(k)=DFT X(n),贝U DFT X*(n)= X*(N -k) 0< k< N-1日 X(N)=X(0)N 4*2： X (n)WN1k证明：DFTX(n)=n$ RN(k)N 1 n -_nk *x(i)Wn =n. ' "Rn(QN _1x

22、(n)wNN-k)n*=nJRN(k)*=X (N -k)NRN(k)* _ _ _ _ .=X (N-k), 0<k<N-1已知 X(k) = DFT x(n), 则 DFT x*(N -n)= X*(k)证明： . X(k) = DFT x(n),即1x(n)=IDFT X(k)= NN1 Nj27：kn'、. X(k)WNkX(k)e Nk=0= N k 印N 二 1( N _n) kX (k)WNx(N -n)= N 匕1 N 1 X X(k)WNnk=N k m1 N 1*'、 X(k)WN1kx(N -n)= N" - N N 1 一、X*(k

23、)WN“k =N k z0=IDFT X (k) 即 DFT x*(N -n)= X*(k)五、DFT的共辗对称性第二章2.2节中已详细讨论了序列傅立叶变换的对称性，那里的对称性是指关于坐标原点的纵坐标对称性。DFT也有对称性，但由于 DFT中讨论的序列x(n)及其离散傅立叶变换 X(k)均为有限长序列，且定义区间为0到N-1 ,所以这里的对称性是指关于 N/2点的对称性。下面讨论DFT的共辗对称 性质。1、 有限长共辗对称序列和共辗反对称序列为了区别于序列傅立叶变换中所定义的共辗对称和共辗反对称序列，下面用xep(n)和xop分别表7K有 限长共辗对称序列 和共辗反对称序列。二者的定义如下：

24、.*Xep(n) = Xep(N n) , 0WnWN-1 *弱=_ Xop(Nn), o< n<N-1(关于N/2点的对称性) 当N为偶数时，将上式的.N -、* N 一、Xep(- -n)_Xep(万 n)当N为奇数时，将上式的n换成N/2-n ,得到0<n<N/2-1n换成(N-1)/2-n ,得到,N -1 八 * N 1.、0<n<(N-1)/2-1Xep(2n) _Xep(2n)任意有限长序列X(n)可表示成共辗对称分量和共辗反对称分 量之和。X(n) = Xep(n)+Xop(n)0<n<N-1将上式中的n换成N-n,弁取复共轲，得

25、到：*x (N -n) = Xep(N -n) + Xop(N -n)=Xep (n) . Xop (n)1/. xep(n) = 2 ( x(n) + x*(N n)1xop(n) = 2 ( x(n) x*(Nn)2、 DFT的共辗对称性(1)将有限长序列x(n)分成实部与虚部，即:x(n)= Xr(n) +j Xi(n)则：X(k) =Xep(k) Xop(k)1*证明：xr(n) = 2 (x(n) + x(n)1DFT xr(n)= 2 ( X(k) + X (Nk)=*即出)1j 为=2 ( x(n) -x (n)1， 、 _ _ _ * 、DFTjxi=2 ( X(k) -X (

26、N-k)= Xop(k)(2)将有限长序列x(n)分成共辗对称部分和共辗 反对称部分，即x(n) = xep(n) + xop(n) , 0 w n w N-1则：X(k) =XR(k) jXi(k)1证明：xep(n)=2 ( x(n) + x*(N -n)1DFTp=2 (X(k)+X*(k)= XR(k)1xop(n) = 2 ( x(n) -x*(N -n)1DFT xop(n)= 2 (X(k)-X*(k)=jXi(k)3. 3频率域抽样理论时域采样定理告诉我们，在一定条件下，可以由时域采样信号恢复原来的连续信号。那么能不能也由频域采样信号恢复频域连续信号？频域采样理论是什么？已知序

27、列x(n)及序列x(n)的长度为 M。x(n)的Z变换为：X(Z)Lx(n)z因为X(z)收敛域包含单位圆，所以其 序列傅立叶变换X(ej°)存在。对X(ej«)在区间0, 2兀上进行N点等间隔采样(对 X(z)在单位圆上进行 N点等间隔采样)，得到X(k)x(k) 二二_j 24kn2 二：x(n)e NX(k)= X(z)|zNn = ns -，0<k< N-1将X(k)进行IDFS得周期序列X(n),取X(n)的主值序列XN(n), 刈与原序列x(n)相等吗？相等的条件是什么？由此导由 频域采样定理。x(n)=IDFS X(k)N 1z X(k)WNk=N

28、 k z01 N J一、'X(k)WN"k=N k=oN 二x(m)wNmWN"k=N k 斗 m二-.Nd'、x(m) % W：mWN”n=m -.： ：N k f= x(n+rN), r 为整数oO二 x(n rN)q NN NJ一、wNmWn" = 一". wNT')AT N kfN kf=J1 m=n+rN , r 为整数| 0 其他moO q x(n rN ) x(n) = rao从上式得：X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFS, 为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列。x(n rN ) 一 ，、 ，八八

29、八、xN(n)= x(n) RN(n)= rRN(n)(3.3.3)所以只有当频域采样点数N>M时，才有xN(n)=IDFT X(k)= x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n),否则产生时域混叠 现象。这就是频域采样定理。满足频域采样定理，NAM,即可由频域采样x(k)来表示的x。设序列x(n)长度为M,在频域02兀之间等间隔采样 N 点，N>MoN 1X(z) = x( x(n)zJn=0X(k)= x(z)|z户，0<k< N-1根据频域抽样定理,1 NX(k)WNkx(n) =IDFT X(k)= N yN 1 N,X(z) X(k)WN"kz

30、n 0 N k=0 .NdN 1 一 '、X(k)，WN"kz=N k z9n z9,1NJX(k)1-WNNz-=N«()1-Wn'zN11 -z-NX(k)zk-=k =0N 1 - WN zNk(z) = 1 zkN1-Wn"z，称为内插函数N 1、X X(k) k(z)X(z)= k=e,称为内插公式k()=当z=e时,11-ejNN 1 _qT(，£ k)eX(ej )='、X(k)；()k=0进一步化简，可得：1sin(飞/2)屋4)N sin( /2)N 12 -X(ej) =(k) (1k)我们将会看到，频域采样在

31、数字滤波器的结构与设计中，理论及有关公式可提供一种有用的滤波器结构和滤波器 设计途径。3. 4 DFT的应用举例一、求两个不同实序列 Xi(n)、X2(n)的N点DFT。x(n) = Xi(n)+jX2(n)11. . _ _ . * _ _ _ . * 、 x(n) 7 X(k) 7 X (N k) - 2 ( X(k) + X (N -k) ) 7 2(X(k) -X (N -k)利用DFT的共辗对称性1DFTX(n)=2 ( X(k) + X (N-k)=*即出)1，、 _ _ _ * 、DFTjXi(叫=2 ( X(k) -X (N-k)= Xop(k)1DFTX(n)= 2j ( X

32、(k) -X (N -k)二、用DFT计算线性卷积1、 线性卷积x(n)线性移不变系统h h(n)Z x(m)h(n - m)设两序列分别的长度是为(N+M-1 )n和m ,缴n)卷陋循h(n例长度2、 循环卷积xi(n)和X2(n)的N点DFT分别为:Xi(k尸DFT xi(n)X2(k尸DFT x2(n) 如果 X(k)= X i(k) X 2(k),则：x(n)= IDFT X(k)产0<k< N-1N 二X(m)x2(n-m)N1RN(n)m 0x(n)=与(77)(©%2 (司)3、 循环卷积的计算由于DFT有快速算法FFT,当N很大时，在频域计算 的速度快得多

33、，因而常用 DFT (FFT)计算循环卷积。/楫)力伊j要3,九1用DFTif算爆部卷枳4、利 用 循 环 卷 积计算线性卷积在实际应用中，为了分析时域离散线性系统对序列进行 滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。与计算循环卷 性卷积。而DFT只能直接用来计算循环卷积。积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT (FFT)计算线线性卷积和循环卷积之间有什么关系？假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积oO二 h(m)x(n-m)yl(n) =x(n) h(n)= h(n) x(n)= m=二N 4“ h(m)x(n -m)=m J ,长度为 N + M 1 。取L

34、 > maxN , M , h(n)和x(n)的循环卷积yc(n)= h(n) x(n)=L Jh(m)x(n -m)LRL(n) mO，、Z Z XXx(n) =x(n) L =oO“ x(n rL)r - -.：L J二,v h(m)v x(n -m rL) RL(n)二二 N。二二 h(m)x(n -m rL)RL(n)r -.： ：m=0oOyi(n rL)R(n)r -：上式说明，yc(n)等于yi(n)以L 的主值序列。yi(n)的长度为N+M-1(3.4.3)为周期进行周期延拓序列 ,因此只有当循环卷积长度 LAN+M-1 时,yc(n)等于 y(n)o yc (n) =

35、m £ r 二二例如：如下图所示，N=4, M=5,线性卷积长度=8,当取循环卷积长度为 6时，%(n)wyi(n)当取循环卷积长度为 8时，,=yi (n)当取循环卷积长度为 10时，yc(n)=yl (n)JlBj小结：取L=N+M-1 ,可用DFT计算线性卷积。这种方法称 为快速卷积。用 DFT计算线性卷积的框图如下：图3. 4. 3用DFT计JT线性覆枳1ff图当M > > N时，L=N+M-1 , h(n)需补很多零点，且长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存储容 量大，运算时间长，如在处理地震信号和语音信号时。实际 中采用的方法是将长序列分段计算，这

36、种分段处理方法有两 种：重叠相加法和重叠保留法。5、 重叠相加法设序列h(n)长度为N, x(n)为无限长序列。将 x(n)均匀 分段，每段长度取M ,则Q0x(n) =Xk(n)k=0 式中Xk(n) =x(n)|_RM (n -kM)h(n)和x(n)的线性卷积OO “ xk(n)y(n) ) h(n) x(n)= h(n) " QO % h(n)* xk(n) =k =0QO' yk(n) =k =0式中 yk(n) =h(n)* xk(n)运算过程如下图所示：图3. 4. 4*叠相加法於花示意图每一分段卷积yk的长度为N+M-1，因此yk与yk书有N-1个点重叠，必须

37、把重叠部分的yk与yk书相力口，才能得到完整的卷积序列y(n)o这种方法不要求大的存储容量，且 运算和延时也大大减少。三、用DFT对信号进行谱分析所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。连续信号 与系统的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使 其应用受到限制，而 DFT是一种时域和频域均离散化的变 换，适合数值运算。对连续信号和系统，可以通过时域采样, 应用DFT进行近似谱分析。1、 用DFT对连续信号进行谱分析傅立叶变换理论:若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限 宽，则其持续时间无限长。所以，严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。 但在工程中，常用 DFT对连续信

38、号进行谱分析。对于持续时间无限长的信号，采样点数太多以至无法存 储和计算，只好截取有限点；对于频谱很宽的信号，为防止 时域采样后频谱混叠失真，可用预滤波法滤除幅度较小的高 频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。这样，连续信号Xa(t)持续时间为有限长， Xa(jC)为有限带宽。为了利用 DFT 对Xa进行频谱分析，先对 Xa进行时域采样得 x(n),再对 x(n)进行DFT得到X(k) ,X(k)为x(n)的傅立叶变换x(ejc0)在频 率区间0, 2町上的N点等间隔采样。这里 X(k)和x(n)均为 有限长。所以用DFT对连续信号进行谱分析是近似的， 其近 似程度与信号带宽、采样频率和截取长

39、度有关。设连续信号xa持续时间为Tp,最高频率为fc工川fXa(j)= ：Xa(t)e'%tXa(jf)=FTXa(t)=二 Xa(t)e2一%tJ_QO一,、一、，、一 T 一, 一对Xa以米样间隔2fc米样得X(n)=Xa(nT)o设共米样 N点，并对Xa(jf)作零阶近似，t=nT ,出=丁 得：N 1X(jf) T Xa(nT)e2二fnTn=0o_ j X，W JT-t7"° fjz a显然，X(jf)仍是f的连续周期函数，如上图 b所示c对X(jf)在区间0, fs上等间隔采样 N点，采样间隔 为F,如下图c所75。小门F .闻.'上1II 11

40、 H_ 上HmH I I樽 7图品 4. 5用DFT计算连信号襄诣原理参数fs、Tp、N、F的关系:11fs = T , TP = Ffs= NF , Tp= NT1F= fs/N= NT将f =kF代入X(jf),得到X(jf)的采样：N 1_j二 knX(jkF) T xa(nT)e NnJ, 0<k<N-1令 Xa(k) = X(jkF) , X(n)=Xa(nT), N 1-jknT% x(n)e N 二T DFTx(n)Xa(k)= na(3.4.7)用同样的方法，由Xa(t) = ；：Xa(j /&推由：Xa(t) =二 Xa(jf)eidf-adt=nT, df=F ,x(n尸 xa(nT) =f 二kFNj2%> Xa(k)e Nn =0N 1.2 ,1jknFN(- Xa(k)e N )二N n z01(3.4.8)= /IDFT Xa(k)(3.4.7)说明，