高中数学数列和不等式

1、、单选题：30题，每题函数y f高中数学数列和不等式2分，共60分函数g x b f 2g x恰有4个零点,b的取值范围是（）B.7C.0,-4D.7一,24中,a,b,c 分别为 A, B,C的对边，如果a,b,c成等差数列,ABC的面积为B.C. 2D.3.函数f（x）（a R ）的图像不可能是（）|x|C.4.若集合AD.y | yC. A U B R4 1 ,则(D. A B5.设等差数列an的前n项和为Sn,右a1 11, a4 + a6 = 6,则当Sn取最小值时，n等于（）A. 6B. 7C. 8D. 96 .在R上定义运算x y x（1 y）,若不等式（x a） （x a） 1

2、对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）试卷第4页，总5页B.D. 0 a 27.在C中,角 A,B,C所对的边分别为a, b,c ,若 sin2sin Acos C 0 ,则当cos B取最小值时,D,正28 .如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1 ,则该几何体的体积为（）A.3B.26C.”D.323?：-?+ 1 09.设？ ？满足?+ ?+ 1 W0,那么 2?勺最大值为（A.-310.若不等式A.8,b11 .直线C.?+1 0B. -2C.-1D. 18x 910l 经过 A(2,1),0, y7和不等式2axbx的解集相同，贝Ua, b的值为C.1, b

3、92B（3, t ）（t R）两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）B.D.12.若直线经过？?（1,0）,?（2,区）两点，则直线135B. 120C.07t0,”，)?倾斜角是60D. 4513.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 b2a2 bc 若sin B sin Csin 2 A ,则 ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形14.已知直线1i： ax+2y+8= 0 与12： x+ （a1）y+a21 = 0平行，则实数a的取值是A. 1 或 2B.C. 0或 1D.15.等比数列中，a29, a5243,则an的前4项

4、和为（）B.120C.168D.19216.函数f (x)1在区间（k,k 1） （kN ）内有零点，则kB.C.D.17.已知(n N + ),an 的前50项中最小项和最大项分别是（A . a1, a50B.a1 , a8C.a8 , a9D . a9 ,a5018.已知数列为等差数列，其前n项和为S,2a7a8=5,则 S11 为B.55C. 50D,不能确定19.如果axbxc 0的解集为x|-2vxv4,则对于函数f (x) ax2bx c应f ( 1) B. f (2)f (5) f ( 1)C.f ( 1)f (2)f (5)D. f (2) f ( 1) f (5)20.ABC

5、中，角A,B,C成等差，边a,b,c成等比，则 ABC 一定是A.等边三角形B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形21 .在锐角 ABC中，已知A B C ,则cos B的取值范围为（A(0, 争C. (0,1)、2D- (一,1)222 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题:今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为 自知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?“（钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得4C.一钱3D. 2钱4试卷第6页，总5页.x 223.

6、不等式 & 0的解集是（）x 1A. (, 1)U ( 1,2 B. 1,2C. (, 1)U2,) D. ( 1,2试卷第9页，总5页24. UABC 中，A=, BC = 3,则 UABC 的周长为()A . 4 V3sin( B -) 33itC. 6 sin( B-)33B. 4 V3sin( B-)36itD. 6 sin( B-)3625.已知等差数列an中，a2=7, a4=15,则前10项和Sw=（A. 100 B. 210C. 380 D. 40026.已知全集为 R,集合A = x|x1 W1 B = x| x2 6x+8W0,则 An (URB)=2A. x|x 427.

7、若实数a,b （0,1）,且满足（1 a）bA . a bC. a b28 .给出下列不等式：Ua2 3 2 a； U中恒成立的不等式的个数为（）A. 3B, 229 .直线 y kx 1 与圆 x2 y2 kx y等于（）A. 0B. 130 .下列结论中错误的是（）b aA .右 ab 0 ,则一一2 a b最小值为2C.函数y 2x 2、的最小值为21ln x 2ln xB. x|2 x41,则a, b的大小关系是4B. a bD. a ba2 b22(a b 1)； Ux2y22xy .其C. 1D, 01 0的两个交点恰好关于y轴对称，则kC. 2D. 31B.函数 y cos x

8、( 0 x -)的cos x2D.若0 x 1 ,则函数、填空题：10题，每天2分，共40分31 .设x、yUR + , S=x+y, P=xy,以下四个命题中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）U若P为定值m,则S有最大值2而；U若S=P,则P有最大值4 ；U若 S=P,则S有最小值4; U若S2/P总成立，则k的取值范围为k0,b0）过点（1,2），则2a+b的最小值为36.若正数X、xy ，4y的最小值等37.已知实数Xy满足约束条件(用区间表不).,则sin( x y)的取值范围为38.已知e O ：1.若直线kx2上总存在点P,使得过点P的e O的两条切线互相垂直，则实

9、数k的取值范围是39 .若关于x的不等式12x 2x mx2的解集为 x 0 x 2,则m40 不等式ax2 bx 20的解集是 x【解析】数学参考答案1. D函数F 二/一虱幻恰有4个零点，即方程f(x)-鼠戈)=0 ,即5= /C0+/Q-幻有4个不同的实数根，即直线y =5与函数 = /(jc) + f(2 -x)的图象有四个不同的交点.工+x+2rx 2做出该函数的图象如图所示,由图得，当：二5 42时，直线】，=匕与函数=/(力+ /。一用的图象有4个不同的交4与八、5故函数,=/(X)-皂恰有4个零点时，(7 b的取值范围是：工=2 故选D.考点：1、分段函数；2、函数的零点.【方

10、法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题.已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确，否则很容易出现错误.试题分析：由余弦定理得 b2 a2 c2 2c cos B (a c)2 2ac 2ac cos B ,又面积1S 一 ac sin BABC 21 3ac ac 6 ,因为a , b , c成等差数列，所以a c 2b ,代入上式可得42b2 4b2 12 6#,整理得b2 4 2所,解得b 14,故选B.考点：余弦定理；三角形的面积公式.3. A【解析】【分析】由于函数f (x)的解析式中含有参数 a ,因此可考虑

11、对a直接进行取值，然后再判断f(x)的大致图象即可.【详解】直接利用排除法：U当a 0时，选项B成立；21_U当a 1时，f(x) x函数的图象类似D;21U当a 1时，f(x) x 口，函数的图象类似 C;故选A.【点睛】本题主要考查函数图象的辨析，难度较易.4. A【解析】【分析】解出A, B集合，即可选出答案。【详解】A 集合：x x 10 x 1 或 x 0B 集合：y &_1y 0根据不等式关系知 B A 。答案第3页，总19页【点睛】 本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题。5. A【解析】分析：条件已提供了首项，故用“1, d”法，再转化为关于 n的二次函数解得.解答：解：

12、设该数列的公差为d,贝U at+a6=2ai+8d=2 x (-11) +8d=-6 ,解得d=2 ,所以 Sn=-iin+n n 1x 2=nM2n=(n-6)2-36,所以当 n=6 时，Sn取最小值.2故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力.6. B【解析】【分析】 把不等式(x a) e (x a) 1对任意实数x都成立，转化为x2 x a2al 0对任意实数x都成立，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，可知不等式 (x a)e (x a) 1对任意实数x都成立，又由(x a) e (x a) (x a)(1 x a),

13、即x2 x a2 a 1 0对任意实数x都成立，1 3所以 1 4( a a 1) 0 , IP 4 a4a 3 0,斛得一a ,2 2故选B.【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题，以及不等式的恒成立问题，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为一元二次不等式的恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.7. C【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理角化为边，得到22b2c一a,再由余弦定理得到2cos B 3a 进而得到结果4 c 4 a 2【详解】2222,222a 2b -c 0 , b由正弦定理、余弦定理得b 2a?ar 02ab

14、cos B22 , 2a + c -b223a + c答案第6页，总19页2ac4ac当吧 ,即a 43时cos B取最小值.4c 4a c 3故选C.【点睛】 解三角形的常见思路有：1.解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角 形中有关边、角的范围问题 .利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如a b,ab,a2 b”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2.注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等；3.正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意

15、应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解8. A【解析】2的球的-与半径为1的【分析】 由三视图还原原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为,1 球的一，再由球的体积公式计算即可.4 3由三视图还原原几何体，如图所不，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的与半径4为1的球的-,4其球的组合体的体积V 3 323 - 413艺.43433故选A.【点睛】本题考查了三视图还原原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题.9. D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，平移目标函数经过可行域，利用z的几何意义，求出答案即可【详解】? ?+ 1 0,?满足?+ ?+ 1 0,令z=2x-y,当直

16、线经过点 A (0,-1)时，在y轴截距最小，z最大,所以目标函数z=2x-y的最大值为2 X0- (-1) = 1故选D.【点睛】【解析】本题考查了简单的线性规划问题，解题关键在于利用z的几何意义，属于基础题10. B根据题意可得|8x+9|7U 2x -,4故由x 2x2的解集可知xi=2, X2=-j是一元二次方程 ax2+bx2=0的两根，根据根与系数的关系可知xix2=-* =- Ua=-a 24, xi+x2= = Ub= 9, 故选 B.a 4y Vi先通过k 求出两点的斜率，再通过 k tan 求出倾斜角的值取值范围。x2%30,一），）24【详解】k tan2t 1,t R,

17、 tan 1,）3 2故选A.【点睛】已知直线上两点求斜率利用公式tanV2 V1x2x1需要注意的是斜率不存在的情况。12. C【解析】【分析】利用斜率公式求出直线 ？?？根据斜率值求出直线 ？?？倾斜角直线？?砌斜率为吗?刃_=3，因此，直线？?砌倾斜角为60,故选：C.2-1本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b=c,最后判断出三角形的形状.【详解】在UABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,15. B答案第8页，总19页且 b2+c2= a2+bc.2a bc2bc2bc

18、由于：0vAv Tt,故：A .由于：sinBsinC= sin2A,利用正弦定理得：bc=a2,所以：b2+c2-2bc=0,故：b=c,所以：UABC为等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.14. A【解析】【分析】 直线 11 : ax by c 0,与直线 12 : dx ey f 0 平行 a : d b : e c : f【详解】2a :1=2:( a 1)8 : (a 1) a 1或 a 2 ,选 A.【点睛】本题考查由两直线平行求参数.【分析】根据等比数列的性质可知a53q ,列出方程即可

19、求出a2. a2 一 .q的值，利用 一即可求出a1的值,q然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前n项和的公式即可求出an的前4项和.a a5Q a22433q 27 ,解得又a13 3,则等比数列an的前4项和S443 1 3 120 .1 3故选:B.答案第20页，总19页al, n, q, an,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量Sn, 一般可以 知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.16. A因为k N ,所以k 0 .2 一1,，、y = x和y 1在k,k 1上单调递增 x由零点存在性定理知最多有一个零点，又根据题意知有零点，所以只能有一个5f

20、 (1)10, f(2)0 ,所以零点必在 1,2 k 1故选A.2点睛：本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.如果函数y f x在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b 0,那么函数y f x在区间a,b内有零点，即存在c a,b ,使彳# f c0,这个c也就是方程f x0的实数根.但是反之不一定成立17. C【解析】根据函数y x Y79单调性确定数列 a。的前50项中最小项和最大项. x . 80【详解】因为y x_W79 =1+ 8079在(，80)上单调减，在(J80,)单调减，x 80 x _ 80所以当 x (,J86)时丫 (，1),此时 a。 a8

21、，aj(,1),当 x (国,)时y (1,),此时ana50 ,ag(1,),因此数列 a。的前50项中最小项和最大项分别为a8，a9 ,选C.【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数cf (x) a 性质.x b18. B【解析】U数列a。为等差数列，2a7a8 = 5, U a6 a8a8 5 ,a1 a11 11可得 a6=5, U S11 =11 a6 =55.2故选：B.19. D【解析】【分析】不等式 ax2+bx+c0 的解集为x| - 2vxv4,可得：av

22、0, -2, 4 是 ax2+bx+c=0 的两个 实数根，利用根与系数的关系可得：函数 f (x) =ax2+bx+c=a (x2-2x-8) =a (x-1) 2- 9a, (a0 的解集为x| - 2 v x v 4,Ua0, - 2, 4是ax2+bx+c=0的两个实数根，U - 2+4= - , - 2X 4=. aa那么对于函数 f (x) =ax2+bx+c=a (x2-2x-8) =a (x-1) 2-9a, (af (3) f (5),Uf (2) f ( 1) f (5),故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、主个二次”的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

23、.20. A【解析】U LABC 中，角 A. B. C 成等差,U B=A+C,又 A+B+C= , LB=-.U边a、b、c成等比数列，Lb2=ac.再由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos-,3Uac=a2+c2- ac,(a- c)2=0, Ua=b=c,故 UABC 一定是等边三角形。本题选择A选项.21. . A【解析】U在锐角三角形 ABC中，ABC, A+B+C=bU A 2B - 2B , LB 一 24y冗又B 2,Uocos B本题选择A选项.22. C【解析】甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的a1,a2,a3,a4,a5a1 电 a3 a4a52 al,

24、即选C.23. D【解析】【分析】将不等式0转化为解.依题意，不等式化为解得-1VXW2,3 al9d不等式组a1d3r 4,甲所得为一钱，故13由一元二次不等式的解法求本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解24. D根据正弦定理分别求得AC和AB ,最后三边相加整理即可得到答案.根据正弦定理BCAC BCABAC sinBsinABCsinAsinB sinA sin (120 B)2/3sinB, AB sin 120VABC 的周长为 2j3sinB3cosBJ3sinB3本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.BCB sinA6sin( B3cosB 、3

25、sinB ,一)3 .625. B【解析】设等差数列 an的公差为d ,则2d a4 a28 ,解得d 4 ,所以 ai a2 d 7 4 3 ,10 9所以数列 an的前10的和为Sio 10 ai d 10 3 45 4 210 ,故选B.226. C【解析】【详解】A=x|x0 B = x|2 荚W 4 UAA LRB = x|x 0 卜4 或 x4.故选 C.27. D由 (1 a) b【详解】(11一，从而得解21 1因为 a, b (0,1),且满足(1 a)b 一，所以 J(1 a) b 一， 42 (1 a) b1 a b 1又 J(1a) b ,所以 一,所以b a ,222

26、故选D.本题主要考查了基本不等式的应用比较大小，属于基础题28. C根据不等式的性质，利用作差法逐项检验即可求出22因为a 3 2 a a 120 ,所以U正确;2y 2 xy22因为a b 2 a b 1U u错误.故恒成立的不等式的个数为 1.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，作差比较法，属于中档题29. A【解析】【分析】直线方程与圆的方程联立，根据交点关于y轴对称可得xi X20 ,从而构造出关于k的方程，解方程求得结果ykx1由22xykx【详解】22得：1 k x 2 kx 10y 10. .2 k,一Q两交点恰好关于 y轴对称x1 xT 0 ,解得：k 01 k本题正确选项

27、：A【点睛】本题考查韦达定理在圆的问题中的应用，属于基础题30. B【解析】【分析】根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.【详解】对于A,由ab 0知，一0, 0,所以？2.| 2 ,故选项A本身正确；对a bab I a b1,y cos x 2 cos x cosx cos x2 ,但由于cos x 在0 x 时不可能cos x2成立，所以不等式中的”实际上取不到，故选项 B本身错误；对于 C,因为xxxy 222.2 22,当且仅当x ,即x 0时，等号成立，故选项 C本身正确；对于D,由0 x1 知，lnx 0 ,所以 lnx+111 ln x 2 I In x =-2 ,故选项 D本

28、身正确.故选B.In xIn xIn x【点睛】本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题四个命题中，分别利用基本不等式求出最值，从而可得结果【详解】对于U,当p为定值m时，S x y 2 J/ 2而,即S应有最小值2而，U不正确；对于U, S P时，xy x y 2x7y 2得出Pm 4 , U不正确；2y 4Smin4, U 正确； 2x y 22xy 4 ,所以 k 4 , u正xyxy对于 u,由 x y xy x45 22对于U, S2 kP k 一，因为S pp确，故答案为u u.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理

29、解和掌握 ,正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立）.32. 2后【解析】1-ab sin C 和2一,一 ，一、一，3a24因为C = 2 , b = 1723，由于弦7E理知 cos C产 由面积公式 s,2 v2a28-a2 sin C 2得：S当a212时，面积S取最大值2 V2，故填2后.点睛:涉及三角形的面积问题，一般要利用面积公式及余弦定理，通过余弦定理得到角的余弦,再转化为正弦，一般得到某

30、个边的二次三项式，利用配方法求其最值133. ( ,1)2【解析】2a 1 时，由 10g21 a212,所以无解；当2a时,1 log 2a-一 ,所以一综上a的取值范围是1一,12,1故填一,12224 a 16122- . (a2 12) 2 12834. 4由已知可得,1a2abab1a2 ababab满足均值不等式成立的条件,使用均值不等式求最值即可由已知可得,12a abababababab当且仅当a本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题4ab 4 a428a b当且仅当35. 81212Q 1 2a b (2 a b)() ababb 2 a时取等号.点睛：在利用基本不等式求

31、最值时，要特别注意 拆、拼、凑”等技巧，使其满 足基本不等式中 止”即条件要求中字母为正数 卜 巡”不等式的另一边必须为 定值）、等”等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误 36. 9【解析】 【分析】，、11 一一 -把要求的式子变形为 x 4y ,利用基本不等式即可得结果 .x y 【详解】11x y11x y52 7?9 ,因为x + y xy ,所以一 一 1x 4 y x 4 y x 4 y 1- 4y xx 4 y当且仅当一 1 时取等号，故答案为 9. y x【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 工正，二定，三相

32、等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其 次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立）.37. 0,1【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移直线y x ,求出x y的取值范围，从而得到 sin（ x y）的取值范围【分析】不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,答案第22页，总19页易得 A( ,0) , B(,)，C( ,0),令 z x y ,可得 y x z, 666平移直线y x ,易得z在点A处取得最小值为-,与直线x y重合时取得最大值为， 即x y的取值范围是,故sin( x y)的取值范围为0,1.6【点睛】从历年高考题目来看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往