二次函数典型例题解析与习题训练

1、)二次函数一i、知识点梳理2c,b, bx c(ay axxy)0a叫做，1.定义：一般地，如果那么是常数，的二次函数2cbx y ax y.轴的抛物线一次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)2.2)0,c是常数，a ax bx c(a,by二次函数a>0a<0yyx 0x0(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；bb ,顶点坐标是(2 ()对称轴是 x=,2a2a2bac 4 ；) a4b )在对称轴的左侧，即当(3x<时，ya2的增大而减小；在对称轴的右侧，随xb的增大而增大 即当x>x时，y随2ab (4)抛物线有最低点，当x=y时，有a224ac b y最小值，最

2、小值4a)抛物线开口向下，并向下无限延伸；(ibb ,顶点坐标是2)对称轴是x=(a22a2ac b4；) 4ab 时，(3)在对称轴 的左侧，即当x<a2随x的增大而增大；在 对称轴的右侧，b的增大而减小y随即当 x>x时，a2b y时，(4)抛物线有最高点， 当x=a22b4ac y最大值，最大值a4用待定系数法求二次函数的解析式3. 2ycbx axy x.已知图像上三点或三对1 () 一般式：、的值，通常选择一般式.).).)顶点式已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点 aab求抛物线的顶点、对称轴的方法a.顶点，对称轴是直轴的交点坐通常选用交点式交点式已知图像 ab

3、 ba,由是方的两个根，aAba中抛物的作决定开口方向及开口大小，开口向下 >,开口向上越大，开口越左同右决定抛物线对称轴轴时，对称轴轴左侧同号)时，对称轴(.(异号)时，对称轴轴右.轴交点的位决定抛物线，抛物线经过原点轴交于正半轴轴交于负半 a轴的交点个决定抛物线个交，个交点).),无交 二、例题解x+m已知：二次函数 y=)写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标轴上为何值时，顶点求时二轴交抛物线于另一轴交若抛物线 Aao二次函数的解析式轴的上方，即顶点的纵坐标为正)顶点【分析】)用配方法可以达到目的；的值两点的纵坐标是相等的，从而可求轴A, 开口向上中，二次项系y=a=1>x

4、+【解答】):由已x+m=又y=+mx .,.对称轴是直x,顶点坐标为)轴上方):顶点>0, ,顶点的纵坐标大 m轴上方m时，顶点x=, y=)轴交点的坐标即抛物 y=x+A点的纵坐标=x+m=时，解) 中 AB=OABAROAB= ao8, m 1 1 =故所求二次函数的解析式y=x+y=的符号与函数性质及位置的关系是解答【点评】正确理解并掌握二次函数中常b ).)题的关键之处的图+bx+y6x+5=的两个实数根， m<,抛物2已知是方)，如图所示)经过（）求这个抛物线的解析式，抛物线的顶轴的另一交点）设）中的抛物线的坐标和BC的面积，试求出轴，与抛物线 P是线。上的一点，过的两

5、部分点，若直 B把PC分成面积之比请求点的坐 标的值的值.用待定系数法求【分析】 ）解方程求的面积，BO,可求出DM，梯BDB）轴的垂 线轴于点 BCD的面积.割补法可求出23 EH=EP . EP的交点设为 E点，则点E有两种可能： EH=,（3）PH 与 BC322 6x+5=0【解答】（1）解方程 x, .=5 得 x,x=l2i n=5 由 m<n,有m=1,.）的坐50B （, A5 ）.将（1, 0）, 0A 所以点，B的坐标分别为 A （1,）, B（0,2 x, +bx+c标分别代入y= 4,b b c 0,1 得解这个方程组，得5c c 5 24x+5y= x.一所以抛

6、物线的解析式为 22 x . 4x+5=0y= - x 4x+5 ,令 y=0 ,得 （2）由.，x=1解这个方程，得 x=-5 21 ,9）. ,0）,由顶点坐标公式计算， 得点D（ 2所以点 C的坐标为(一,如图所示.x轴的垂线交 x轴于M作过D271=S) 52=.贝UX (x 9DMC221 = SX =149+5 X () , 2mdbo 棉衫 2251 .XX =S55=bdca22 ).)22 =14=1 =所+BOBCMDBDM棉)点的坐标为所在的直线方程 y=x+两点，所B因为线B的交点+4x+与抛物y)与直B的交点坐标a+P那么P), 4a+标 EH 由题意，得，E4a+)

7、 - a+a+ () aa (舍去)解这个方程，E, EHa+) (4a+) - a+ (舍去)aa解这个方程，)点的坐标为()或(这两个二次函数y=m3已知关的二次函 y=mx两个不同的点图像中的一条轴交两点)试判断哪个二次函数的图像经点坐标)，试点坐标为()值取何值时的值两点的二次函数，)的条件下，对于经)在增大而减小 mx)对于关的二次函 y=【解答】 2<4ac由()轴没有交点所以此函数的图像 的二次函对于关 y=m2 ). )=3+4>由4ac (轴有两个不同的交点所以此函数的图像两点的二次函数 y=m故图像经)代y=m ) (=1+2m=整理， m=解 m=1=y= .

8、 y=, m=时 =解这个方程，)此时，的坐标 ,3=2m=时 y=2 , y=解这个方程，=)的坐标此时，x=y= ) m=时，二次函数，此函数的图像开口向上，对称轴 的增大而减小时，函数所以x<,此函数的图像开口向上，对称3m=时，二次函数y=2的增大而减小x=,所以x<时，函数但它仍然是反映函不等式有关知识的综合题【点评本题是一道关于二 次函数与方程这类综合抓住问题的实质灵活运用所学知识图像上点的坐标与函数解析式间的关 系并不难解决 课堂习-、 填空题2的图像，和一次函数 y=mx+n1 .右图是二次函数 y=ax+bx+c 21. >yy时，x的取值范 围观察图像写出

9、122）, 767,）, B （, 2Ay=a2.已知抛物线+bx+c经过点（一）.）的另一点的坐标 ,）,则该抛物线上纵坐标为的值 轴相交于点.已知二次函y+2x+）,的对称轴c=个交点，4x+的图像.若二次函 丫=轴只的值 ）,.已知抛物y=aa+bx+ 经过点）与（，羽毛球飞行的水.甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点之间的关系式h距s如下左图所示与其距地面高1,设乙的起跳表示）扣球的最大高度已知球A距原5,乙（用线C,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败的横坐标 的取值范围二次函y=轴两交点之间的距离 2）随楼层（/.杭州市“安居工程”新建成的一

10、批楼房都层 高，房子的价）都在一个二次），已知点（楼）的变化而变化x=/数的图像上（如上右图），楼房子的价格 二、选择则下列关系式不正确的是y=a+bx+的图像如图所示.二次函 4ac>02 （ （5,）.若点 M7c32y=ax10 .已知二次函数 A+bx+c的图像过点（1,）, B （, 2）, 2的图像 上，则下列结论 Ky） ,（8,y=ax+bx+cy ）也在二次函数，（），y2,Nl3i2中正确的是（）.)<<<<<<<<a+b+的值的对称轴 x=且经过1抛物y=a+bx+210 . 11.如图所示，抛物线的函数表达式是）第1

11、5题(12 题)(9题)（第加m 1CD+x+2yy=+x+2x+2yx+2y=,平移方法是经过平移得平A个单位.向左平移1个单位，再向上平移34y21 .抛物y2个单.向左平个单位，再向下B个单位1个单位，再向下平移3 C.向右平移个单位1个单位，再向上平移 3 D.向右平移2取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在1时，y=xy+bx+3 ,当x= 14.已知二次函数)(D.第四象限B.第二象限C.第三象限A.第一象限22轴交点x+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y15.抛物线y=ax轴右侧与+2ax+a )的坐标是(1,0) D. (3, B. (1, 0) C. (20). ( A

12、), 022)的图像w 0+2x+2 (m是常数，且 m16.在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m和丫=mx )可能是AB三、解答题2,抛物线Cy轴于点x(a>0)交轴A , B两点，交17 .如图所示，已知抛物线y=ax+4ax+t ) 的坐标为(一E,点B1, 0轴于点的对称轴交 x (1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；P,你能作(2)过点Cx轴的平行线交抛物线的对称轴于点判断四边形 ABCP是什么四边形？并证明你的结论；).)+bx+抛物y是方6x+5=的两个实数根， m<1 .如图所示)图像经过)求这个抛物线的解析式， 抛物)中抛物线轴的另一交点)设的面积的坐标和BC的顶点，试求出 B轴，与抛物线交于，若直上的一点，过是线 OPH车通过隧道时车身距隧道壁的的厢式货车.按规定,.为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧0.5m水平距离和铅直距离最小都是轴，建,而且？其截面是抛物线拱形 ACB19 .某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，机动?,最高能通过最宽 3m3.5m立如图所示的直角 AB的垂直平分线为 y轴，线段道，在图纸上以直线 AB为x . OC坐标系,求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高).)y轴的直）2.已知一个二次函数的图