数列知识点总结与题型归纳总结

1、高三总复习-一数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记彳an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an ； 数列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a,-3,-1,1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。(2)通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,11111 2 3 4 57, n

2、N )数列的通项公式是an = n ( n一一，、一、，口1数列的通项公式是an = 一( nn说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n表示数列的通项公式n 1,n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=(k Z)；1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,(3)数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对

3、应的一系列函数值f(1), f(2), f(3),，f(n),.通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。例：画出数列an2n 1的图像.(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a, 专业word可编辑S (n 1)Sn Sni(n>2)例：已知数列an的前n项和Sn22n

4、3,求数列an的通项公式(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an练习：1 .根据数列前4项写出它的通项公式：(1)1, 3, 5(2)22 17一32 142 152(3)1*22*33*4o4*5(4)9, 999999 (5)7, 77777,7777 , (6)8, 88, 888, 88882 .数列an中，已知an1-(n N )(1)写出 2 , a2, a3,an 1 , an221 一是第几项？(2) 79是否是数列中的项？若是33. ( 2003京春理14,文15)在某报相测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表

5、中空白( 30居式4Gso收霆EC*蛆也亳州110口5120溺1301招:J145野条丘£木性桂TO737S4白口83gg,写出点数的通项公式4、由前几项猜想通项根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数(1)(4)(7)5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（其通项公式55个交，最多有 1 个交点3条直线相 交，最多有3 个交点个交点、等差数列题型一、等差数列定义 这个数列就叫等差数列般地，如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表不' 。用递推公式表示为

6、anan 1d(n 2)或 anan d(n1)。例：等差数列an 2nanan 1题型、等差数列的通项公式ana1(n 1)d ;说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性:d0为递增数列，d0为常数列列。例：1.已知等差数列ana7a916, a41,则a12等于（）减数列题型三A. 15B.30C. 31D. 642.an是首项(A) 6673.等差数列ana1(B)公差d6682n 1,bn”）、等差中项的概念：3的等差数列(C)669如果an 2005,贝U序号(D) 670则an为bn为（填递增数列”或递定义：如果a , A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A

7、aa b 一a , A,b 成等差数列A 即：2an1anan 2( 2ananmanm )2例：1. (14全国I)设 国是公差为正数的等差数列，若a1a2a315 ,a1a2a380,则a11a12a13()A. 120B. 105C. 90D. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：(1)在等差数列 an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2)在等差数列 an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；a a(3)在等差数列 an 中，对任意 m, n N , an am (n

8、 m)d , d (m n)；n m(4)在等差数列 an 中，若 m, n,p, qN 且m npq ,则 aman apaq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn1(a肛na1-n(- d n2(a1 )n。2222(SnAn2 Bn (A, B为常数) an是等差数列)递推公式：Sn (a1 an' (am anEJn22例：1.如果等差数列an 中，a3 a4 a5 12 ,那么 a a2a7(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352. (2015湖南卷文)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2 3 , a6 11,则S7等于(A. 13B. 35C. 49D.

9、 633. (2015全国卷I理) 设等差数列an的前n项和为Sn,若S9 72 ,则a? ada9 =4. (2015重庆文)(2)在等差数列an 中，aa910,则a5的值为(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105.若一个等差数列前 3项的和为34最后3项的和为146且所有项的和为390,则这个数列有 ()A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6 .已知等差数列an的前n项和为Sn ,右 S1221,则 a2 a5a8 a117 . （2014全国卷n理）设等差数列S9an的前n项和为Sn,若a5 5a3则二S58 . （2014全国）已知数列bn是等差数列，b1=1 , b

10、+b2+b10=100.（I）求数列bn的通项bn ；9 .已知an数列是等差数列aio10其前10项的和S1070 ,则其公差d等于（）1C.一310 . （2015陕西卷文）设等差数列an的前n项和为sn,若a6s3 12,则an已知S7=7, S15 = 75, Tn为数列11 . （2013全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和Sn,的刖n项和，求Tn。12 .等差数列an的前n项和记为Sn,已知a1030, a2。 50求通项an ；若Sn =242 ,求n13 .在等差数列an中，(1)已知 0 48, §2 168，求a1和d ； ( 2)已知 a6 10,S

11、s5,求a8和Sg ； (3)已知 a3 a1540,求 S17SanS 偶an 1题型六对于一个等差数列（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶 S奇 nd ；S奋n（2）若项数为奇数，设共有2n 1项，则S奇 S偶 an a中；S禺n 1题型七对与一个等差数列，Sn , S2nSn , S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100 ,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前 n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为3.已知等差数列an的前10项和为100 ,前100项和为10,则前110项和为4.设S

12、n为等差数列an的前n项和，S414, S10 S730,则S9 =5. （2015全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若§ -S6则且=S12A. A10D.-9题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法定义法：an 1 and（常数）（nN） an是等差数列中项法：2an 1 an an 2（nN） an是等差数列通项公式法：ankn b（k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn（A, B为常数） an是等差数列例：1.已知数列an满足an an 1 2,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2 .已知数列

13、an的通项为an2n 5,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断23 .已知一个数列an的前n项和Sn 2n 4,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4 .已知一个数列an的前n项和Sn 2n2,则数列4为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5 .已知一个数列an满足an 2 2an 1 an 0 ,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列an满足a =8 , a42,且 an 2 2an 1 an 0 ( n N

14、 )求数列an的通项公式；7. （14天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九数列最值(1) ai 0 , d 0时，Sn有最大值；ai 0 , d 0时，Sn有最小值；，、一2.(2) Sn最值的求法：若已知Sn, Sn的最值可求二次函数 Sn an bn的最值；可用二次函数最值的求法(n N )；或者求出an中的正、负分界项，即:若已知an ,则Sn最值时n的值(n N )可如下确定an0 - an 0或an 10 an 10例：1.等差数列an

15、中，ai 0, S9S12,则前项的和最大。2.设等差数列 an的前n项和为Sn,已知a312, S120, S130求出公差d的范围，指出S1, S2, S12中哪一个值最大，并说明理由3. (12上海)设an (nCN)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5Vs6, Ss = S7 > &,错误的是() A.dv0B.a7=0C.S9>S5D.Ss与 S7均为 Sn 的最大值n 98 一4 .已知数列 an的通项 (n N ),则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 n . 995 .已知an是等差数列，其中a1 31,公差d8。(1)数列an从哪一项开始小于 0?

16、(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.则下列结论6.已知an是各项不为零的等差数列，其中ai 0 ,公差d 0 ,若S10 0，求数列为前n项和的最大值.7.在等差数列an中，ai25 , Si7 S9,求Sn的最大值.题型十利用anS1(n& Sni (n 2)1）求通项2.i.数列an的刖n项和Sn n 1 .（i）试写出数列的前 5项；（2）数列an是等差数列吗？ （3）你能写出数列an的通项公式吗？2 一 一2 .已知数列 an的前n项和Sn n 4n 1,则3 .设数列an的前n项和为Sn=2n 2,求数列an的通项公式；,一14 .已知数列 an 中，ai3,

17、刖 n 和 Sn-(n 1)( an1) 1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式5 . （2015安徽文）设数列an的前n项和Snn2,则a8的值为（）(A) 15(B) 16(C)49(D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：an 1： an q（q 0）。、递推关系与通项公式递推关系:通项公式：anan 1anqn 1a qn mq1 .在等比数列 an中，a14,q2,则an2 .在等比数列 an中，0 12,q 3/2，则a1

18、93. （2014重庆文）在等比数列an中,a2 = 8, a1 = 64,则公比 q 为()(A) 2(B) 3(C)(D) 84.在等比数列an中，a254则a8 =5.在各项都为正数的等比数列an中首项ai3 ,前三项和为21 ,则a3 a4 a5()A 33B 7284189二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列则称b为a与c的等比中项，且为bac,注：b2 ac 是成等比数列的必要而不充分条件例：1.2 石和2 石的等比中项为（(A)1(B) 1(C)(D)22. (2013重庆卷文)设an是公差不为的等差数列，a1 2且a1，a3,a6成等比数列，则外 的前n项和Sn =(2

19、n A. 47n4B.5n3C.2n 3n24、等比数列的基本性质1. (1)若m n pq,则 amanapaq(其中 m,n, p,qN )(2)2an an m an m(n(3)an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4)an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列例：1.在等比数列 an中，ai和aio是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a,a?(5，211(A) -(B)(C) -(D)-22222 .在等比数列 an ,已知a15, a9al0 100,贝Ua18 =3 .在等比数列 an 中，a1 a6 33, a3a4 32, anan 1求an若 Tn

20、 lga lga2lgan,求 Tn4.等比数列an的各项为正数，且a5a6 a4a7 18,则log3a1log3 a2 Llog3 ai0(A. 12B. 10 C.8 D. 2+ log 355. (2014广东卷理)已知等比数列an满足an0,n1,2,L且 a5 a2n22n(n3),则当 n 1时 log2a log 2 a3log 2 a2n 1A. n(2n1)B. (n 1)2C.D.(n 1)22.前n项和公式na(q 1)Sn&(1 qn)aanq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a12.已知等比数列an的首相a15 ,公比q 2 ,则其前n项

21、和Sn 15 ,公比q 一，当项数n趋近与无穷大时，其前n项2和Sn 3.设等比数列an的前n项和为Sn,已a26, 6a1 a330,求 an 和 Sn4. (2015 年北京卷)设 f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),则 f(n)等于()A. 2(8n 1) B. 2(8n1 1) C. 2(8n3 1) D. - (8n 4 1) 77775. (2014全国文，21)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6 = 2S9,求数列的公比q；6. 设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为. . . . . . .

22、. * . .3.若数列an是等电数列，Sn是其前n项的和，k N ,那么Sk ,S2kSk,S3kS2k成等比契列S6旦例：1. (2014辽宁卷理)设等比数列 an的前n项和为Sn,若S3 =3 ,则S6 =78A. 2 B. 3 C. 3D.32 .一个等比数列前 n项的和为48 ,前2 n项的和为60 ,则前3 n项的和为()A. 83 B. 108 C. 75 D. 633 .已知数列an是等比数列，且Sm10, S2m30,则S3m 4.等比数列的判定法a(1)定义法：工 q (常数) an为等比数列；an2(2)中项法：an1an an 2 (an 0) an为等比数列；(3)通

23、项公式法：an k qn (k,q为常数)an为等比数列；（4）前n项和法：Snk（1 qn） （k,q为常数） an为等比数列。Sn k kqn （k,q为常数）a。为等比数列。例：1.已知数列a。的通项为an 2n,则数列a。为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断22 .已知数列an满足an 1 an an 2（an0）,则数列a。为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .已知一个数列an的前n项和sn2 2n 1,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断§ (n

24、 1)5.利用an求通项.S & i (n 2)1例：1. （2015 北东卷）数列an的刖 n 项和为Sn,且a1=1,an1-Sn, n=1 , 2, 3,，求 a2, a3,a43的值及数列an的通项公式.*.2. （2015山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn 5（n N ）,证明数列an 1是等比数列.四、求数列通项公式方法(1) .公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26,求an ；1),求数列an的通项公式；2.已知数列an满足ai 2, anan 11(n3.数列 an 满足 a

25、二8, a4 2,且 an 22a n 1an 0 ( n N),求数列an的通项公式；4.已知数列an满足a12an 11一 2 ,求数列an的通项公式； an5.设数列an满足ai1 an 111 an1 ,求an的通项公式6.已知数列 an满足an 12anan 21 ,求数列 an的通项公式。2 一7 .等比数列an的各项均为正数，且2ai 3a2 1, 839a2a6,求数列an的通项公式8 .已知数列an满足ai2, an3an i(n 1),求数列an的通项公式；9.已知数列J an满足ai 2, a2-24且an 2 anan 1( n N),求数列an的通项公式；10.已知数

26、列an满足a111.已知数列an满足a112.数列已知数列an满足2,且 an2,且 an1a -，an25n 15 2n4斗12(%1(n3(an 51).则数列2nan),求数列an的通项公式；2) ( n N ),求数列an的通项公式=的通项公(2)累加法1、累加法适用于：an 1 an f(n)a2ai若 ani anf(n) (n 2),则a3La2f(1) f(2) Lanf (n)f (n)n两边分别相加得an 1 a1k 1，1例：1.已知数列an满足a1-,an 1an1一，求数列an的通项公式。4n2 14.设数列 an满足ai2 , an 1 a03 22n 1 ,求数列

27、a0的通项公式2n 13.已知数列an满足an i an 2 3n 1, ai 3 ,求数列an的通项公式。(3)累乘法适用于：an 1 f (n)an若吼 f(n),则也f(1), a3 f(2),L Lf(n)ana1a2ann两边分别相乘得，anq f(k) a1k 1专业word可编辑例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n 烝，a13,求数列an的通项公式。求an °一 ，一 22.已知数列an满足a1 一，an 133.已知a13an 13n 13n2an(n 1),求 an。(4)待定系数法适用于an 1 qanf (n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比

28、数列anif (n)公比为3、列出关系式an 1i f (n1)2an 2 f (n)4、比较系数求专业word可编辑5、解得数列 an 1f(n)的通项公式6、解得数列an的通项公式1(n 2),求数列an的通项公式。例：1.已知数列an中，ai 1,an 2a。12. ( 2015 ,重庆，文，14 )在数列an中，若a1 1自12街 3(n 1),则该数列的通项3. (2014.福建.理22.本小题满分14分)已知数列an满足a1 1,an1 2an 1(n N ).求数列an的通项公式；4.已知数列an满足an 12an 3 5n, ai6 ,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x

29、 5n 12(an x 5n)1,求数列an的通项公式。5.已知数列an满足 an 1 3an 5 2n 4, a1n 一一 n 1解：设an 1 x 2n 、y 3(an x 2 y)511 n 16.已知数列an中，a1一自1-an(一),求an6327.已知数列an满足an 1 2an 3n 4n 5, a1 1,求数列an的通项公式22解：设 an 1 x(n 1)2、y(n 1) z 2(an xn yn z)专业word可编辑8.已知数列an满足an 1_n 12an 4 3 , a1 1 ,求数列小的通项公式。递推公式为an2 pan 1qan(其中p, q均为常数)。先把原递推

30、公式转化为an 2 san 1t(an1san)其中s, t满足s t p st q9.已知数列an满足an 2 5an 1 6an, ai1,a2 2 ,求数列an的通项公式。(5)递推公式中既有 SnSi,n 1分析：把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，nSn Sni，n 2n然后采用相应的方法求解1 _1. （2015 北东卷）数列an的刖 n 项和为 Sn,且 ai=1 , an 1- Sn, n=1 , 2,3及数列an的通项公式.3,求 a2, as, a4 的值2. (2015山东卷)已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn 5(n N ),证明数

31、列an 1是等比数列专业word可编辑 、，一13.已知数列 an 中，ai3,前 n 和 Sn -(n 1)(an 1) 1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式 一、，一 一一 1一4.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn-(an1)(%2),且a2,a4,a9成等比数列，求数6列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式分子只有一项例：1.已知数列an满足an2aanla11 ,求数列an的通项公式。(7)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. (2014年全国I第15题原题是填空题)已知数列an满足a1 1, an a1 2a2 3a3 L

32、(n 1)an 1(n2)求 an的通项公式。2.设数列an满足a1 3a232a33n1an一 .*a N .求数列an的通项；五、数列求和1.直接用等差、等比数列的求和公式求和n(ai an)n(n 1)Sn 2 na1 2 dSna1(理)无穷递缩等比数列时，S i qnai(q 1)ai(1 qn). 八 公比含字母时一定要讨论-(q 1)1 q例：1.已知等差数列an满足a11, a23,求前n项和Sn2 .等差数列an中，a1=1, a3+a5=14 ,其前 n 项和 Sn=100，则 n=(A. 9B. 103 .已知等比数列an满足a1C. 11 D. 121, a23 ,求前n项和Sn4 .设 f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),则 f(n)等于(D.2(8n 4 1)A.2(8n 1)B.2(8n 1 1) C.2(8n 3 1)anbn的和.2.错位相减法求和：如：an等差，bn等比，求abia2b2例：1 .求和Sn_ 21 2x 3x Ln 1nx2.求和：Sn3.