微分变换法求解波方程及非线性耗散方程

1、至"A嫌夫考毕业论文（设计）题目：微分变换法求解波方程及非线性耗散方程姓名：贾剑豪学号：P101713040学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级：2010级数学与应用数学班指导老师：马维元2014年 5 月 9 日微分变换法求解波方程及非线性耗散方程 专业:数学与应用数学 姓名：贾剑豪 指导教师：马维元 摘要微分变换方法(DTM隹用于求解微分方程级数形式的近似解的一 种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题之 一.到目前为止，我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的线 性微分方程，在本文中，我们考虑将这种方法推广到波方程和非线性 耗散方程的求解上，并

2、给出一些例子说明本方法的可行性。关键词微分变换法，波方程，非线性耗散方程ABSTRACTDifferential transform method (DTM) is the approximate solution in form of series is used for solving the differential equation of the development of a new method to solve problems. The contemporary mathematics and its application in one of the important r

3、esearch topic. So far, we have to use differential transform method to solve the limited number of special linear differential equation, in this article, we consider this approach to solution of the wave equation and nonlinear dissipation equation. The feasibility of this method and gives some examp

4、les.Key Words : Differential transformation method, wave equation,Nonlinear dissipation equation1 .引言微分变换方法（DTM只用于求解微分方程级数形式的近似解的一 种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题之 一.到目前为止，我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的线 性微分方程，在本文中，我们考虑将这种方法推广到波方程和非线性 耗散方程的求解上。并给出一些例子说明本方法的可行性。1.1 波方程介绍：波方程也称为波动方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述大 自然中的各种的波动现象

5、，包括横波和纵波，例如无线电波、声波、 光波和水波。波动方程来源于声学、量子力学、光学、电磁学、动力 学、流体力学等领域。历史上有许多科学家在研究物体的弦振动问题 时，都对波动方程理论作出过杰出贡献， 其中被我们熟知的有达朗贝 尔、丹尼尔伯努利、欧拉和拉格朗日等。1.2 非线性耗散方程的介绍：通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律 （物理定律）的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了 一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类， 这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式 上刻划

6、了相对应物理定律所确立的某些物理量之间的制约关系。1.3 微分变换介绍1.3.1 一维微分变换的基本定义和基本运算定义1.如果x(t)在定义域T上是解析的，令(t,k)d-kx t t(1)dt对于t ti,(t,k)(七，k),如果其中k属于非负整数集K ,则上式(1)即可改写为Xi(k) (ti,k)dk K ,(2)dt t ti其中Xi(k)是x(t)在K上的变化范围，称式(2)为x(t)的微分变换.定义2:如果x(t)是解析的，则x(t)可表示为:(t ti)kx(t)k0f-X(k).称之为X(k)的微分逆变换如果X(k)表示为:X(电等k 0,1,2,24则函数x(t)可表示为:

7、q(t)k0 k! M(k)其中M(k) 0,q(t) 0.M(k)作为一个加权因子1.3.2 一维微分变换的性质: 性质 1：如果 f(x) g(x) h(x)，那么 F(k) G(k) H(k).性质2:如果f(x) cg(x)，那么F(k) cG(k),其中c为常数.性质 3：如果 f(x) d g(x)，那么 F(k) (k n)!G(k n). dxnk!性质 4:如果 f(x) g(x)h(x)，那么 F(k)1k 0G(l)H(k l).性质5:如果f(x) xn,那么F(k)(k n)1, kn0, kn1.3.3 二维微分变换的基本定义和基本运算如果我们把下列含有两个变量的二

8、维函数w(x, y)看作是两个单独变量的函数，w(x,y) f(x)g(y),那么基于一维微分变换我们就可以把函数w(x,y)表示为:k _hk h_ _ _w(x, y) F(k)xk G(h)yhW(k,h)xkyh.(6)k 0h 0k 0 h 0其中 W(k,h) F(k)G(h)被称为是 w(k,h).如果w(x, y)是解析函数，并且随着t的变化而不断变化，则有W(k,h) -1 -w(V1。). k! h! x y其中w(x, y)是原函数.而W(x,y)是转变方程.那么W(x, y)的微分逆变换的定义为:(8)w(x, y)W (k, h)xkyh.k 0 h 0从方程(7)和

9、(8)可得出结论:w(x, y)1 k hw(x, y) k 0 h 0 k! h! xk yhk hx y .(0,0)(9)1.3.4 二维微分变换的基本性质.这里我们让 U(k,h),V(k, h)和W(k,h)分另fj代表 u(x, y), v(x, y)和w(x, y)的分数阶微分变换，则有1 :(I )如果w(x, y)u(x,y) v(x, y),那么 W(k,h) U (k,h) V(k,h).(H )如果aU (k, h).w(x, y) au(x, y), a R,那么 W(k,h)(m)如果w(x, y) u(x,y)v(x,y),那么W(k,h)hU(r,hs 0s)V

10、(kr,s).(IV)如果w(x,y)其中xnym,那么 W(k,h)1, (k n,h m) 0(k n, hn并且h其他.m)m.(k n) (h m).(V)如果w(x, y)W(k,h)r suxsy),那么 x y(k 1)( k 2) (kr)(h 1)(h s)U (k r, h s).(VI)如果w(x,y) u (x, y) ,那么 W(k,h) (k 1)U(k1,h).x(vn)如果u (x, y)，w(x,y)'“，那么 W (k, h) (h 1)U(k,h 1).y(W)如果w(x, y) u(x, y)v(x, y)g(x, y),那么k k r h h

11、sW(k,h)U(r,h s p)V(t,s)G(k r t, p).r 0 t 0 s 0 P 0(IX)如果w(x,y)u(x，y) u(x，y),那么x xk hW(k,h)(r 1)(k r 1)U (r 1,h s)V (k r 1,s).r 0 s 0(X)如果w(x, y) u(x, y)v(x, y) g (x,y)，那么 xk k r h h sW(k, h)(k r t 2)(k r t 1)U(r,h s p)V(t,s)G(k r t 2, p).r 0 t 0 s 0 p 0(XI)如果w(x, y) u(x, y) v (:, y),那么 xk hW(k, h) (

12、k r 1)(k r 2)U (r,h s)V (k r 2,s). r 0 s 02 .波方程求解2.1 波方程的微分变换：波方程是我们大学学习微分方程中较为重要的一中偏微分方程，也是学习数学物理方法是较为典型的一种物理方程。我们熟知的基本波方程为:UttUxxf (x,t)即一维波动方程为:2u (x,t)2u (x,t)t22u (x,t) 所以由(VI)可知的一微分变换有:f(x,t)W (k, h) (h 1)( h 2) U (k, h 2)2u (x,t)>,>2-由(羽)可知 x的微分变换有:W(k,h) (h 1)( h 2) U (h, k 2)综上所述可知公式

13、(10)的一维波动方程微分变换后有:(k 1)( k 2) U (k 2,h) (h 1)( h 2) U (k,h 2) F (k, h)(10)2.2例题验证：例一：假定我们给出一维波动方程的精确解如下：u ( x , t) sinx cos t那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得：(k 1)( k 2) U (k 2, h) (h 1)( h 2) U (k, h 2) F (k,h)(11)给出初始条件为：u(x,0) sinxut (x, 0) 0由公式(3)转换后可得初始条件为:U(k, 0)1, 1, k!1k!0,k 0,k 1,5,.k3,7,.k 2,4,6,.U(k,

14、 1) 0.(12)把(12)试带入(11)式，我们可以得到的U(k,h)的值:U (0,0)1,U (0,1)1,U (1,0)1,U (1,1)1,U (0,2)1,U (0,3)1,U (1,2)1,U (1,3)1,U (3,0)1石，U(31)11了 U(3,2)牙 U(3,3)12!1111U(3,0) 3!, U(31)3, U(3,2) 3, U(3,3)3,1U(k,0) ”*,1)1前 U(k,3)1k!将所有的U(k,h)的值代入(11)式到我们就可得到该波方程的解为:u(x, t)k hU(k,h)x tk 0 h 0(x - 3!5!)(1t2t42! 4!t6 t8

15、6! 8!sin xcost即为f (x,t)的精确解如图:-1D而给定的精确解u(x,t) sinx cos t的图像为:-10 -10因为该精确解与假设的精确解一致，且f(X，t)的精确解图像一样因此,用微分变换方法求波方程是有效的.例二：假定我们给出一维波动方程的精确解如下:,、3 .u ( x , t) t sinx那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得：(k 1)( k 2) U (k 2,h) (h 1)( h 2) U(k,h 2) F(k,h)(13)给出初始条件为：u(x,0) 0Ut(x, 0) 0由公式(3)转换后可得初始条件为：(14)1 k1,3,5.U(k，0)0

16、1 k 其他U(k, 1) 0.把(14)试带入(13)式，我们可以得到的U(k,h)的值:U (0,0)0,U(0,2)0,U (0,1)0,U(0,3)0,U (0, n)0,U(1,0)0,U(1,2)0,U(1,1)0,U(1,3)0,U(1,n)0,U (2,0)0,U(2,2)0,U (2,1)0,U(2,3)0,U (2, n)0,111U (3,0) 1, U(3,1) 1, U(3,2), U(3,3) -U(3,n)一,2!3!n!将所有的U(k,h)的值代入(13)式到我们就可得到该波方程的解为:u(x, t)k hU(k,h)x tk 0 h 03Z/ X t ( X3

17、!t3 sin x5 X5!即为f (x,t)的精确解如图:K 1G，、，3 .而给定的精确解u(x,t) tsinx的图像为:因为该精确解与假设的精确解一致，且f(x,t)的精确解图像一样 因此,用微分变换方法求波方程是有效的.3.非线性耗散方程求解3.1 非线性耗散方程介绍通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律(物理定律)的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了 一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类， 这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程 组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式 上刻划了相对应物理定律

18、所确立的某些物理量之间的制约关系。我们所熟知的非线性热传导方程：ut duxx auux b(u2 u) f(x,t)就是一个典型的非线性耗散方程。由(羽)可知Ut的微分变换有：W (k, h) (h 1)U (k,h 1)由(VI)可知Uxx的微分变换有：W (k, h) (k 1)( k 2) U (k 2, h)由(XI)可知uux的微分变换有： k h W(k, h) (k r 1)U(r,h s)V(k r 1, s) r 0 s 0由(田)可知UUx的微分变换有：W(k,h) U2(k,h) V(k,h)综上所述我们得到该方程的微分变换为：k h(h 1)U(k,h 1) d(k

19、1)( k 2)U (k 2,h) a (k r 1)U(r,h s)V(k r 1,s) r 0 s 02_bU2(k,h) V(k,h) F(k,h)3.2例题验证：例三：假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下：33U ( x , t) t x对非线性耗散方程进行微分变换：utt uxx u2 6xt(x2 t2) x6t6由(vn)可知山的微分变换有：W (k, h)(h1)(h2)U (k, h2)由(VI)可知Uxx的微分变换有：W (k, h)(h1)(h2)U (h, k2)由（n）可知u2的微分变换有:k hW(k,h) U(r,h s)U(k r,s)r 0 s 0由(IV)

20、可知6xt(x2 t2) x6t6的微分变换有：W(k,h) 6 (k -3, h -1)-6 (k -1,h -3) (k -6,h -6).综上所述我们得到该方程的微分变换为：k h(h 1 )(h 2) U (k,h 2) (h 1)(h 2) U (h,k 2) U(r,h s)U (k r,s) r 0 s 06 (k -3,h -1)-6 (k -1,h -3) (k -6,h -6)(15)假定我们给出该耗散方程的初始条件如下：u(x,0) 0ut(x,0) 0由公式(3)转换后可得初始条件为：U(k,0) 0U(k,1) 0(16)把(16)试带入(15)式，我们可以得到的U(

21、k,h)的值:U (0,0)0,U (0,1)0,U (0,2)0,U (0,3)0,U (0, n)0,U(1,0)0,U (1,1)0,U(1,2)0,U (1,3)0,U(1,n)0,U (2,0)0,U(2,1)0,U (2,2)0,U(2,3)0,U (2, n)0, ,1 11U (3,0) 1, U(3,1) 1, U(3,2) -, U(3,3) -,U(3,n)帚U (4,0)0,U(4,1)0,U(4,2)0,U (4,3)0,U(4,n)0,U (5,0)0,U (5,1)0,U(5,2)0,U (5,3)0,U(5,n)0,U (6,0)0,U (6,1)0,U(6,2

22、)0,U (6,3)0,U(6,n)0,将所有的U（k,h）的值代入（15）式到我们就可得到该非线性耗散方程 的解为：u(x,t)U(k, h)xkth x3t3k 0 h 0即f(x,t)为的精确解，如图：o.a0.8-0.2而给定的精确解u(x,t)t3x3的图像为:x 10-因为该精确解与假设的精确解一致，且f(x,t)的精确解图像一样因此，用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的例四：假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下:u ( x , t) xcosx对非线性耗散方程进行微分变换:2.utt uxx u xcost2 .cos t由（羽）可知3t的微分变换有:W(k,h) (h1)(

23、 h 2)(k,h 2)由（VI）可知uxx的微分变换有:W(k,h) (h1)( h2)(h,k 2)2 .由（n）可知u的微分变换有:kW(k,h)hU(r,h s)U (k r, s) o由（IV ）可知xcost x2 8s2 t的微分变换有:h1cos( ) 1W(k,h) 1 (k -2,h ) h2- -2 (k -2,h )M 白、2 cos(y)h!11 (k -2,h )综上所述我们得到该方程的微分变换为:(h 1 )(h 2)U(k,h 2) (h 1)(h 2)U (h,k 2)hU (r,h s)U (k r,s)0(k -2,h )h1cos()-(k -2,h )

24、22h!ch ,h、12 cos(-)-(k -2,h )-2h!(17)给出初始条件为:u(x,0) xut(x,0) 0由公式(3)转换后可得初始条件为:1k 1_U(k，0) 0其他 U(k1) 0(18)把(18)试带入(17)式，我们可以得到的U(k,h)的值:U (0,0)0,U(1,0)0,U (2,0)0,U (3,0)0,U (4,0)0,U (0,1)0,U (1,1)0,U (2,1)0,U (3,1)0,U (4,1)0,U (0,2)0,U(1,2)0,U (2,2)0,U (3,2)0,U (4,2)0,U (0,3)0,U (1,3)0,U (2,3) 0,U (

25、3,3) 0,U (4,3) 0,U (0,2n)0,U (1,2n)0,U (2,2n)0,U (3,2n)0,U (4,2n)0,U(5,0) 1, U (5,1) 0, U(5,2)12！, U(5,3) 0,U (5,2n)1)nU (6,0)0, U (6,1)U (7,0)0, U(7,1)U(6,2n) 0,U(7,2n) 0,u(x,t)U(k,h)xkthx(1k 0 h 0二 t .)xcost 2! 4!0, U (6,2) 0,U(6,3) 0,0, U (7,2)0, U (7,3) 0,将所有的U(k,h)的值代入(17)式到我们就可得到该波方程的解为:即f(x,t

26、)为的精确解，如图:而给定的精确解u(x,t) x cos x的图像为因为该精确解与假设的精确解一致，且f(x,t)的精确解图像一样 因此，用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的.4、小结微分变换方法(DTM隹最近发展起来的一种较为简便地解题方法 在本文中详细介绍了微分变换法并较为详细的介绍了它的基本定义 与性质，并且也较为快速的介绍了波方程和非线性耗散方程各自的抽 象来源与定义，并对给出的波方程和非线性耗散方程采用微分变换方 法进行求解，并运用例子表明采用微分变换法求解波方程和非线性耗 散方程的可行性与有效性.参考文献1康东升.一个反应扩散方程的显示波前解与一个平面三次系统的全局分析 J .

27、数学物理学报，1998,18(增刊)：1-12 .2密苏里大学Nakhle H Asmar,偏微分方程教程，机械工业出版社，2006.103叶俊杰，钱彳惠亮.Riemann-Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法.应用数学与计算数学学报.2009年12月.第23卷.第2期.4 S. El-Sayed, The decomposition method for studying the Klein - Gordon equation,Chaos, Solitons & Fractals 18 (2003) 1025- 1030.5 K.Maleknejad,N.Aghazade,M.Rabbani,Numerical solution of sec