第10课函数的值域与最值(提分宝典)

1、第10课函数的值域与最值普查讲10函数的值域与最值1 .求函数值域的常用方法(1)(2021汇编，50分)解决下列问题：log 1 x,x 1, 已知函数f(x)=3则函数f(x)的最大值为 ；2 c/x2x,x 1,函数f(x) = log2(x2+2x+ 3)的值域为 ;已知函数f(x)=3x+3-x的定义域为0, +8),若函数g(x)=f(2x)-3f(x),则函数g(x) 在0, + 00)上的值域为；函数y=2x+ 41 2x的值域为;一，1 x2函数y=2的值域为；1 + x函数f(x)= x(x>1)的最小值为；x- 1函数y=x 41 2x的值域为 ;cosx函数y=3

2、x彳的值域为；sinx3函数 f(x) = #2 2x + 2 +(x 4) 2+ 9的最小值为 ;已知函数f(x) = x3 6x2+9x,则f(x)在闭区间1, 5上的最小值和最大值分别为答案：1 (一巴2 4, +8)518, 4(1, 1 8 8, 2-亨乎 5 16, 20解析：当x>1时，f(x)= log 1 x是减函数，且f(x)<0.当 xW1 时，f(x)=x2+2x= (x1)2+1,易知 f(x)在(一8, 1上单调递增，且 f(1)=1, 所以函数f(x)的最大值为1.若函数f(x)有意义，则x2+2x+3>0,解得1<x<3,所以函数f

3、(x)= log2(-x2+ 2x+ 3)的定义域为(一1, 3).因为 0Vx2 + 2x+3=(x 1)2+4W4,所以 10g2( x2 + 2x+ 3)wlogz4=2,所以函数 f(x)= log2( x2+2x+ 3)的值域为(一8, 2.根据题意得，函数 g(x)= f(2x)-3f(x)=32x+ 3-2x- 3(3x+ 3-x)= (3x+ 3-x)2 3(3x+ 3-x)-2, x 0, + 8 ).令m = 3x+3-x, xC0, +8),根据基本不等式得 m = 3x+3-x>2,当且仅当x= 0时等号3 c 17 .成立，则 h(m) = m23m2, mC

4、2,+8).因为函数 h(m) = m2 3m2= m-2 2- 在2 , + 8)上单调递增，所以当m=2时，h(m)取得最小值一4,即函数g(x)在0 ,十)上的值域为 - 4, + 00 ).1令1 2x>0,得x<2,即函数y= 2x+W 2x的te义域为 一2 .人 1 i 1t2令 t=M12x(t>0),则 x=-2-,八1八 5所以 y= t2+t+1 = t 2 2+5, t>0,所以当t=J,即x=)时，ymax=M无最小值, 284所以函数y= 2x+ J1 2x的值域为 8,1x2.一，c .2因为f"1,所以°<3”所

5、以一1< 1 +x2+1<1,提分宝选全港点普奇一轮救秦箱流用书> 内部强料-请勿外传 .一一1 x2所以函数y=一的值域为(一1,1. 1 + x2因为x>1,所以x- 1>0,所以f(x)x2+8(x1) 2+ 2 (x 1)x- 1x- 1=x- 1 + 9-+2>2x- 1(x 1)=8,当且仅当所以函数x-1= ,即x= 4时等号成立, x- 1x2 + 8f(x) = -x31 (x>1)的最小值为 8.1若函数有意义，则 1 2x>0,解得x<2,故函数的定义域为1OO.'2 .易知函数y=x和y=小2x均为增函数，所

6、以函数 y = x-出2x在定义域OO上是增函数，所以 y<2-J1-2x2 = 2,所以函数y=x-木耳的值域为 一8,原式可化为 ysinx cosx=3y,所以 >/y2 + 1sin(x+ 9 = 3y,其中 sin 3=-cos 3= fy-,即 sin(x+ 3= p3y.因为 sin(x+3) C 1, 1,所以一1 w 3y w 1,解得一零y2+1Vy2+1Vy2+14Wyw#,故函数白值域为乎,乎.因为 f(x) = #x22x + 2 + 7(x 4) 2+9 =yj (x1) 2+1 7 (x4) 2+32,所以f(x)的几何意义为一动点到两定点的距离的和.

7、设动点 P(x, 0),两定点为 A(1, 1)和 B(4, 3),则 f(x)=|PA|+ |PB|刁AB|=W2+42 =5,所以函数f(x) = yjx 2x+ 2 +(x 4) 2+ 9的最小值为 5. f'x)=3x212x+ 9,令 f'x)=0,即 x2-4x+3=0,解得 x= 1 或 x= 3.当一1<x<1 或 3<x<5 时，f'x)>0,所以f(x)在(-1, 1), (3, 5)上为增函数；当 1<x<3 时，f' x)<0,所以因为所以f(x)在(1, 3)上为减函数.f(-1)=- 1

8、6, f(1)=4, f(3)= 0,f(5) = 20,f(x)在闭区间1, 5上的最小值为一16,最大值为20.2.函数最值的应用a.根据最值的条件求解参数的范围(2)(2017浙江，4分)已知aC R,函数f(x)= x+4a +a在区间1, 4上的最大值是 5, x则a的取值范围是.9答案：8, 94 .解析：根据对勾函数的性质，可知 y=x+-在区间1, 4上的值域为4, 5,函数f(x) x4=x+- a + a在区间1 , 4上的取大值一 te为|4 a|+a或|5 a|+a中的较大者. x9 .当 |4a|+a>|5a|+a,即 a> 时，|4a|+a 为 f(x)

9、的取大值，|4a|+a=5,即 a 4+a= 5,解得 a = 2;当 I4a|+a< |5- a|+ a,即 av 2 时，|5a|+a 为 f(x)的最大值，. |5-a|+a=5,即 5_9一-a+a= 5,av2时恒成立.9综上，a的取值范围是 一8, 2 .log ax, x> 3, (3)(2019山东青岛二模，5分)已知函数f(x)=若f(2) = 4,且函数f(x)存在mx+8, x<3,最小值，则实数a的取值范围为()A. (1, V3B. (1, 2c. 0,乎D. V3, +8)3答案：D解析：由题意得f(2)=2m+8=4,解得m=2,log ax,

10、x> 3, 所以 f(x)= y '-2x+ 8, x<3.当x<3时，f(x)=2x+ 8是减函数，f(x)>f(3)=2,此时f(x)无最小值，所以当x>3时，f(x)必存在最小值，所以f(x)=logax必为3,)上的增函数，所以 a>1 ,且f(3)W2,即a>1,1-解得a>43.故选D.loga3<2,b.函数最值在恒成立、能成立、方程有解问题中的应用x2 x+ 3, xW 1,(4)(2017天津，5分)已知函数f(x)=21 设aCR，若关于x的不等式x''f(x)> |+ a在R上恒成立，则a

11、的取值范围是()4747 39A. 16，2B. 16，16C. 2® 239D. - 2g存答案:解析:当xw 1时，由不等式f(x)>x . 一2+a恒成立,可得-xx2+x 3w -+ a<x2 x+ 3,3x卜3,2 . x2x +23 maxW a< x 3xmin.x1:函数y= x2+23图像的对称轴为x= -< 1,一. 1 一 一 一 ,47函数在x=-处取得最大值16,47七.16、%- 3x 函数y=x2 3s+3图像的对称轴为3 d x=4<1,.3 .39函数在x= 3处取得最小值 需,，a<39? .,_47<a&

12、lt;39(D.16'1616,x当x>1时，由不等式f(x)> 2+a恒成立,2 x2可信x+xw2+"x+ -,即-3x+ 2 < a< x + 22 x 2 x一 一ox+maxw awin m2- X十X- 2321c 3x2尸-2x+x "勺万(一 2后当且仅当x=竽>1时取等号，a>- 23;y=x+2>2 x当且仅当x= 2时取等号,a<2,2>/3<a<2.取的交集，可得 a的取值范围是(2021改编，26分)已知函数f(x)=x2+bxc.(I )当不等式f(x)<0的解集为x

13、|2<x<1时，(i )求函数f(x)的解析式；、一1 x(五)设6川=2 -m,若对任意的 刈6 3, -2, x2C0, 2,f(x1)>g(x2)恒成立，求实数 m的取值范围;一x(m)设F(x) = f(X)_ 汗3，若对于任意的 , X2 R都有|F(xi)F(X2)|WM ,求M的最 小值；1(n)令c= 1, h(x) = x-1,若存在实数xC 3 3 ,使得不等式f(x)>h(x)成立，求实数 b的取值范围.答案：(I )( i )f(x)=x2+x2 (ii)1,+8)7(iii)1 (n ) 2，+°°-b=- 2+1 ,-c=

14、 (2) X 1,解：(I)(i)由题意得x= 2和x=1为方程f(x) = 0的两个实根，根据韦达定理可得 即 b= 1, c=2,所以 f(x) = x2+x 2.(5 分)(ii)易知f(x)=x2+x 2在 3, 2上单调递减，所以f(x)在3, 2上的最小值为f(2) =0.(7 分)一1 V又g(x)= 2 -m在0 , 2上单倜递减，所以g(x)在0, 2上的最大值为 g(0)=1 m.(9分)因为对任意的 x1 -3, -2, x2C0, 2, f(x)>g(x2)恒成立,所以 f(x)min > g(x)max,即 0> 1 m,解得 m> 1,所以实

15、数m的取值范围为1, +8). (12分)xx(iii)F(x)=f(X)_ x+ 3 = x23，易知该函数为 R上的奇函数.当 x=0 时，F(0) = 0;当x>0时,F(x) = 弋，则函数F(x)在(0, 1上单调递增，在1, +8 )上单调递减，所 xx1以F(x)在x= 1处取信取大值，即F(x)max= F(1) = 2 ；1由F(x)为前函数可信当x<0时，F (x)min = F(1)= 2.又当 x>0 时，F(x)>0;当 x<0 时，F(x)<0, 1 _ . .1所以 F(x)max=2, F(x)min= 2.(16 分)因为对

16、于任意的 Xi, x2C R都有|F(x1)F(x2)|W M, 11所以 |F(Xi)F(x2)|W|F(x)maxF(x)min|=|2 2 |= 1 < M ,所以M>1,即M的最小值为1.(18分)(n )H c= 1 时，f(x)=x2+bx + 1. 11存在实数xC - 3，使得不等式f(x)>h(x)成立，等价于不等式x2+bx+1>x-1在3上有解，即一b< x+21 max, xe 1, 3 .(22 分) XN设 t(x)=x+21, xC 3 , x2由t(x)=x+21在2，0 上单调递减，在(/，3上单调递增，且t 2 =7, t(3)

17、=2+2 X 2223=?,知t(x)的最大值为t/ =-1,322所以一b<-,即b>-722.故实数b的取值范围为 一7, +00 .(26分)2Xa(6)(2019福建龙岩期末，12分)已知定义域为 R的函数f(x) = h x,Q(a,bC R)为奇函数.b 3(I)求实数a, b的值；(n )若方程f(x) +2x+m= 0有解，求实数 m的取值范围.-1答案：(I )a=1, b=3 (n) 一00,- 1 a2 a解：(I)因为定义域为 R的函数f(x)为奇函数，所以f(0) = =0, f(1)= -f(-b+32b+32 1 a1) = - 2 1 . b + 3

18、，解得 a=1, b = 3.经验证知，此时f(x)确为奇函数.(4分)2、一 12、一 1(阴(法一)由(I )知f(x)=3(*十1)，所以万程f(x) + 2x+m=0有解，即3(力1)+2x2x一 1、+ m=0有解，即直线 y1=m与曲线y2= 3(2、+ 1) +2x有交点.(6分)2x 1令 t = 2x, t>0,则 y2=3(2x+ 1)+2x=t-13t2+ 4t 13 (t+1) +'=3 (t+1) (t>0),令 u= t+ 1, u>1,贝U t = u- 1,所以 y2=3 (u 1) 2+4 (u 1) 13u3u2 2u223u =u

19、-3u提分宝班全港点普门一轮救秦聂脚用书：内落资料-请勿扑竹易知y2=u 系一2在(1, +°°)上单调递增， 3u 3 ,2 21所以 y2>122=1所以一m>1,即 m<1. 33故实数m的取值范围为 8, 1 .(12分)32x 1LL ,、h(法二)由(I)知f(x) = 3 (2x+1)，所以万程3 (2x) 2+ (3m+4)x+ 3m13 (2x+1)=0有解，即万程2x13 (2x+1)+ 2x+ m= 0有解，即方程3 (22+(3m+4) 加 3m1=0 有解.令 t=2x(t>0), g(t)=3t-3(u>1).+(3

20、m+4)t+3m-1,则原方程有解等价于方程g(t)= 0 在(0, 十°°)内有实根.(6分)当_ 3m"4W0,即m>4时，函数g在（0, +8）上单调递增，所以 g=0在（0, 63十 °°）内有实根等价于g（0）=3m 1<0,即m<1,所以一4wm<1.（8分） 333当_ 3m; 4 >0即m< 4时，g=0在（0,十8）内有实根等价于 a> 0,即9m212m 63+ 28>0恒成立，所以 m<4.（11分）3综上，m的取值范围为 -00, 1.（12分） 3随堂普查练101.

21、 （2021汇编，44分）求下列函数的值域或最值.函数函数函数函数函数函数函数函数-,x>1, f(x)= X的最大值为.x2+2, x<1y= log3(2cosx+ 1), xC 察今的值域为 33y= cos2x+ |sinx|的值域为 .f(x) = 2x+ 441 x 的值域为.1 2xy=二三的值域为1 + 2xx+ 2y=七，"(x> 2)的最大值为.x 3y=2x 1 y 13 4x的值域为 .y=inx 的值域为1 + sinxx2 * x 4 1 .函数y=；2_x+ 1的值域为.已知函数y= x+1 x2,则函数的最大值为 .y= f（x）的值

22、域是?设函数f（x）= 2 x-1, x表示不超过 x的最大整数，则函数1 + 22.9答案：2(一8, 1 0, 81 11(一8, 4(一1, 1) 2 8,1 118,- W，3正? 1, 02 31 .解析：当x>1时，由反比例函数的性质可知，y = 一在x=1时取最大值1;当x<1时， x由二次函数的性质可知，y= x2+ 2在x= 0时取最大值2,1一，x>1,函数f(x)= x的最大值为2.-x2 + 2, x< 1xC 冬1<cosx< 1, .,.0<2cosx+ K3,log3(2cosx+ 1)< 1,即函数332y= lo

23、g3(2cosx+ 1), xC 至 亨的值域为(一0°, 1.2: y= cos2x+|sinx|= 1 2|sinx| 十|sinx| =,1 c 9 一-2 |sinx| 4 2 + 1 且 0w |sinx|w1,当|sinx| = ；时，y取得最大值9; 4o当|sinx|= 1时，y取得最小值0y= cos2x+ |sinx| 的值域为 0,令 t=>yr, t>0,则 x=1 t2,y=2(1 t2)+4t=2(t1)2+4.心0, .当 t= 1时，y=2(t1)2 + 4取得最大值4, .函数的值域是(一8, 4.x.1 -2x -2x- 1 + 22

24、y=1 + 2x=1 + 2x =t +1 + 2v2-1 + 2x> 1,0<曰5V 2,1<- 1+2- < 1, 1 + 2x值域为(1, 1).的.、o .a/xT2a/xT2.x> 2, . - y= =;Vx+ 2 + 15+2y x+3x+ 2+1/x+ 2 -Ij 1> 2, 当 且仅当 7x+ 2 = j 1,x+2x+2即x= 1时等号成立，.，函数丫=兴(x>2)的最大值为2.由题意可得函数的定义域是13x|xw 了 ,当x增大时，2x- 1增大，,134x减小，,2x-1-13-4x 增大，函数y = f(x) = 2x 1 4

25、13 4x在其定义域上单调递增,当x=料函数取得最大1311 11值f T =，故原函数的值域是 00, 7 .份. sinx. y=,1 +sinxy+ ysinx= sinx,y= sinx(1 y).一y又.yw1,sinx= 7.1 - ysinxw 1, . 1< sinx< 1,K褥分宝典-全超点普杳一轮救秦聂菱用书内部新料*请枷与厝1<T-y-& 1,解得 y<1,1 y2函数y=inx的值域为 一8, 1 .1 + sinx2x (2018北京房山二模，5分)已知集合a, b, c=2, 3, 4,且下列三个关系：a3,2x, x>b,9的

26、值域是(x c) 2+ a, x< b+x+1: y=xri，yx2 yx+ y= x2+ x+ 1, (y- 1)x2-(y+ 1)x+ y- 1 = 0.当 yw 1 时，: xC R,1A= (y+1)2-4(y-1)2>0,解得y<3,31. 一- -< y<1 或 1<y< 3;3x2 + x+ 1当y=1时，可得方程为2x= 0,方程有解，y=1满足题意，函数y= 小 的值 一，1域为1, 3 .3C.一、一兀一-一兀 一.须由函数y = x+不=x2可知,0+ cos 0= 2sin 0+ ；.,函数取得最大值,最大值为 ，2.? f(x

27、) =2x1 2x+ 1 11 + 2x 21 + 2x1_ 111_112- -1+ 2x-2-2- 1 + 2x.1 -x2>0,解得一1 w xw 1.设 x= sin 0 W(X 万，贝U y = x+1 x2 = sin 0+ -1 sin2 e= sinK提分宝募全港点普注一轮救秦聂饰用书：内落资料-请勿扑竹b=3, cw 4有且只有一个正确，则函数 f(x) =答案：3, +8)解析：由a, b, c=2, 3, 4且 aw3,a=2, a= 3, a= 4,则aw 3正确，b=3, cw 4错误,b=3, cw 4中有且只有一个正确可知：即bw3, c= 4.由集合相等可

28、知 b=3,矛盾;则aw 3, b=3错误，故cw 4正确，故c=2, b=4,满足题意;则aw 3, cw 4正确，不符合题意.v.12x>0,1 + 2x>1 ,0<x< 1,-1- 1 x即一1Vf(x)V12 2 1 + 2x 2'22,一x表示不超过x的最大整数，函数y=f(x)的值域为1, 0.综上,2x, x>4, a= 3, c=2, b=4,故 f(x)=o(x 2) 2+3, x< 4.当 x>4 时，f(x)=2x>16;当 xW4 时，f(x)=(x-2)2+3>3,故函数 f(x)的值域为3, 十 oo).

29、3.（经典题，5分）若关于x的不等式|x5|+x+3|<a无解，则实数a的取值范围是 答案：（一巴8解析：|x- 5|+ |x+ 3|表示x在数轴上的应点到 5和一3的对应点的距离之和，如图所由图可知，当x的对应点在5和一3的对应点之间时，|x5|+x + 3|的值最小，其最小值 为8.关于实数x的不等式|x5|十|x+ 3|va无解， .a<8,即实数a的取值范围是（一8, 8.4.（经典题，5分）若不等式（m2m）2x m2 m< 6,即 m2 m 6< 0,解得一2vmv3, 即实数m的取值范围是（一2, 3）. <1对一切x （-00, 1恒成立，则实数2

30、m的取值范围是.答案:（2, 3）解析：（m2m）2x 1 < 1对一切xC（ 巴 1恒成立，等价于 m2-m< 2x 2+4= 2x+ 221 对一切 xC（00, - 1恒成立. xC (-00, 1,1>2,21+12.12x十 242+214=6课后提分练10函数的值域与最值A组(巩固提升)11. (2018山东期末，5分)函数y=2x2 2x 1的值域为答案：0,乎 U(1, +8 )解析：x2- 2x- 1 = (x- 1)2- 2 -2, +oo ),11X2i 2 -巴-1U(0, +8),根据指数函数的性质可得，2y= 2 x 2x 1 的值域为 0, U

31、(1, +°° ).2. (2019河南洛阳期末，5分)已知实数x, y满足xcosa+ ysin “= 1,则52+ y2的最小值 为.答案：1解析:因为 xcos a+ ysin a=巾2 + y2sin( a+ 9) = 1(其中xysine= JW，cose二产2)'又小2+y2>0,所以 sin(a+ >0,所以 0<sin(a+ 0)<1,所以x2+y2>1,故,x2+ y2的最小值 为1.x 13. (2018河北张家口期末，5分)函数f(x)=s”/的值域为.|2x 1| + 1-1答案：0, 4解析：令Jx- 1 =

32、t(t>0),得 x= t2+1,则 f(x)= X1-化为 g(t)= c,2匚."|2x1|+ 12t + 2一一111, 一 . ，当t=0时，g(t)=0；当t>0时，0Vg(t) =&广三=1，当且仅当t=1时等1：1 42 t+-2X2/tX,号成立.1综上，函数f(x)的值域为0,4.2x+14. (2019山东济宁期末，5分)已知函数f(x)=其7E乂域是8, 4),则下列说x 1法正确的是().一 .5 一 .A. f(x)有最大值.无最小值357B. f(x)有最大值取小值735C. f(x)有最大值;，无最小值D. f(x)有最大值2,最小值

33、7 5答案：A 2x+ 13解析：f(x)=2X二彳=2+言，易知当xC8, 4)时，f(x)单倜递减，所以f(x)在x=-8处取得最大值|,因为f(x)在x=4处无定义，所以无最小值.故选 A. 3x+3, x> 1,5.(经典题，6分)已知函数f(x)= x则f(f( 3) =, f(x)的最lg (x2+ 1) , x< 1, 小值是.答案：0 242 3x + 2-3, x>1,解析：f(x)=xlg (x2+1) , x<1, f(3)=lg10 = 1, f(f(-3) = f(1)=0.2当x>1时，f(x)=x+ 3>2小一3,当且仅当x=p

34、时取等号； x当 x<1 时，x2 +1 > 1, f(x)=lg(x2+ 1)>0,当且仅当 x=0 时取等号，故f(x)的最小值是2印3.6. (2018山西晋城期末，5分)若f(x)=Jx 2 +，x22x+4的最小值与 g(x)=x+ a (a>0)的最大值相等，则 a的值为()A . 1B.V2C. 2D, 2J2答案：C解析：易知函数f(x)的定义域为2, +°°),函数g(x)的定义域为a,+8).由f(x)=x-2 十 市2 2x+ 4 =、x2 +、(x 1) 2+3 ,可得 f(x)在2, + 8 )上单调递增，故f(x)min=

35、f(2)2 a=2.因为g(x)= Jx+a 山a = .，所以当a>0时，g(x)在a, + 00 )上单倜递减，x + a+>/x a所以g(x)max=g(a) = J2a.因为f(x)的最小值与g(x)的最大值相等，所以 倔 =2,解得a=2.7. (2018北京模拟，5分)已知函数f(x)=|x2-2x-a| + a在区间1, 3上的最大值是 3, 那么实数a的取值范围是()A . (8, 0B. ( 8, 1-1,C. 0, +8 )D. 2, +°0答案：B解析：由f(x) = |x2 2x a|+a= |(x1)2a1|+a,知函数f(x)的图像关于直线

36、x= 1对 称.当 aw 1 时，f(x)=(x1)21,在(1, +8)上单调递增；当a>1时，命提分宝典华老点普咨一轮救秦颖怎用书> 内部资料-请切外情(x 1) 2+2a+1, 1<x<1 + Ja+ 1,f(x)=j(x 1) 21, x>1 +yja+1 ,即函数f(x)在(1, 1 + a + 1)上单调递减，在(1 +1a+ 1, +°°)上单调递增.所以函数f(x) 的最大值在 f(1), f(-1), f(3)中取得，且 f(-1)=f(3)=|3- a|+a.当 a>1 时,f(1)=|a+1|+a =2a+ 1 w

37、3,解得 aw 1,此时 |3 a|+ a = 3 a + a= 3,满足题意，故一1<aW1；当 aw 1 时，f(1)=|a+1|+ a=1W3恒成立，此时|3a|+a= 3a+a=3,满足题意.故 a的取值 范围是(一00, 1.m+x2, |x| 1,8.(经典题，5分)设函数f(x)=的图像过点(1, 1),函数g(x)是二次函数，x, |x|<1若函数f(g(x)的值域是0 ,),则函数g(x)的值域是()A . (8, 1U1, +8 )B. (8, 1U 0, +8 )C. 0 , + 00 )D. 1 , +OO )答案：Cx2, |x>1, 解析：,一函数

38、f(x)的图像过点(1, 1),m+ 1 = 1,解得m=0, - f(x) =x, |x|<1,画出函数y=f(x)的图像，如图所示.由图像结合已知条件可知当g(x)的值域是0, +8)时，f(g(x)的值域是0, +8).故选C.3. x c9 .(经典题，5 分)设函数 f(x)=x2- 1,对任思 xC -, +°° , f m -4m2f(x)<f(x-1) +4f(m)恒成立，则实数 m的取值范围是 .答案： oo,一乎U当，+oo .、一 x23.解析：依据题意得 mi1 4m2(x2 1)w(x1)21 + 4(m21)在 xC , +°

39、;0 上恒成立，即4 4m2w 今2+1在xC 3,上恒成立.mx x2易知函数y=- 32-2+1在|, +8上单调递增，当x时，函数取得最小值一5, x x 223一4m2w 5,整理得(3m2+ 1)(4m2 3)>0,解得mW g或m>喙，即实数 m的rm322取值范围是%喙U冬+OO .10 .(经典题，5分)定义新运算：当m>n时，m n = m;当mvn时，mn = n2,则函数f(x)=(1 x)x(2 x), xC 2, 2的最大值等于()A. 1B. 1C. 6D.12答案：C解析：由题意可知，当 xC 2, 1时，1x=1, 2® x= 2,f

40、(x) = x- 2,此时最大值等于一1;当xC(1, 2时，1x=x2, 2 x= 2,此时f(x) = x32,此时最大值等于 6.综上，f(x) 在 2, 2上的最大值等于 6.11 . (2018北京丰台二模，5分)设下列函数白定义域为(0, +8),则值域为(0,十8)的 函数是()A . y=exxB . y=ex+lnxC. y=x邓D. y=ln(x+ 1)答案：D解析：A 选项，令 f(x)=ex x,则 f'x)=ex1.当x>0时，f'x)>0,函数f(x)单调递增.当x=0时，f(0)= 1,故函数f(x)的值域为(1 , +8 ),故a错；

41、B选项，y=ex+lnx在(0, +8 )上单调递增，值域为 R,故B错；一 一 1 _ 11C 选项，y = x xjx= x 2 21,值域为匚，+8),故C错；D选项，y= ln(x+ 1)在(0 , +00 )上单调递增，值域为(ln1 ,+8),即(0, +oo),故d正 确.B组(冲刺满分)12 .(2018内蒙古东胜月考，5分)函数y=/x2-8x+ 20 +/2+ 1的最小值是 ,此 时 x=.4答案：5 3解析：y = 52 8x+20 + x2+1 = Y (x4)2+( 02)2 +，(x 0)2+( 0+ 1) 2.设点 P(x, 0), A(4, 2), B(0, 1

42、),则« (x- 4) 2+ (0-2) 2 + /(x-0) 2+ (0+1) 2 表示点P(x, 0)到点A(4, 2)和点B(0, 1)的距离之和，则 PA+PB曰AB=a/42+ ( 12) 2 =5,当且仅当A, P, B三点共线时等号成立， 此时直线AB的方程为y = 3x- 1,当y=0时，x = 4,故函数取得最小值时，x= 4. 3313 . (2018福建龙岩月考，5分)对于函数y= f(x),若在定义域D内存在某个区间a,b, 使得y= f(x)在a, b上的值域也为a, b,则称函数y= f(x)在定义域D上封闭，如果函数 4x ,，、一 一,f(x) = 1

43、 +冈在R上封闭，则 b a =.答案：6领提分宝典全港点普咨一轮救秦颖！I用书> 内部资料-请切热情4x解析：f(x)=1+凶-4+4-, xC 0, +8), x+ 14+4T, xC (8,0).x 14x1 + |x|=f(x)4x-f(-x)=-j1 + |x|且f(x)的定义域为R,关于原点对称，f(x)是奇函数.又 f(x)在0 ,)上是单调递减函数，二. f(x)在R上是单调递减函数.要使y= f(x)在a, b上的值域也为a, b,则av0vb,(a) = b(b) = a4 + 4-=b, a 1即,4-4 + -= a, b+ 1 a= 3, a= 0,解得或(舍去)，ba= 6.b=3 b=014. (2019北京东城区期末，13分)已知f(x)是定义在1, 1上的奇函数，且f(-1) = -1,当 a, b -1, 1, a+bw0 时，有 f f (b) >0 恒成立. a b(I )求f(x)在区间1,1 上的最大值；(n)若对任意的tC 1, 1都有f(x)R2m2tm 4,求实数m的取值范围.答案:(I )1 (n )-1, 1解：(I)任取 x1，x2C 1, 1,且令 x1<x2,则一x2C 1, 1. .f(x)为奇函数，f(x1) f (x1)+ f ( x2)-f(X2)=f(x9a+3,一 o<a<