立体几何初步讲义汇编

1、学习-好资料第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(4)公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.2.空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系、异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一

2、点O作直线a / a, b / b,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围：?，2.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互出3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.辨析感悟1 .对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(X )(2)两个平面% 3有一个公共点 A,就说% 3相交于A点，记作“n 3= A.(X)(3)(教材练习改编)两两

3、相交的三条直线最多可以确定三个平面.(，)(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(X)2 .对空间直线关系的认识(5)已知a, b是异面直线、直线 c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.(，)(6)没有公共点的两条直线是异面直线.(x )更多精品文档学习-好资料感悟提升1. 一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等.如（1）中两个不重合的平面还可把空间分成三部分.2. 两个防范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如（2）;二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如（4）

4、.3. 一个理解 异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如（6）.考点一平面的基本性质及其应用【例1】（1）以下四个命题中，正确命题的个数是（）.不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A, B, C, D共面，点 A, B, C, E共面，则 A, B, C, D, E共面；若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，P, Q, R分别是AB, AD, B1C1的中点，那么正方体的过 P, Q, R的截面图

5、形 是（）.A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形规律方法（1）公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.（2）画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.【训练1】如图所示是正方体和正四面体， P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是 .0 0*金企 考点二空间两条直线的位置关系【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G, H,

6、M, N分别为DE, BE, EF , EC的中点，在这个正四面体中，AGH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.穴7焉X以上四个命题中，正确命题的序号是 ./ D FI C JV C规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 （梯形）中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关更多精品文档学习-好资料系，往往利用线面垂直的性质来解决.GH, MN是异面直线的图【训练2】 在图中，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线O,PO,

7、平面ABCD, PB与平面ABCD所成角为60.求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的余弦值.规律方法(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成角的取值范围是 (0, 2 当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【训练3】(2014成都模拟)在正方体ABCD

8、 AiBiCiDi中，E, F分别是棱A1B1, A1D1的中点，则AiB与EF所成 角的大小为.|课堂小结|1 .证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.2 .证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合.3 .异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点 A与平面内一点 B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.思想方法7构造模

9、型判断空间线面的位置关系【典例】(2012 上海卷)已知空间三条直线l, m, n,若l与m异面，且l与n异面，则().更多精品文档学习-好资料A . m与n异面B. m与n相交C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能【自主体验】1 . （2013浙江卷）设m, n是两条不同的直线， % 3是两个不同的平面（）.A.若 m / % n / & 则 m / nB.若 m / a, m / 3 ,则 a/ 3C.若 m n, m, a,贝U n, aD.若 m a, a, 3,贝U m 32 .对于不同的直线 m, n和不同的平面 a, & %有如下四个命题：若 m II a,mn,

10、则 n a;若m%mi n,则 n II a;若 也氏 d 就贝U all若m a, mHn,n? 3,则a, 8其中真命题的个数是 （）.A.1 B. 2 C. 3 D. 4基础巩固题组一、选择题1 . （2013江西七校联考）已知直线a和平面% 3,加3= l, a?”，a? &且a在% 3内的射影分别为直线 b和c,则 直线b和c的位置关系是（）.A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面2 .在正方体AC1中，巳F分别是线段BC, CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）.A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直3 .设P表示一个点，a, b表示两条直线，

11、”，3表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）. PC a, PC Q a?您 an b= P, b?傥 a?邃 a / b, a? % PCb, PCo?b?an 3= b, PC% PC 仅 PCbA. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题5.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线4.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60角的条数为（）.6 .如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱CiDi、C1C直线AM与CCi是相交直线；/直线AM与BN是平行直线；*直线BN与MBi

12、是异面直线；/人直线AM与DD 1是异面直线.再其中正确白结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）7 . （2013江四卷）如图，正万体的底向与止四向体的底面在同一半囿 面所在的平曲相交的平间个数为/父的中点，有以卜四个结论：M a5a上，且AB / CD ,则直线EF与止方体的六个、解答题/SW78.如图，四边形 ABEF和ABCD都是直角梯形，/的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；更多精品文档BAD = Z FAB = 90, BC=AD, BE=2FA, G, H 分别为 FA, FD1 cA. B. C. D.学习-好资料（2）C, D, F, E四点是否共面？为什么?O,

13、M共9.在正方体ABCD AiBiCiDi中，对角线AiC与平面BDCi交于点O, AC, BD交于点M,求证：点Cn 线.能力提升题组、选择题1 . （20i4长春一模）一个正方体的展开图如图所示，A . AB / CDB . AB 与 CD 相交C. ABXCDD. AB与CD所成的角为2 .在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别为棱A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中AAi, CCi的中点，则在空间中与三条直线AiDi, EF,()CD都相交的直线（）.A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条二、填空题3.（20i3安徽卷）如图，正方体 ABC

14、DAiBiCiDi的棱长为i, P为BC的中点，Q为线段CCi上的动点,A, P,Q的平面截该正方体所得的截面记为当当CQ = 2时,S为等腰梯形;当1 , ，一一0VCQV2时，S为四边形;3 .CQ = 3时，S与CiDi的交点)更多精品文档当3vCQ：1时,S为六边形；当CQ=i时，S的面积为我 三、解答题4 如图，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，求AiCi与BiC所成角的大小；（2）若E, F分别为AB, AD的中点，求AiCi与EF所成角的大小.学习-好资料第4讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形b-目fl -1/ /条件a A

15、 a= ?a?% b? ”，a/ ba/ aa / a, a? & ad 3= b结论a / ab/ aa A a= ?a / b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形/F 7U zl血_/条件aCl 3= ?a? B, b? B： an b=P：aJ 0 加尸a、a/ & a? 3a II a、b H e(3尸 b结论a/ 3a/ 3a / ba/ a辨析感悟1.对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( X )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(X)(3)若直线a与平面a内无数条直线

16、平行，则 all a.(x )(4)若直线a, PC ”，则过点P且平行于a的直线有无数条.(X)更多精品文档学习-好资料2.对平面与平面平行的判定与性质的理解（5）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（X）（6）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（，）（7）（教材练习改编）设l为直线，% 3是两个不同的平面，若l / /，1/ 3,则a/ 8（X）感悟提升三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如（1）、（3）.二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内白两条相交直线平行于另一平面，如（5）.三是利用线面平

17、行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该 直线与交线平行，如（2）、（4）.考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】（1）（2013广东卷）设m, n是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）.A.若a&m?a,n?&则mnB.若a/&m?a,n?&，则m/ nC.若mn,m?a,n?&则a3D.若ma,m/n,n /3,则a 3（2）设m, n表示不同直线，a, 3表示不同平面，则下列结论中正确的是（）.A.若m/%m/n,则n/aB.若m?a,n?&m/3,n/% 则a/ 3C.若a/8m /a,m /n,贝Un

18、/3D.若a/&m /a,n /m,n?3,贝U n/ 3规律方法 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模 型来解题.【训练1】（1）（2014长沙卞II拟）若直线ab,且直线a/平面 %则直线b与平面”的位置关系是（）.A. b? a B. b/ a C. b? a或 b/ a D. b与 a相交或 b? a或 b/ a（2）给出下列关于互不相同的直线1, m, n和平面a, 3, 丫的三个命题：若1与m为异面直线，1? a, m? 3,则a/ 3；若a/ & 1? a, m? &则1 / m；若ad 3= 1,归km, yd a= n,

19、1/ %则m/ n.其中真命题的个数为（）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0考点二线面平行的判定与性质【例 2】 如图，直三棱柱 ABC A B C，/BAC=90,AB=AC=V2, AA =1,点M,N分别为A B 和 B C的中点.证明：MN/平面A ACC ; （2）求三棱锥 A MNC的体积.规律方法 判断或证明线面平行的常用方法:（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a? a, b? % a/b? a/o）,其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明 更多精品文档学习-好资料时注意用符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(“/

20、 8 a? “？ all份；(4)利用面面平行的性质 3, a?3, all ? all 3).【训练2】如图，在四面体 A BCD中，F, E, H分别是棱AB, BD, AC的中点，G为DE的中点.证明：直线HG/平面 CEF.考点三面面平行的判定与性质【例3】(2013陕西卷)如图，四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，O是底面中心，AiO,底面ABCD,AB = AAi = tJ2.证明：平面AiBD/平面CDiBi；(2)求三棱柱 ABDAiBiDi的体积.规律方法(i)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论(即“线线平行？面

21、面平行”)，通过线面平行来完成证明;根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助“传递性”来完成.(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用.【训练3】 在正方体ABCDAiBiCiDi中，M,求证：平面PMN /平面AiBD.N, P分别是CiC, BiCi, CiDi的中点, cMGi.平行关系的转化方向如图所示:X, 而湎平行的判定 .战面用讣U 口面面平行1 面面平柠的性图1更多精品文档2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，

22、 其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化” .答题*II板8如何作答平行关系证明题学习-好资料【典例】（12分）（2012山东卷，文）如图1,几何体EABCD是四棱锥， ABD为正三角形，CB=CD, ECXBD.（1）求证：BE=DE;（2）若/ BCD=120, M为线段 AE的中点，求证： DM /平面BEC.反思感悟立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点.本题易忽视 DM?平面EBC,造成步骤不完整而失分.,【自主体验】（2013福建卷改编）如图，在四棱锥 P ABCD中，AB/D

23、C,AB=6, DC=3,若M为PA的中点，求证： DM /平面PBC.基础巩固题组一、选择题1 .已知直线a, b, c及平面 % 3,下列条件中，能使 all b成立的是（）.A. a / a, b? a B. all a, b/ a C. all c, b/ c D. a/ a, an 3= b2 .在梯形ABCD中，AB/CD, AB?平面 “CD?平面a,则直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是 （）.A.平行 B.平行和异面C.平行和相交D.异面和相交3 . （2014陕西五校一模）已知直线a和平面%那么all a的一个充分条件是（）.A .存在一条直线b, a /b且b? aB

24、 .存在一条直线b,ab且baC.存在一个平面& a?3且a/ 3D.存在一个平面3,a / 3且a/ 34 . （2014汕头质检）若m, n为两条不重合的直线， 3为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）.A .若m, n都平行于平面 %则m, n一定不是相交直线B.若m, n都垂直于平面 %则m, n 一定是平行直线C.已知“，3互相平行，m, n互相平行，若 m/ /，则n/ 3D.若m, n在平面a内的射影互相平行，则 m, n互相平行5 .在空间四边形 ABCD中，E, F分别为AB, AD上的点，且 AE ： EB= AF ： FD = 1 ： 4,又H, G分别为BC, C

25、D的中点，则（）.A. BD/平面EFG,且四边形 EFGH是平行四边形B. EF/平面BCD ,且四边形 EFGH是梯形更多精品文档学习-好资料C. HG /平面ABD,且四边形 EFGH是平行四边形D. EH /平面ADC,且四边形 EFGH是梯形二、填空题6. （2014南京一模）下列四个命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.其中所有真命题的序号是 .7. （2014衡阳质检）在正方体 ACi

26、中，E是DDi的中点，则 BD与平面ACE的位置关系为 .8. （2014金丽衢十二校联考）设%氏 他三个平面，a, b是两条不同直线，有下列三个条件： all % b? 3;a / T, b/ 3;b/ 3, a? 丫如果命题“加3= a, b? %且,则a/ b”为真命题，则可以在横线处填入的条 件是（把所有正确的题号填上）.三、解答题9. （2014青岛一模）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A, N, D三点的平面交 PC于M.（1）求证：PD /平面ANC; （2）求证：M是PC中点.10. 如图，已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点

27、E在AA1上，点F在CC上，G在BB上，且AE=FC1 = B1G=1, H 是 B1C1 的中点.（1）求证：E, B, F, D1四点共面；（2）求证：平面 AGH/平面BED1F.能力提升题组、选择题1 . （2014蚌埠模拟）设m, n是平面”内的两条不同直线；l1，l2是平面3内的两条相交直线，则 “/ 3的一个充分而C. m / 3且 n/ 3 D .)B 且 n / l2N, P分别为不必要条件是（）.A. m/ 3且l a B. m/ 1且n/ l22 .下列四个正方体图形中，A, B为正方体的两个顶点，M,其所在棱的中点，能得出 AB/平面MNP的图形的序号是（ A. B.C

28、. D.学习-好资料 二、填空题3. (2014陕西师大附中模拟).如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E, F, G, H分别是棱CC，C1D1, Dq, DC 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有 MN /平面BiBDDi.三、解答题(1)求证：MN /平面 CDEF ;(2)求多面体A-CDEF的体积.的视图甯现谢第5讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理1 .直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面a内的任意二条直线都垂直，则直线 l与平面a垂直.(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(线线垂直？线面

29、垂直).即:a? a, b? % la, lb, aAb=P? IXjx.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即:a a, b a? alb.2 .平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即:a? a, a 傥(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.即:a_L & a? a, ad 3= b, ab? aXJ3 .直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.(2)线面角

30、。的范围：长0, 24 .二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点， 在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.辨析感悟1.对线面垂直的理解(1)直线 a, b, c;若 a, b, b,c,贝U a / c.(x )4. (2014长沙*II拟),一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M, N分别是AF, BC的中点).更多精品文档学习-好资料(2)直线l与平面a内无数条直线都垂直，则l，a(X)(3)(教材练习改编)设m, n是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，若 m/n,

31、 m a,则n,武，)(4)(教材习题改编)设l为直线，a, 3是两个不同的平面，若 a_L 3, l / a,则l _L 0(X )2.对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)(6)若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数条直线，则3-(X)感悟提升三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面，如(2);三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况，如(6).考点一直线与平面垂直的判定

32、和性质【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PAL底面 ABCD, ABXAD, AC CD , Z ABC =60, PA=AB=BC, E 是ppc的中点.A、11 证明：(1)CD，AE; (2)PD,平面 ABE./； 规律方法 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面).解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、 菱形的对角线互相垂直、 直

33、角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理 卜 直角梯形等等.,【训练 1】 如图，直四棱柱 ABCDAiBiCiDi 中，AB/CD, ADXAB, AB=2, AD = V2, AAi=3, E 为 CD 上一点，DE=1, EC=3.证明：BE,平面 BB1c1c./考点二平面与平面垂直的判定与性质证明：平面ABC平面B1CD.4【例2】(2014深圳一模)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA/平面ABC, AB=BC=AAn且AC = J2BC,点D更多精品文档D学习-好资料“证面面垂直，找线面垂直规律方法 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为 化归思

34、想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键.【训练2】证明：平面如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=AD=1, AA1=2,ABM，平面 AiBiM.M是棱CCi的中点.更多精品文档考点三平行、垂直关系的综合问题【例 3】 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABXAC, ABXPA, AB/CD, AB=2CD, E, F, G, M, N 分别为 PB, ab, bc, pd, pc 的中点.(1)求证：ce/平面pad；(2)求证：平面 EFGL平面 EMN.证据链”依然是通过挖掘题目

35、规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的 已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材.【训练3】 如图，AB是圆。的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆。上的点.(1)求证：BCL平面PAC;(2)设Q为PA的中点，G为AAOC的重心，求证： QG/平面PBC.考点四 线面角、二面角的求法【例 4】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAL底面 ABCD, ABXAD, AC CD , Z ABC =60, PA=AB=BC, E 是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明AEL平面PCD;(

36、3)求二面角 APD C的正弦值.学习-好资料规律方法(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成;计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱 的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.【训练4】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，BBi与平面ACD1所成角的余弦值为B.3C2C.3d.判定WzI1.转化思想：垂直关系的转化性质线线套直，线面垂直=。面击套直2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面

37、的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.创新突破7求解立体几何中的探索性问题用1图工【典例】(2012北京卷)如图1,在RtABC中，/ C=90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点.将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使 AFLCD,如图2.(1)求证：DE/平面 A1CB;(2)求证：A1FXBE;线段A1B上是否存在点 Q,使AC平面DEQ?说明理由.反思感悟(1)解决探

38、索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在.(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误.【自主体验】更多精品文档1（2014韶关模拟）如图1,在直角梯形 ABCD中，/ ADC=90 , CD/ AB, AD = CD = AB= 2,点E为AC中点，将 ADC沿AC折起，使平面

39、 ADC，平面ABC,得到几何体 D ABC,如图2.（1）求证：DAXBC;D,7Vs外（2）在 CD 上找一点 F,使 AD/平面 EFB., 月/第二:NAjB国12基础巩固题组一、选择题1. 设平面“与平面3相交于直线 m,直线a在平面“内，直线b在平面3内，且bm,则 a 6是ab”的（）.A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. （2014绍兴调研）设a, 3为不重合的平面，m, n为不重合的直线，则下列命题正确的是A.若 也以 aA 3= n, m，n,则 mX a B.若 m? a, n? 3, mn,则 naC.若 n a, n 3,

40、 m 8 贝U m aD.若 m & n II mn,则 a 33. （2013新课标全国n卷）已知m,n为异面直线，m,平面a, n,平面0直线l满足l，m, U n, l? % l?3,则（）.A./B 且 laB . a_L 3 且 l _L 3C. a与3相交，且交线垂直于l D. a与3相交，且交线平行于l4 .（2014深圳调研）如图，在四面体 DABC中，若AB=CB, AD=CD, E是AC的中点，则下列正确的是（）.DA,平面 ABC，平面 ABD B,平面 ABD，平面BDCC.平面 ABC，平面 BDE,且平面 ADCL平面 BDE0个-*二二二费占D,平面 ABC，平面

41、 ADC,且平面 ADCL平面 BDE飞/5 . （2014郑州模拟）已知平面”，3, 丫和直线l, m,且lm,工卜 加 产m, 3nkl,给出下列四个结论：肚丫l, “；m, 3;n 3.其中正确的是（）.A. B.C. D.二、填空题6 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点 M满足 时，平面MBDL平面PCD7（只要填写一个你认为正确的条件即可）.*u7 .已知平面平面& AC % B 3, AB与两平面 % 3所成的角分别为3口6,过A, B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A , B,则 AB：A B =.8 .设% 3是空间

42、两个不同的平面，m, n是平面a及3外的两条不同直线.从 m n；a 3；n，3;m a中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（用代号表示）.三、解答题更多精品文档学习-好资料9 .如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD, ABXAD, CD=2AB,平CD和PC的中点.求证：%(1)PAL底面 ABCD;(2)BE/平面 PAD;A pV(3)T BEF PCD.10 . (2013泉州模拟)如图所示，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，D (1)求证：BiDi/平面 AiBD;(2)求证：MDLAC;试确定点M的位置，使得平面 DMCi,平面CCiDiD

43、.向 PAD,底向 ABCD, PAX AD.E和F分别是 CB=BC, DBAC,点 M 是棱 BBi 上一点.V31G一、选择题1 .如图，在斜三棱柱 ABC AiBiCi中，/A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D. ABC内部2 . (20i4北京东城区期末)如图，在四边形 角线BD折成四面体A BCD,使平囿能力提升题组BAC=90, BCAC,则Ci在底面ABC上的射影 H必在二ABCD 中，AB=AD = CD=i, BD = V2, BD, CD.将四边形 ABCD 沿对A BDL平面BCD,则下列结论正确的是A. A CBDB. / BA C= 90C. CA与中回A

44、BD所成的角为30 , iD.四面体A - BCD的体积为石3二、填空题3. (20i3河南师大附中二模)如图，已知六棱锥 列结论中：PBXAE;平囿 ABC,平囿PBC;直线 BC/平面PAE;/ PDA = 45.其中正确的有 (把所用止确的序号都填上三、解答题CP-ABCDEF的底面是正六边形， FAIT ABC, FA = 2AB,则下, AB更多精品文档学习-好资料4.如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面AB的中点，N为SC的中点.（1）证明：MN /平面SAD;（2）证明：平囿 SMCL平囿SCD;（3）记CD=）求实数入的值，使得直线 ADABCD为矩形，SAX平面 ABCD,二

45、面角 SCD A的平面角为 45, M为尸- yDSM与平卸SCD所成的角为30.鲁、/B匚、选择题基础回扣练一一空间几何体及点、线、面之间的位置关系1. （2014中山模拟）一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是2.（2013豫西五校联考子中，/ ABC的值为）如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A, B, C是展开图上的三点，则在正方体盒A.30B.C.60D.)3.A.C.4590（2013浙江五校联盟联考若 l / a, an 3= m,则）关于直线ll / m B.若 l _L a, l / 3,则 a_L 3D.4.若直线m?平面”，则条件甲：直线m

46、及平面a,3,下列命题中正确的是（）.若 l / a, m / a,则 l / ml / a是条件乙：l/m的（）.A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件5. （2014揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A.22B.?J7C.6c 23 D.?正视图侧视图6.（2013温州二模）下列命题正确的是（）.俯视图A.若平面a不平行于平面 3,则3内不存在直线平行于平面俯祝图、填空题学习-好资料B.若平面a不垂直于平面3,则3内不存在直线垂直于平面巴贝U m”n B. m a, n,&且也以贝U mnC.)n & m a, n 3,贝U mn.12.