立体几何大题练习(文科)汇编

1、学习-好资料立体几何大题练习(文科)：1.如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是梯形，AB/ DC, / ABC=90, AD=SDBC=CD=的 侧面 SAD，底面 ABCD(1)求证：平面SBD1平面SAD;(2)若/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为也，求侧面 SAB的面积.12【分析】(1)由梯形ABCR设BC=a则CD=a AB=2a运用勾股定理和余弦定理，可得AD,由线面垂直的判定定理可得 BD±¥面SAD,运用面面垂直的判定 定理即可得证；(2)运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理，可得SA, S

2、B,运用三角形的面积公式，即可得到所求值.【解答】(1)证明：在梯形 ABCD中，AB/ DC, /ABC=90, BC=CD=AB ,设BC=a贝U CD=a AB=2a,在直角三角形 BCD中，/ BCD=90,可得 BD/a, /CBD=45, /ABD=45,由余弦定理可得 AD= ' ：1,- j ：- I ' =a，WJ BD± AD,由面SAD1底面ABCD 可得BD，平面SAD, 又BD?平面SBD,可得平面SBDL平面SAD;(2)解：/ SDA=120,且三棱锥S- BCD的体积为*,由 AD=SD= ：a,在ASAD中，可得 SA=2SDsin6

3、仔 i，a, SAD的边 AD上的高 SH=SDsin60=a,2由SHU平面BCR可得解得a=1,由BDL平面SAD,可得BD, SD,SB= ：I ,=L i ' = 2a，又 AB=2a在等腰三角形SBA中，边SA上的高为 仄江j=OQa, V 4 a 2则 SAB的面积为二x SAX遮a15 a=ZH . 2222【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用， 注意运用转化思想，考查三棱锥 的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题.2 .如图，在三棱锥 A- BCD中，AB±AD, BC± BD,平面ABD，平面BCR点E、F （E与A、D不重合

4、）分别在棱 AD, BD上，且EF±AD.求证：（1） EF/平面ABC;(2) AD，AC.【分析】（1）利用AB/ EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G,连结FG EG使得FG/ BC,则EG/ AC,利用线面 垂直的性质定理可知FG±AD,结合线面垂直白判定定理可知 AD，平面EFG从而可得结论.【解答】证明：（1）因为AB，AD, EF±AD,且A、B、E、F四点共面, 所以 AB/ EF,又因为EF?平面ABG AB?平面ABC,所以由线面平行/U定定理可知： EF平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG EG使得FG/ BC

5、,则EG/ AC,因为 BC± BD, FG/ BC,所以FG± BD,又因为平面ABD±¥面BCR所以FG,平面ABD,所以FG±AD, 又因为 AD±EF,且 EFA FG=B所以ADL平面EFG所以AD± EG,故 ADLAC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力，考查转化思更多精品文档想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累, 属于中档题.3 .如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC，底面ABC, AC±CB,点M和N分别 是BiG和BC的中点.(

6、1)求证：MB/平面AGN;(2)求证：AC±MB.【分析】(1)证明MCiNB为平行四边形，所以 GN/MB,即可证明MB/平面AGN;(2)证明AC，平面BCCB,即可证明AC± MB.【解答】证明：(1)证明：在三棱柱ABC- A1B1C1中，因为点M, N分别是B1C1,BC的中点，所以 GM / BN, GM=BN.所以MC1NB为平行四边形.所以 C1N/ MB.因为C1N?平面AGN, MB?平面AGN,所以MB/平面AGN;(2)因为CC，底面ABC,所以AC± CC.因为 AC, BC, BCn CQ=C,所以AC,平面BCCB1 .因为MB?平

7、面BCCB1,所以AC±MB.【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题.4 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD| BC, PDL底面 ABCD/ADC=90, AD=2BC Q为AD的中点，M为棱PC的中点.(I)证明：PA/平面BMQ;(H)已知PD=DC=AD=2求点P到平面BMQ的距离.【分析】(1)连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MN / PA,利用线面平行 的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平 面BMQ的距离.【解答】解：（1）

8、连结AC交BQ于N,连结MN,因为/ ADC=90, Q为AD的中点，所以N为AC的中点.（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为APAC的中位线, 故MN / PA,又MN?平面BMQ,所以PA/平面BMQ.（5分）（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面 BMQ 的距离，所以 Vp bmq=Va bmq=Vm abq,取CD的中点K,连结MK,所以MK/PD,毗"口二1 ,（7分）又PDL底面ABCR 所以M。底面ABCD 又PD=CD=2所以AQ=1, BQ=2,购=q,阳=1 ,（化分）所以 Vp bmq=Va bmq=Vm ab

9、q=4，rq.§q，（11 分）则点P到平面BMQ的距离d=3w.（12分） sabkq 2【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直 线的距离.5 .如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BC±AC, D, E分别是AB, AC的中点.（1）求证：Bi。/平面 AQE；（2）求证：平面A1DE1平面ACCA1.【分析】（1）证明B1C1/DE,即可证明BiG平面AiDE;（2）证明DE，平面ACCAi,即可证明平面AiD已平面ACCAi.【解答】证明：（1）因为D, E分别是AB, AC的中点，所以DE/ BC,口分）又因为在三棱柱 AB

10、C- A1B1C1中，BC / BC,所以B1C1 / DE- （4分）又B1C1?平面ADE, DE?平面A1DE,所以BC /平面ADE（6分）（2）在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC，底面ABC,又DE?底面ABG所以CC11DE - （8分）又 BC，AC, DE/ BC,所以 DE±AC,。分）又 CC, AC?平面 ACCA1,且 CCnAC=C 所以 DEX平面 ACCA（12 分）又DE?平面ADE,所以平面AQE，平面ACCA（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.6 .在四棱锥P- ABCD中

11、，PC，底面ABCR M, N分别是PD, PA的中点，ACX AD, /ACD=Z ACB=60, PC=AC（1）求证：PAL平面CMN;（2）求证：AM/平面PBC【分析】（1）推导出MN/AD, PCX AD, AD± AC,从而AD,平面PAC进而AD XPA, MNLPA 冉由 CN±PA,能证明 PAL平面 CMN.（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQ / PC,从而MQ/平面PBG 再求出AQ/平面，从而平面 AMQ/平面PCB，由此能证明 AM/平面PBC学习-好资料【解答】证明：（1） . M, N分别为PD PA的中点， . MN 为AP

12、AD的中位线，. MN/AD,PC1 底面 ABCD AD?平面 ABCR. PCX AD,又AD，AC, PCnAC=CAD，平面 PAC .AD，PA, .,.MNXPA,又PC=AC N 为 PA的中点，.二 CN± PA,. MNnCN=N MN?平面 CMN, CM?平面 CMN, PAL平面 CMN.解（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ, .MQ 是APCD的中位线，. MQ/PC,又PC?平面 PBG MQ?平面 PBC .MQ/平面 PBC v AD±AC, /ACD=60, . . / ADC=30.丁. / DAQ=/ ADC=30,. / QAC=

13、Z ACQ=60, ./ACB=60, . . AQ/ BC,. AQ?平面 PBG BC?平面 PBG-AQ/平面 PBC,. MQnAQ=Q.平面 AMQ/平面 PC0,.AM?平面 AMQ,.AM/平面 PBC【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面问 的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.7 .如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD!底面ABCR且PA=PD#_AD, E、F分别为PG BD的中点.(1)求证：EF/平面PAD;(2)求证：面

14、PAB，平面PDC.【分析】(1)连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF/ PA利用 直线与平面平行的判定定理证明 EF/平面PAD;(2)先证明CD± PA,然后证明PAI PD,利用直线与平面垂直的判定定理证明 PA1平面PCR最后根据面面垂直的乎U定定理即可得到面 PABL面PDC.【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F, F也为AC中点，E为PC中点.所以在 CPA中,EF/ PA,又PA?平面PAD, EF?平面PAD,所以EF/平面PAR(2)平面PAD,平面ABCD平面 PADA 面 ABCD=AD? CD,平面 PA

15、D? CD± PA正方形ABCD中CD±ADPA?平面PADCD?平面ABCD又- .,i,所以 pa2+pd2=aD2所以 PAD是等腰直角三角形，且上收D二；,即PAI PD.因为 CDA PD=D,且 CD PD?面 PDC所以PAL面PDC又PA?面PAB所以面PABL面PDCB【点评】本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用，考查 逻辑推理能力.8 .如图，在四棱锥P- ABCD中，P/a平面ABCR底面ABCD为菱形，且PA=AD=2BD=2/2, E、F分别为 AD、PC中点.(1)求点F到平面PAB的距离；【分析】(1)取PB的中点G,连接

16、FG AG,证得底面ABCD为正方形.再由中 位线定理可得FG/ AE且FG=AE四边形AEFG是平行四边形，则 AG/ FE,运用 线面平行的判定定理可得 EF/平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运 用线面垂直的判定和性质，证得 ADL平面PAB，即可得到所求距离；(2)运用线面垂直的判定和性质，证得 BCL平面PAB，EF,平面PBG再由面 面垂直的判定定理，即可得证.【解答】(1)解：如图，取PB的中点G,连接FG、AG,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 BD=2V2,所以底面ABCD为正方形. B F分别为AD PC中点， .FG/ BC, AE/ BC, F 昌

17、, AE-yAD , .FG/ AE 且 FG=AE四边形AEFG是平行四边形，. AG/ FE,v AG?平面 PAB, EF?平面 PAB. EF/ 平面 PAB,点F与点E到平面PAB的距离相等,由PA!平面 ABCR 可得PA!AD,又 ADLAB, PAH AB=A,AD,平面PAB则点F到平面PAB的距离为EA=1.(2)证明：由(1)知 AG，PB, AG/ EF, PAL平面 ABCD. BC± PAAb BC± AB, ABA BC=B BJ 平面 PAB, 由AG?平面PAB，BC±AG,又 v PBA BC=BAG，平面 PBG.EF!平面

18、PBGv EF?平面 PCE平面PCEL平面PBCPBC【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂 直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关 键，属于中档题.9.在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，/ BAD=Z ADC=90,DC=2AB=2ADBC± PD, E, F分另1J是PB, BC的中点.求证：（1） PC/平面DEF;(2)平面PBC1平面PBD.【分析】（1）由中位线定理可得PC/ EF,故而PC/平面DEF；（2）由直角梯形可得BC± BD,结合BC± PD得出BC，平面PBD,于是平面PBC，平面PBD.【解答】证明：(1) . E, F分别是PB, BC的中点, .PC EF,又PC?平面DEF, EF?平面DEF，.PC/平面 DEF(2)取CD的中点M,连结BM,则 ABDM,又 AD，AB, AB=AD,四边形ABMD是正方形，BMXCD,