考研数学二真题2011年

1、.word格式,2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求(1)已知当x-0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则().(A) k=1 , c=4 (B) k=1 , c=-4(C) k=3 , c=4 (D) k=3 , c=-4已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0 .则/心 巾二().(A) -2f(0) (B) -f(0)(C) f。(D) 0函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为().(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3(4)微分方程y"-烂y=e入+

2、e"(入6)的特解形式为().(A) a(e 入+e-入)(B) ax(e 入+e-4(C) x(ae 入 +be -入)(D) x 2(ae 入 +be - 入)(5)设函数f(x), g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)>0, g(0)<0,且 f(0)=g'(0)=0 .则函数Z=f(x)g(y)在点(0, 0)处取得极小值的一个充分条件是().(A) f"(0)<0, g"(0)>0 (B) f"(0) <0, g"(0) < 0(C) f"(0) >0, g"(0

3、) >0 (D) f"(0) >0, g"(0) <0：2不/ = Infiinxd%,，= I IncotvdxK = IncoKxdx(6)设*此尺.则I, J, K的大小关系是().(A) I<J< K (B) I<K< J(C) J< I<K (D) K<J< I6 R = 0 0J I。10)ic ； 皿,则 A=( ) .设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B.再交换B的第U 0E = 1 I2行与第3行得单位矩阵，记(° ° pyp(A) P1P2 (B)(C) P2

4、P1 (D)(8)设A=( a, a2, a3, a4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1 , 0, 1, 0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为().(A) 1 0 0C3 (B) 1 5 /2(C) 1 /x 0C2, 0C3 (D)2 a a3, 0C4二、填空题回式广(9) i / =(10)微分方程y'+y=e -xcosx满足条件y(0)=0的解为y=y - I plan(df第 W%)(11)曲线一 I4/的弧长$=pu3 卢 >0(12)设函数 io，(13)设平面区域D由直线y=x ,圆x2+y 2=2y及y轴所组成,则二重积分、心

5、Et ,X? + 3工：+ 工;+ 2 工4+ 2x,Xi + 2M2Hq L r，(14)二次型 f(x1, x2, x3)= 123 f * 3 ,则 f 的正惯性指数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.网工)_地(1 +)府 lim F(%) = limFO) =0(15)已知函数/.设一”e，试求a的取值范围.1 * 1x = 3： +t + y,'JU.(16)设函数y=y(x)由参数方程L 33确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x),的凹凸区间及拐点.(17)设函数Z=f(xy , yg(x),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处

6、取得极值g(1)=1 ,求无力"(18)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l： y=y(x)与直线y=x相切于原点，ila dy记a为曲线l在点(x, y)外切线的倾角,若袅E.求y(x)的表达式.< lu 1 + J < -(19) 证朋：对任意的正整数n,都有t + 1' M 凡成立. LI1= 1 + =-+ + 一 一 Inn设2(n=1 , 2,)证明数列an)收敛.(20) 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由1 Ix2+y 2=2y(y 工)与 x2+y 2=1(y 金)连接而成.(I求容器的容积；(n芳将容器内盛满的水从容器顶部

7、全部抽出，至少需要做多少功？(长度 单位：m.重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3).一120 KS专业.专注(21)已知函数f(x, y)具有二阶连续偏导数，且f(1, y)=0, f(x, 1)=0,其中D=(x, y)0 <x<1, 0<y01计算二重积分 I =加Mgg&k量组2(1 ,1 , 1)T,(22)设向量组 a1=(1 , 0, 1)T, a2=(0, 1, 1)T, a3=(1 , 3, 5)T,不能由向二(1 , 2, 3)T,饱=(3, 4, a)T线性表示(I求a的值；(H)等由，02 ,饱用附，0C2 ,0C3线性表小.(2

8、3)设A为三阶实矩阵，(I求A的特征值与特征向量； (n求矩阵A.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、选择题(1)考点无穷量的比较答案解析因为19sinx = *一-十 q( jc3 ) T sin3 x = 3 不一 x3 + o( )62,所以f(x)=4x3+o(x 3)4x3,于是 c=4 , k=3 ,故选(C).(2)考点导数的定义答案解析同g三/© = 1M寸2屉，30)二a4TlAdXx C耳'选(B).考点确定f(x)的零点个数答案解析求出f(x):r” 1 G 2) 3) 4 (* - 1)(死 - 3) + 1)(-2)' _-1

9、)(.2)4-373r 12力 + 11(x - 1) (x -2)(% - 3)由判别式122-4 X 3X 11=1202 03x2-12x+11有两个零点(不是x=1 , x=2 , x=3),因此f(x)有两个驻点.故选(C).(4)考点微分方程的求解y2-正=0 ,解得y产入2=-答案解析原方程对应的齐次方程的特征方程 入，则y"- %y=e入，的特解y=xe入C1y"- 22y=e入珀勺特解y2=xe-入C2故原方程的特解y=x(C 1e入+C 2e-入)故选(C).(5)考点利用导数求函数的极值登=/"(动目兴G)答案解析z=f(x)g(y)“内b

10、-京,二，rQT5) 4 二台三，g)c = =/(x)Z(j)在(0, 0)点，A=f"(0)g(0)B=f(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0),葭。算"m=n若”小心在也外有极小修AC-B2>0 且 A>0"f"(0)<0, g"(0) >0 故选(A).(6)考点定积分的计算X G 0, 答案解析I4 s sinx<eosx< 1 <cotx 贝UInsinx < Incosx < 0< IncotxIn cot芋日工> 0故.即I<K<

11、; J故选(B).(7)考点矩阵的初等变换答案解析显然P2AP产E,"二凡巴 A =心打，故选(D).j-号In sin xdx < In co?工d* < 0p因为*(8)考点线性方程组的基础解系答案解析因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量 于是r(A*)=1 ,故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又A*A=|A|E=0且r(A)=3 ,所以A的列向量组中含A*x=0所以 r(A)=3 ,的基础解系，因为(1, 0, 1, 0)T是方程组Ax=0的基础解系故 ai , oc2, a4 或 a2, ot3 基础解系，故选(D).二考点极限的计算答案解析a4线

12、性无关，显然,所以 ai+ oc3=0 ,22 , 0C3, a4 为 A*x=0 的一个liw II +2lini 1*3 X(10) e-xsinx考点一阶微分方程求解答案解析-If=e故 y=e-xsinx.(11) ： 、 考点曲线积分的计算答案解析£ .一 一£ 二1Jl + tan%cU = In |L(12)'考点反常积分计算f+«产拄=答案解析7(13)二考点二重积分的计算答案解析?”八£可Hu#pcos&，sing，p * dp c口sgsinMe3812(14) 2考点二次型答案解析特征值%=0,乃=1 , %=4,

13、f惯性指数为2.(C+sinx),由于 y(0)=0 ,则 C=0 ,三、解答题(15)考点极限的逆问题Inn /(第)=+ b答案解析当a=0时，因为一,所以结论不正确；Hm F(")当a<0时，因为-2所以结论也不正确；当a>0时，沁1"1产 UX/ln（I + I2） d;Ilin /'（jc） = hm 舄一）萌t+«工'=lim 卬1 学）=Sim-一三=。得。> L，* 驻曰1 +耳曰（仪一 1）笈rin（l +）也 I f | *外工liniF'd）二）im ；= lini - = 1 ini 工 0 得 2

14、 > a - L工 小土，if 工"r-kO* tCCr-*04 <Lt所以a<3,于是1<a<3.(16)考点利用导数求函数的凹凸区间及拐点却挑=曰=。*=1&嘀4,/ 11I111H- r答案解析d必&/山(/+1产立 一1 一口当t=1时，因为d/ (/+1)2,所以当t=-1即x=-1时,函数取极大值y=1 .d, 4fl 门<当t=i时，因为山(t+】*,所以当t=i即'一 3_ _ J_时，函数取极小值H- 丁.2 dfVdtd 4，令 ddt L(+l)3-得t = 0吟<o 再>0,当 t<

15、0 时，d',当 t>0 时&''f - B白当t<0时即I3/时，函数为凸函数，工E (小+)当t>0即'3/时，函数为凹函数.(17)考点二元函数求偏导答案解析由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1 ,所以g'(1)=0 .f =/叮勰0)口+到废灯3*(立dx售r4晒龙外(工)3mm鬻)町，熠(工)*“(工)砂“叫屈6) +HA1(孙霓), ,“尸八。)+八(11)十人(14 mtn(18)考点利用导数求曲线的切线=答案解析由一2 dflf nsc a 丁 = ydx1/ y于是有y(0)=,即(1+y'2)

16、y'=y",。,/(。)= <二岁 半 U + ?)令y'=p，则 由，于是有也,变量分离得jcLP = dx尸】十尸'，两边积分得由 P(0)=11 . 1=in 22p = ¥ =dxx - -4n 代入得 .er解出面积分得：及一匕'由y(0)=0 .式K)二(19)考点数列与积分中值定理综合题答案解析证明：f(x)=ln(1+x)在卜'R应用中值定理1 , 11 + 一 Ini 丁n f1 + f其中即士 <d73- ln( n + 1 )A + 1art+1 - alt = / + j - ln(n + t) +

17、 】皿江 + ln) <其中 易知 又an+1 -an<0,则 an+i <an 即an单调递减>】口 > (i +T)+(1 + + + In 1 + 一! Inn+ 4 In 风上 1 - Inrt=ln(n + 1) - Inn 工nM?l±l0ft所以an单调递减有界 (20)考点积分的应用 答案解析(I ),故an收敛.-/ ) dyOrT辟=J i阳kTG)2 -川 = ppr=pgxJ1 W)(2p)dy 十：(1 W)(l 十力时ij二阳43(1 H)廿二惭国27 135一股于=7部(21)考点二重积分的计算答案解析3fz (片力)打= 了“(京4)二 if札y) I： -工工")d九(明父)何=4（工,1） - dyv（3y）dy于是由不,外I ：如一如/(3)d#一k 1 dy咨/（式，y）d*=（dyj/（H,r）（k =伽 JC ,y） d*dy - a.D(22)考点向量的线性相关性1 0 1I 6 ,外,*二 0 1 3 10答案解析(I内为22 , 0C3）=3又因为ai,ot2,a3不能由Bi,22.,网线性表小，所以r( 8,历，国)<3,于是| 1,缸饱|=0,解得a=5 .（n）rl 0 1（M也必强，场）=0 1 3I 1 5pl 0 1f 0 I 3-0 I 41 1 3r