2007数学一真题答案解析

1、硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) )(1)当 XT0.时，与 JX 等价的无穷小量是(A)1eX.(B)ln-=.(C)Ji+VX1.(D)1-coss/X.B【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.详解当xt0时，有1-e*x=_(e、x-1)-VX；Ji+VX-1VX；1 cosJX二(JX)2=1x.利用排除法知应选(B).2 2(2)曲线y=1+ln(1+ex),渐近线的条数

2、为x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.D【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。1x【详解】因为四+ln(1+e)，所以x=0为垂直渐近线；_1x又lim一十ln(1+e)=0,所以 y=0 为水平渐近线；X二xlim义=limlnklimJlhlim三xxxJ-xxxxxJ-1-e1limy-1x=lim-ln(1e)-x=limln(1e)-x=m1clnex(1+e)-x=lim1cln(1+e=)=0,于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图，连续函数 y=f(x)在区间-3,-2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半x圆周，在区间

3、-2,0,0,2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设F(x)=Mf(t)dt.则下列结论正确的是【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。一,一_1【详解】根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积：F(2)=n,进一步3_(A)F(3)TF(-2).43(C)F(-3)-F(2).4_5_(B)F(3)=5F(2).45(D)F(-3)=-F(-2).4口一，121233F(3)是两个半圆面积之差：F(3)=n1-n()=n=-F，2284_303F(-3)=-f(x)dx=-f(x)dx=f(x)dx=F(

4、3)0,30因此应选(C).(4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A)若limUx)存在，则 f(0)=0.(B)若limf(x)f(x)+ +x)x)存在,则 f(0)=0.J0 xJ0 x(C)若lim上凶存在，则f(0)存在.(D)若limf(x)f(x)f(f(x)x)存在，则f(0)存在x)Dxx)0 xD【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为 0,因此分子的极限也必须为 0,均可推导出 f(0)=0.若limf(x)存在,则f(0)(0)=limf(x)-f(0)=li

5、mfU,可见(C 池正确，x)0 xx0 x-0 x0 x故应选(D).事实上，可举反例：f(x)=|x在 x=0 处连续，且f(x)-f(-x)|x-x一、II,lim3=lim)-=0存在，但f(x)=|x在 x=0 处不可导。(5)设函数 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f”(x)0.令Un=f(n)(n=1,2，)，则下列结论正确的是(A)若U1AU2,则Un必收敛.(B)若U1AU2，则Un必发散.(C)若U1U2,则Un必收敛.(D)若U1U2,则Un必发散.D【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)=x2,则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f

6、(x)A0,U10,U1U2,但Un=十收敛，排除(B);又若设f(x)=lnx,则 f(x)在(0,收)上n具有二阶导数，且f(x)0,U1U2，但Un=lnn发散，排除(A).故应选(D).(6)设曲线L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV象限内的点 N,T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是(A).Tf(x,y)dx.(B)Tf(x,y)dy.(C)Tf(x,y)ds.(D)Tfx(x,y)dxfy(x,y)dy.B【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设 M、N 点的坐标分别为M(x1,

7、y1),N(x2,y2),x12-2：-3,：-3-2：i.(D)：i2：2,-22：3,-32：i.A【详解】用定义进行判定：令XI(I%)+乂2(%)+乂3(口3一支1)=。，得(XIx3)1(XIx2)：2(x2x3)13二0.XI-*3=0,因二I3-2,、3线性无关，所以-XJX2=0,I-X2X3=0.10-1-110=0,0-11即巴-22Wf线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的(B)合同，但不相似.(D)既不合同，又不相似.【详解】由|九EA|=0得 A 的特征值为 0,3,3,而 B 的特征值为 0,1,1，从而 A 与 B不相似.又 r(A)=r

8、(B)=2,且 A、B 有相同的正，惯性指数，因此 A 与 B 合同.故选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为故上述齐次线性方程组有非零解2(8)设矩阵A=-1-1-1,B=012)0000,则 A 与 B0(A)合同，且相似.(C)不合同，但相似.22(A)3p(1-p).(B)6p(1-p).2222(C)3p(1-p).(D)6p(1-p).C【详解】第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标，前 3 次射击中有 1 次命中目标，由独立重复性知所求概率为：C3p2(

9、1-p)2.故选(C).(10)设随机变量(x,Y)服从二维正态分布，且 x 与丫不相关，fX(x)fY(y)分别表示 X,Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度fX|Y(x|y)为(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x)fY(y).(D)；.Afy(y)【详解】因(X,Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立，于是fXY(x|y)=fX(x).因此选(A).、填空题：(1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上)(11)j/dx=；e2.【分析】先作变量代换，再分部积分。121111【详解】exdx=2t3

10、et(-2)dt1x1t(12)设 f(u,v)为二元可微函数，z=f(xy,yx),则一=f/yxy_1+f2*yxlny.二x【详解】利用复合函数求偏导公式，有=fjyxy，+f；yxlny.:x(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y“4y+3y=2e2x的通解为y=Gex+Cze3x-2e2x.其中ChC2为任意常数【详解】特征方程为九2-4九+3=0,解得=1,%=3.可见对应齐次线性微分方程y“_4y，+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x.设非齐次线性微分方程y-4y3y=2e2x的特解为y=ke2x，代入非齐次方程可得卜=-2.故通解为y=C1ex+C2e3x2e2x.1t1

11、tedt2=1td8=tet2-1etdt=(14)设曲面:x+|y+|z=1,则叼(x+|y|)dS=，J3.三3【详解】由于曲面工关于平面 x=0 对称，因此fxdS=0.又曲面三：xyz=1z有轮换对称性，于1.(x|y|)dS=|y|dS=xdS=.|zdS丁(|x|y|z|)dS3dS【详解】这是一个几何概型，设 x,y 为所取的两个数，则样本空间1C=(x,y)|0 x,y1,记A=(x,y)|(x,y)=C,|xy|金.三、解答题：(1724 小题，共 86 分.)(17)(本题满分 11 分)求函数f(x,y)=x2+2y2x2y2在区域D=(x,y)x2+y2W4,y占0上的

12、最大值和由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨因为fx(x,y)=2x-2xy2,fy(x,y)=4y2x2y,解方程:工fx=2x-2xy=0,x.2得开区域内的可能极值点为(土J2,1).fy=4y-2xy=0(15)设矩阵000,则A3的秩为1.【详解】依矩阵乘法直接计算得A3(16)在区间(0,1)中随机地取两个数0皿A3,故 r(A)=1.,则两数之差的绝对值小于131的概率为-.P(A)=SA3=4=3其中SA,SQ分别表示 A 与 C 的面积.最小值。【分析】其中Dz:x22-1-z.其对应函数值为f(_,2,1)=2.又当 y=0 时，f(x,y

13、)=x2在-2MxM2上的最大值为 4,最小值为 0.当x2+y2=4,y0,2x2,构造拉格朗日函数F(x,y?)2x+22y2x为尢(*x-2y4)h_2_Fx=2x-2xy+2Kx=0,解方程组F；=4y2x2y+21y=0,得可能极值点：(0,2),(土J5,J),其对应函,22，2丫2Fj=x2+y2-4=0,数值为f(0,2)=8,f(J|J|)比较函数值2,0,4,8,7,知 f(x,y)在区域 D 上的最大值为 8,最小值为 0.4(18)(本题满分 10 分)计算曲面积分I=xzdydz2zydzdx3xydxdy,2其中工为曲面z=1-x2-(0MzM1)的上侧。4【分析】

14、本题曲面工不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。2【详解】补充曲面：11:x2+=1,z=0,取下侧.则4I=xzdydz2zydzdx3xydxdy11xzdydz2zydzdx3xydxdy三 W 三=iii(z2z)dxdydz-ii3xydxdyD2其中 C 为Z与国所围成的空间区域，D为平面区域x2+1.4由于区域 D 关于 x 轴对称，因此J3xydxdy=0.又D11iii(z2z)dxdydz=3111zdxdy=3zdziidxdy=3z2二(1-z)dz=二.0Dz0(19)(本题满分 11 分)设函数 f

15、(x),g(x)在 a,b 上连续， 在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在其(a,b),使得f1)=g(。.【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令F(x)=f(x)-g(x),则问题转化为证明F”)=0,只需对F(x)用罗尔定理，关键是找到F(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0,若能再找一点cw(a,b),使得F(c)=0,则在区间a,c,c,b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数F(x)

16、=f(x)-g(x),由题设有 F(a)=F(b)=0.又 f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1x2,x1,x2w(a,b)使得f(xJ=M=maxf(x),g(x2)=M=maxg(x),a,b2a,b右x1=x2,令c=x1，贝UF(c)=0.若x1x2,因F(x1)=f(xi)-g(xi)之0下区)=f(x2)-g(x2)0,从而存在M为区u(a,b),使F(c)=0.在区间a,c,c,b上分别利用罗尔定理知，存在。w(a,c)与w(c,b),使得F(1)=F(2)=0.再对F(x)在区间。，匕上应用罗尔定理，知存在(-1,)c(a,b),有Fg=0,即f户g

17、“().(20)(本题满分 10 分)设备级数zanxn在(-叱)内收敛，其和函数 y(x)满足n=0y-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1.一一2(I)证明：an七=_an,n=1,2,111;n1(II)求 y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。QQ,则y,=nanxn,y“=n(n1)anxn/代入微分方程n=2y-2xyH-4y=0,有QOQO工n(n-1)anxn?2%n-2n42an2=nan,n,2“(II)由初始条件y(0)=0,y(0)=1知，a。-c1Man,有a2n_0,a2n+一-.故n!QQ【详解】(I)

18、记 y(x)=anxnRQCnaxoO-4Xanxn=0,n=0故有oO(n+2)n+1a)12nxn=0oO-2n=0nn1aCOx-4n0(n2)n轧-g-na二0,an2一n1cOoOy(x)=anxn=-a2nxnz0nz0.001.2n12nM八一xn=0n!二1c-=x(x)=xen/n!(21)(本题满分 11 分)设线性方程组x1x2x3x12x2ax32x14x2ax3二0,=0,=0与方程x12x2x3=a-1有公共解，求【分析】【详解】a 的值及所有公共解.两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解将与联立得非齐次线性方程组：x+x2+x3x12x2ax3x1+

19、4x2+a2x3x1+2x2+x3二0,=0,=0,=a-1.若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵A作初等行变换得于是根据递推关系式1110、1111012a001a-10A=2T14a000(a-2)(a-1)021a1,001一aa1,于是 10 当 a=1 时，有r(A)=r(A)=23,方程组有解，即与有公共解,其全部公共解即为的通解，此时010100000000，-1此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为：0所以与的全部公共解为k0k 为任意常数.12 当 a=2 时，有r(A)=r(A)=3,方程组有唯一解，此时0、1，即与有唯一公2丫;(II)求 Z=X+Y 的概率密度fz(z).【详解】(I)PX2Y=f(x,y)dxdy=2dy(2-xy)dx二二.x2y02y24(II)先求 Z 的分布函数：FZ(z)=P(XYZ)=f(x,y)dxdyxyz当 Z0 时，FZ(z)=0；zZT当0_z：1时，FZ(z)=f(x,y)dxdy=dy(2-x-y)dxD1213=z_z；3当1_z：2时，FZ(z)=111f(x,y)dxdy=1-：dy(2-x-y)dxD213=1(2-z)3；3