专题一函数与导数

1、专题一函数与导数1(2015·新课标全国卷，T12)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Df(0)1a<0，x00.又x00是唯一的使f(x)<0的整数，即解得a.又a<1，a<1，经检验a，符合题意故选D.2(2015·新课标全国卷，T5)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解析：选C2<1，f(2)1log2(22)1log24123.log212>1，f(log212)2log21216.

2、f(2)f(log212)369.3(2014·新课标全国卷，T3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选Cf(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数4(2013·新课标全国卷，T11)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,

3、0解析：选D当x0时，f(x)x22x(x1)210，所以|f(x)|ax化简为x22xax，即x2(a2)x，因为x0，所以a2x恒成立，所以a2；当x0时，f(x)ln(x1)0，所以|f(x)|ax化简为ln(x1)ax恒成立，由函数图象可知a0，综上，当2a0时，不等式|f(x)|ax恒成立5(2011·课标全国卷，T2)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|解析：选Byx3为奇函数，yx21在(0，)上为减函数，y2|x|在(0，)上为减函数6(2015·新课标全国卷，T13)若函数f(x)xln(x)

4、为偶函数，则a_.解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.答案：11(2015·新课标全国卷，T10)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：选B当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x时，ff1，f2.2<1，f<ff，从而排除D，故选B.2(2014·新课标全国卷，T11)已知函数f(x)ax33x21，若

5、f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析：选B当a0时，f(x)3x21有两个零点，不符合题意，故a0.f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x0或x，由题意得a<0且f>0，解得a<2.3(2011·课标全国卷，T12)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个 B9个 C8个 D1个解析：选A由题意作出函数图象如图，由图象知共有10个交点(2014·新课标全国卷，T8)设曲线yaxln(x

6、1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.1(2015·新课标全国卷，T12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x>0时，xf(x)f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：选A设yg(x)(x0)，则g(x)，当x>0时，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上为减函数，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)为奇函数

7、，g(x)为偶函数，g(x)的图象的示意图如图所示当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1，当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.2(2015·新课标全国卷，T21)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)<0；当x(

8、0，)时，emx10，f(x)>0.若m<0，则当x(，0)时，emx1>0，f(x)<0；当x(0，)时，emx1<0，f(x)>0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t<0时，g(t)<0；当t>0时，g(t)>0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)

9、e12e<0，故当t1,1时，g(t)0.当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0，即emm>e1；当m<1时，g(m)>0，即emm>e1.综上，m的取值范围是1,13(2015·新课标全国卷，T21)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x>0)，讨论h(x)零点的个数解：(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)

10、0，即解得因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)ln x<0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)<0，故h(x)在(1，)上无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a<，则f(1)<0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)<0，故x1不是h(x)的零点当x(0,1)时，g(x)ln x>0，所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数若a3或a0，则f(x)3x2a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a

11、3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a0时，f(x)在(0,1)上没有零点若3<a<0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，故在(0,1)上，当x 时，f(x)取得最小值，最小值为f .a若f0，即a0，则f(x)在(0,1)上无零点b若f0，即a，则f(x)在(0,1)上有唯一零点c若f<0，即3<a<，由于f(0)，f(1)a，所以当<a<时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当3<a时，f(x)在(0,1)上有一个零点综上，当a>或a<时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当<a<时，h(x

12、)有三个零点4(2014·新课标全国卷，T21)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)>1等价于xln x>xex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)<0；当x时，g(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，

13、)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)>0；当x(1，)时，h(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.5(2014·新课标全国卷，T21)已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.00

14、1)解：(1)f(x)exex20，等号仅当x0时成立所以f(x)在(，)上单调递增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)()当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x) 在(，)上单调递增而g(0)0，所以对任意x>0，g(x)>0；()当b>2时，若x满足2<exex<2b2，即0<x<ln(b1)时g(x)<0.而g(0)0，因此当0<x<ln(b1)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.(

15、3)由(2)知，g(ln)2b2(2b1)ln 2.当b2时，g(ln )46ln 2>0，ln 2>>0.692 8；当b1时，ln(b1)ln，g(ln)2(32)ln 2<0，ln 2<<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.1函数的概念与性质是高考的热点之一，常以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性等，另外与分段函数有关的问题要分清自变量对应的解析式，分段求解，题型以选择、填空为主2函数的图象、函数与方程是高考的必考点，主要以小题为主，考查基本初等函数的图象及图象的变换规律，以及利用函数图象解决零点等问题3导数的简单应用，

16、主要涉及导数及其运算，灵活运用导数公式及运算法则进行求导，理解导数的几何意义，会求切线方程，题型选择、填空、解答均可出现4导数的综合应用是高考的必考点，综合性强，有一定难度，会用导数求函数的极大值、极小值，会利用导数解决某些实际问题第一讲 函数的图象与性质考点1 函数及其表示1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1求函数定义域(1)简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以

17、函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)抽象函数定义域的求法若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域2分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算(2)求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小(3)解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提(4)求参数“分段处理”，采用代入法列

18、出各区间上的方程(5)奇偶性利用奇函数(偶函数)的定义判断典例(1)(2015·昆明二模)函数yln的定义域为_(2)已知函数f(2x)的定义域是1,1，则函数f(x)的定义域是_(3)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.自主解答(1)要使函数有意义需满足即因此0<x1，故所求函数的定义域是(0,1(2)函数f(2x)的定义域是1,1，即1x1，故t2x，所以函数f(t)的定义域为，故函数f(x)的定义域为.(3)当a0时，f(a)a22a2(a1)21>0，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解当a>0时，f(a)a2<0，由f(f(a)a42a22

19、2，得a.答案：(1)(0,1(2)(3)1求函数定义域实质是解不等式或不等式组，注意相关不等式的解法2在分段函数中求解形如f(g(x)的函数，要遵循先内后外的原则，在不确定自变量在哪一段时应注意分类讨论考点2 函数的图像及其应用1函数图象作法函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换2识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研

20、究典例(1)函数f(x)(x1)ln |x|的图象可能为()(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.B.C(1,2) D(2，)自主解答(1)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，可排除B；当x(0,1)时，x1<0，ln x<0，所以(x1)ln x>0，可排除D；当x(1，)时，x1>0，ln x>0，所以(x1)ln x>0，可排除C.故只有A项满足(2)在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有

21、两个不同的交点，结合图象可知，当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意，故<k<1.答案：(1)A(2)B识别函数图象应注意以下三点(1)函数的定义域、值域；(2)函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)；(3)函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点等)变式训练1已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析：选A对f(x)求导，得f(x)xsin x由f(x)(x)sin(x)f(x)，知f(x)是奇函数，故排除B和D.又(f(x)cos x，当x时，(f(x)<0，所以f(x)在上单调递减

22、故选A.2(2015·郑州模拟)函数y的图象与函数ysinx(4x8)的图象所有交点的横坐标之和等于()A16 B12 C8 D4解析：选A函数y与函数ysinx(4x8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y与ysinx(4x8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由对称性得x1x8x2x7x3x6x4x54，x1x2x3x4x5x6x7x816.考点3 函数性质及其应用1函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函

23、数在不同的区间上可以有不同的单调性判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法2函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法1与函数周期性有关的5条结论(1)若f(xT)f(x)，则T是f(x)的一个周期；(2)若f(xT)，则2T是f(x)的一个周期；(3)若f(xT)，则2T是f(x)的一个周期；(4)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则yf(

24、x)是以2(ba)为周期的周期函数(5)若对于定义域内的任意x都有f(xa)f(xb)(ab)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.2与函数对称性有关的3条结论(1)函数yf(x)关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)；特例：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b；特例：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于点(0,0)对称f(x)f

25、(x)0(即为奇函数)(3)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于(a,0)对称典例(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)(2)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，则满足不等式f(2x1)>f成立的x的取值范围是()A.B.C. D.自主解答(1)由f(x4)f(x)知f(x8)f(x4)

26、4f(x4)f(x)，从而f(x8)f(x)，故函数f(x)的一个周期为8.所以f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)f(1)，f(80)f(0)又f(x)在0,2上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在2,2上为增函数，从而f(1)<f(0)<f(1)即f(25)<f(80)<f(11)(2)因为偶函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间0，)上单调递减，所以f(x)在(，0上单调递增若f(2x1)>f，则<2x1<，解得<x<.答案：(1)D(2)B探究1本例(2)中将“单调递减”改为“单调递增”，其他条件

27、不变，则x的取值范围是什么？解：因为偶函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间0，)上单调递增，所以f(x)在(，0上单调递减若f(2x1)>f，则2x1>或2x1<，解得x>或x<，则x的取值范围是，.探究2本例(2)中将“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，则x的取值范围又是什么？解：因为奇函数f(x)的图象关于原点对称，且在区间0，)上单调递减，所以f(x)在(，0上也单调递减若f(2x1)>f，则2x1<，解得x<.即x的取值范围是.函数性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切

28、，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解变式训练1奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1解析：选D因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(0)0.因为f(x2)为偶函数，所以f(x2)f(x2)，所以f(x4)f(x)f(x)，所以f(x8)f(x)，即函数f(x)的

29、周期为8，故f(8)f(9)f(0)f(1)1.2(2015·泰安模拟)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x1是函数f(x)的一条对称轴；f(x2)f(x)；当1x1<x23时，f(x2)f(x1)·(x2x1)<0，则f(2 013)、f(2 014)、f(2 015)、f(2 016)从大到小的顺序为_解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(2 015)f(3)，f(2 016)f(0)因为直线x1是函数f(x)的一条对称轴，所以f(2 016)f(0)f(2)当1x1<x23时，f(x2)f(x1)

30、·(x2x1)<0，可知当1x3时，函数单调递减，所以f(2 013)>f(2 016)f(2 014)>f(2 015)答案：f(2 013)>f(2 016)f(2 014)>f(2 015)一、选择题1(2015·重庆高考)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是()A3,1 B(3,1)C(，31，) D(，3)(1，)解析：选D要使函数有意义，只需x22x3>0，即(x3)(x1)>0，解得x<3或x>1.故函数的定义域为(，3)(1，)2(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函

31、数的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin x解析：选DA项，定义域为R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故为非奇非偶函数3若loga2<0(a>0，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是()解析：选B由loga2<0，得0<a<1，故函数f(x)lo

32、ga(x1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)loga(x1)的图象可由ylogax的图象向左平移1个单位得到4已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1 C1 D3解析：选B用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，又由题意知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)(x3x21)，令x1，得f(1)g(1)1.5(2015·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x<0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)C

33、x3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：选C当x<0时，x>0，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)6定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，f(x)在3，2上为减函数，则有()Af>f>fBf>f>fCf>f>fDf>f>f解析：选C由f(x11)f(x1)f(x)，知f(x)的周期为2，所以f(x)在1,0上为减函数，故偶函数f(x)在0,1上为增函数，而ff，fff，所以f>f>f，即f>f>f.7(2015·杭州模拟)已知函数f(x)e

34、x1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析：选Bf(a)的值域为(1，)，由b24b3>1，解得2<b<2.8已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)ex1，则f(2 015)f(2 016)()A1e Be1 C1e De1解析：选B由f(x2)f(x)可知当x0时函数的周期是2.所以f(2 015)f(1)e1，f(2 016)f(2 016)f(0)0，所以f(2 015)f(2 016)e1.9(2015·唐山模拟)已知f(x)的

35、值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C. D.解析：选C要使函数f(x)的值域为R，需使1a，故选C.10(2015·温州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln|x|Bf(x)x2ln|x|Cf(x)|x|2ln|x|Df(x)|x|ln|x|解析：选B由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln|x|符合条件11(2015·武昌模拟) 如图，直

36、线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是()解析：选C当转动角度不超过45°时，阴影面积增加得越来越快，图象下凸；当转动角度超过45°时，阴影面积增加得越来越慢，图象上凸，故选C.12已知yf(x)是定义在R上的偶函数，对任意x恒有f(x6)f(x)f(3)，当x1，x20,3且x1x2时，>0，给出下列命题：f(3)0；直线x6是yf(x)的一条对称轴；yf(x)在(9，6)上为增函数；yf(x)在9,9上有四个零点其中所有正确命题的序号为()A

37、 B C D解析：选D令x3，得f(3)f(3)f(3)，即f(3)f(3)0，故正确由f(x6)f(x)，知函数yf(x)是周期为6的偶函数又当x1，x20,3且x1x2时，>0，故函数yf(x)在0,3上为增函数作出函数yf(x)在区间9,9上的大致图象，如图所示由图形，可知函数yf(x)关于直线x6对称，且f(3)f(3)f(9)f(9)0，yf(x)在(9，6)上单调递减，即是正确的二、填空题13设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(

38、x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：114已知函数f(x)axb(a>0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a>1时，函数f(x)单调递增，则无解；当0<a<1时，函数f(x)单调递减，则解得故ab.答案：15(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时解析：由已知条件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192

39、192e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192×324.答案：2416已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_解析：根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点答案：(0,1)(1,4)第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点1 基本初等函数的图像与性质1指数与对数式的七个运算公式(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)loga

40、(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN(a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0)2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a>0，a1)与对数函数ylogax(a>0，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数比较指数函数值、对数函数值、幂函数值的大小的方法：1根据同类函数的单调性进行比较；2采用中间值0或1等进行比较；3将对数

41、式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较典例(1)(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<cBa<c<bCc<a<b Dc<b<a(2)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()(3)(2015·安徽高考)lg2lg 21_.自主解答(1)由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|l

42、og0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以c<a<b.(2)当a>1时，函数f(x)xa(x>0)单调递增，函数g(x)logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)xa(x>0)单调递增，函数g(x)logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.(3)lg2lg 21lg 5lg 22lg 22(lg 5lg 2)2121.答案：(1)C(2)D(3)1三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较

43、(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.考点2 函数的零点问题函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同

44、的值，就有几个不同的零点典例(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2 C3 D4(2)(2015·湖南高考)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_自主解答(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.在同一坐标系下分别画出函数y|log0.5x|与yx的图象，如图所示：由图象知，两个函数的图象有两个交点，从而函数f(x)有两个零点，故选B.(2)函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a<0，则当xa时，f(x)x3，函数单

45、调递增；当x>a时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a<0或a>1.答案：(1)B(2)(，0)(1，)探究本例(2)将函数改为f(x)则b的取值范围是什么？解：要使g(x)f(x)b有两个零点，只需要函数f(x)的图象与函数yb的图象有两个交点，在同一坐标

46、系中画出两个函数图象并观察得b1.(1)函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题的一个有效方法(2)解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解变式训练1(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x0 时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3解析：选D当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得f

47、(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3得x2(正根舍去)2函数f(x)的零点个数是_解析：当x0时，令x220，解得x；当x>0时，f(x)2x6ln x，因为f(x)2>0，所以函数f(x)2x6ln x在(0，)上单调递增，因为f(1)26ln 14<0，f(3)ln 3>0，所以函数f(x)2x6ln x在(0，)有且只有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.答案：2考点3 函数的应用问题1应用函数模型解决实际问题的一般程序2函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题

48、，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答解决函数应用题的四步曲(1)阅读理解：读懂题意，弄清题中出现的量及其数学含义(2)分析建模：分析题目中的量与量之间的关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数模型的种类，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题(3)数学求解：利用相关的函数知识求解计算(4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结作答典例某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：

49、万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6,8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划自主解答(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A，B两产品的年利润y1，y2分别为y110x(20mx)(10m)x20(xN,0x200)，y218x(8x40)0.05x20.05x210x40(xN,0x120)(2)因为6

50、m8，所以10m>0，函数y1(10m)x20在0,200上是增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润，且y1max(10m)×200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xN,0x120)，所以当x100时，生产B产品有最大利润，且y2max460(万美元)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m<7.6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.6<m8时，可投资生产B产品100件解决函数实际应用题的两个关键点(

51、1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解变式训练2015年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净

52、化(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值解：(1)由题意，得当药剂质量m4时，y当0<x4时，84，显然符合题意当x>4时，4，解得4<x16.综上0<x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天(2)由ym·f(x)得当0<x4时，y2m在区间(0,4上单调递增，即2m<y3m；当x>4时，y<0，所以函数在区间(4,7上单调递减，即y<3m，综上知，y3m，为使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以应该投放的药剂量m的最小值为. 一、选择题1函数y的定义域为()A. B.C(1，) D.(1，)