df高数基础讲义part

1、第四章常微分方程§ 4. 1基本概念和一阶微分方程甲内容要点.基本概念1常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数地导数 <或微分）地方程称为微分方程 ，若未知函数是一 元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程 ，我们只讨论常微分方程 故简称为微分方程，有时还简称为方程.2. 微分方程地阶微分方程中未知函数地导数地最高阶数称为该微分方程地阶3. 微分方程地解、通解和特解满足微分方程地函数称为微分方程地解；通解就是含有独立常数地个数与方程地阶数相同地解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后地解称为特解4. 微分方程地初始条件要求自

2、变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定地值，这种条件称为初始条件，满足初始条件地解称为满足该初始条件地特解5. 积分曲线和积分曲线族微分方程地特解在几何上是一条曲线称为该方程地一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程地积分曲线族6. 线性微分方程如果未知函数和它地各阶导数都是一次项，而且它们地系数只是自变量地函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程 .不含未知函数和它地导数地项称为自由项，自由项为零地线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零地方程为线性非齐次方程二.变量可分离方程及其推广1. 变量可分离地方程<1）方程形式：nPxQy Qy=Odxdv通解P x dx C&#

3、39;Q（v）'<注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它地一个原函数，而任意常数另外再加）<2）方程形式： Mi x Ni y dx M2XN2 ydy=O通解-dC M2 x -0, Ni y -0M2（x）Ni（y）212. 变量可分离方程地推广形式<1 ）齐次方程dydxdu x -dx令-=u,x则矽二u dxduf u Audx cx<2)矽dx-f ax by c a = 0, b = 0令 ax by c 二 u ,则a bf u dxdudx = x c a bf uf ' a x + b y + c(a2x +b2 y +c2当

4、aia2bb2丰0情形，先求出丿Qx + by + c = 0,任i y地解(G严)ia2x + b2y+ c2 = 0u =x_a,v = y_P当dvduaia2au +bva2u +b2v $bb2=0情形,vai -ua 2 + b?u丿属于齐次方程情形a2aibidydxaixbiyg人(aix +bi y )+q /令 u = ai xbi y ,则竺“ mJ b dxdxu+CJiU +c2属于变量可分离方程情形三一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 dy P xy =0dx它也是变量可分离方程，通解公式y二Ce * xdx,<c为任意常数）2一阶线性非齐次方程dydx

5、用常数变易法可求出通解公式代入方程求出C x则得 y 二e Pxdx 1 Q x e Pxdxdx C 13 贝努利方程3 P x y =Q x 屮二三0,1 dxdz把原方程化为一Pxz=1-Qxdx再按照一阶线性非齐次方程求解.4.方程:dy1dx _ Q y - P y x可化为P y x =Q y dy以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解.四全微分方程及其推广 <数学一）1 .全微分方程P x, y dx Q x, y dy = 0 ,满足 excy通解：u x, y 二 C ,其中 u x, y 满足 du x, y = P x, y dx Q x, y dy

6、求u x, y地常用方法第一种：凑全微分法P x, y dx Q x, y dy 二 二 du x, y把常见地一些二元函数地全微分公式要倒背如流，就很有帮助<1)xdx ydy = d<2)xdx - ydy = d<3)ydx xdy 二 d xy ；<4)ydx xdyxy=d l n xy ；<5)xdx ydyx2y2=d -ln x2_2y2<6)xdx - ydy2 x - yi'n x2<7)xdy - ydx<8)ydxxdy<9)ydx - xdyx2y2arctan ；、 y丿<10)xdy - ydx+

7、 yarcta n ;x丿<11)ydx -xdy2 2x -y匕2<2 x + y丿<12)xdy - ydxx2 y2<2x y 丿xdx ydy2 = d(x2 +y2 2<14)(x2 -y2 )<15)xdx ydy1 +(X2 +y2 $广1=d arctadx2y2<16)xdx - ydy2 2 21+(x2 -y2 )=d i1 arcta n x222-y ；第二种：特殊路径积分法 < 因为积分与路径无关）x，y|'x0 , y0u(x, y )=u(Xo,y° )+ 卩，p(x, y Jdx+ Q(x, y

8、 )dyxo , y0xyy。= u(xo，y° )+ P(x,y° )dx+ ( Qx,y dyx0yo第三种：不定积分法:u由=P x,y得x u x,y = Px,ydx C y对y求导,得Qx卄斜*px,川C y,求出C y积分后求出C y2 全微分方程地推广 <约当因子法）设P x, y dx Q x, y d0不是全微分方程但是存在R x, y使得R x, y P x, y dx R x, y Q x, y d 0为全微分方程Rq eRp】也即满足x ：y则R x,y称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出R x, y P x, y dx R x, y Q

9、x, y dy二du x, y通解 u x, y = C .这种情形，求约当因子是关键乙典型例题一.变量可分离方程及其推广 例1 .求下列微分方程地通解2 2<1) xy x dx y _ x y dy = 0<2) ex y -ex dx ex yey dy = 0例2.求下列微分方程地通解<1). ydxx<2)2 dy dyxxy一dx dx<3)dyx y In y - In x dx解:<1 )令二u ,则鱼=uxdxduue鱼=(x +4y +1 丫 dx-J. x，原方程化为dx<4)u=eu u,dx'-e" = In

10、 x G = In CxIn Cx_y' e x 0, O JCxI")<2)2 x2吒=o ； dx2y2xy _x'|T.x)du u2 xdx u -1udx x 1 -u du = 01 -uIn xu -u = C1xu = eC1 uy二Ceu,. y 二Ce'<3)包dxvvvduIn ,令 u ,则 u x u In uxxxdxduu I n u -1-1=1 n CxIn u =1 Cx,u 二 e1 Cx,y 二 xe1 Cx二 dx,爭4u2 +1du<4)令 x 4y 1 二 u ,则24u +11 1 x arct

11、an2u C arctan2 x 4y 1 Cdyx ydx3 求微分方程4 求微分方程5.求微分方程例6 .求微分方程例7 求微分方程例&求微分方程例.二 dx C1=x2y2地通解dy _dxk哭地通解.2也T地通解.x -xy ydxdydxdydx>2lx + y 1地通解y _ x 5一阶线性方程及其推广 求下列微分方程地通解dydxdy<2)xdx 2sinxdydxyx y4<4) x sin y dy tan ydx 二 0解：1）直接用常数变易法dy 2y2对应地齐次线性方程为，通解y = C x 1dx x +1dy 25令非齐次线性方程y = X

12、 1 2地通解为y = c X x 1 2dx x +125代入方程得 C x x 1= x 12123C X = X 1 2,c x = X 1 2 C32212272故所求方程地通解为yx 1 2 c x 1x 1 2 C x 1_33<2 )直接用通解公式 <先化标准形式 鱼 2 y = inX )dx XX2si nxP x ,Q x =XX_l|dx t sin x (|dx通解 y = e ' IJeL dx + Cx一1 ' 12 xsinxdx C 2 sin x-xcosx CXX<3)此题不是一阶线性方程，但把X看作未知函数，y看作自变量d

13、x x + y4 dx 13所得微分方程即x二y3dy y dy y是一阶线性方程 P y -,Q y二y3y£dy f 3£dy丄 J 14 ,x=ey f y e dy+C =y+Cy 一 3<4)此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为dxcot y x 二 cos y , P y = cot y , Q y = cos ydy2sin y IL2一 cot ydycot ydy'.| Jcosye' dy+C§ 4. 2特殊地高阶微分方程 数学四不要）甲内容要点可降阶地高阶微分方程方程类型解法及解地表达式yC ）= f（X ）

14、通解 y = f “ Jf（X dX+。必2 +C2Xn +Cn_X + Cnn次y" = f（x，y J令 y，= p，则 y" = p，原方程二p _f(x，p 一阶方程，设其解为p g(x，Ci)，即y' = g(x,Ci )，则原方程地通解为 y= Jg(x，Ci px + C? y= f （y，y"）令y丄p，把 p看作y地函数，则厂=兰=曲巴=p-dpdx dy dxdy把y；y “地表达式代入原方程，得坐_丄f(y,p)阶方程，dy p设其解为p =g(y，Ci )即少g(y,Ci )，则原方程地通解为dxJdy十 C2.'g(yQ)

15、二线性微分方程解地性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解地性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶地线性微分方 程二阶齐次线性方程yipxy*qxy=O <1)二阶非齐次线性方程y ” p x y ' q x y = f x<2)1 若y, x , y2 x为二阶齐次线性方程地两个特解，则它们地线性组合Ciyi x Sy x <Ci,C2 为任意常数)仍为同方程地解 ，特别地，当 yi(x)式y2(x)<k为 常数)也即y,x与y2x线性无关时，则方程地通解为y二C#,xC2y2x2若y, x，y2 x为二阶非齐次线性方程地两个特解，则y, x - y2 x为对应地

16、二阶齐次线性方程地一个特解.3.若y x为二阶非齐次线性方程地一个特解，而y x为对应地二阶齐次线性方程地任意特解，则y x y x为此二阶非齐次线性方程地一个特解4若y为二阶非齐次线性方程地一个特解 ，而C,y, x C2y2 x为对应地二阶齐次线性 方程地通解<Ci，C2为独立地任意常数)则 y二y x C,yi x "2 x是此二阶非齐次 线性方程地通解5设 yi x 与 丫2 x 分别是 y pxy qxy二 fix 与y'pxy qxynfixfzx 地特解.三二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1. 二阶常系数齐次线性方程y py qy 二 0其中p ,q为常数

17、，特征方程九2 + p人+ q = 0特征方程根地三种不同情形对应方程通解地三种形式2<1 ）当厶=p -4q 0 ,特征方程有两个不同地实根 1, 2则方程地通解为 y nGe ix C2e，2x2<2 ）当:-p 4q = 0 ,特征方程有二重根 2则方程地通解为y二Ci C2X e ix<3）当A = p2 - 4q : 0，特征方程有共轭复根一：，则方程地通解为 y = e" Ci cos ： x C2 sin : x2. n阶常系数齐次线性方程yC ）十 piyCAh PzyC）+ Pny* P.y = 0其中Pi i =12,n为常数相应地特征方程11

18、n nn -2P1 'p< PnPn =0特征根与方程通解地关系同二阶情形很类似<1 ）若特征方程有n个不同地实根1,匕,，n则方程通解y二Ge Cze" -Cne'nx<2 ）若 0为特征方程地k重实根k空n则方程通解中含有G C2X CkXk_l e'0x<3）若二-i 为特征方程地k重共轭复根 2k乞n则方程通解中含有e叫G +C2x +Ckxk4 Cos P x + 4 + D2x + Dkxk bin P x 】由此可见，常系数齐次线性方程地通解完全被其特征方程地根所决定，但是三次及三次以上代数方程地根不一定容易求得，因此只能

19、讨论某些容易求特征方程地根所对应地高阶常系数 齐次线性方程地通解四二阶常系数非齐次线性方程方程：y'Shpy'qyrf x其中p,q为常数通解：y = y Gyi x C2y2 x其中Ci x C2y2 x为对应二阶常系数齐次线性方程地通解上面已经讨论所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程地一个特解y如何求？我们根据f x地形式，先确定特解y地形式，其中包含一些待定地系数，然后代入方程确定 这些系数就得到特解 y，常见地f x地形式和相对应地 y地形式如下：1 f x = Pn x，其中Pn x为n次多项式<1 )若0不是特征根，则令y =Rnx二a°xnaix

20、nanxa.其中ai i =0,1,2/-，n为待定系数<2 )若0是特征方程地单根，则令y = xRn x_ 2<3)若0是特征方程地重根，则令y =x Rn X2. fx二Pnxe"其中Pn x为n次多项式，：为实常数<1 )若不是特征根，则令y = Rn xe：x<2)若是特征方程单根 贝U令y二xRn x e：x<3)若是特征方程地重根，则令y =x2Rn x e?x3. f (x )= Pn(x e" si nx 或 f (x )= Pn(x e" cos P x其中Pn x为n次多项式，：，：皆为实常数<1 )若 口

21、 土i P 不是特征根，则令 ' =F lRn(x )cos P x +Tn(x Sin P x】其中 Rn x 二 a°xn aX"1 anx a.a： i =0,1, ，n为待定系数Tn x 二b°xn - b1Xnbn" bnbi i =01，n为待定系数<2）若：；:r-是特征根,则令 y =xe：x I.Rn x cos 1 x Tn x sin 一： xl五欧拉方程 < 数学一）xny（n）+卩必2丫（2）+ Pnxy'+Pny =0 ,其中Pi（i=1,2,，n ）为常数称为n阶欧拉方程令x = e'代入

22、方程，变为t是自变量，y是未知函数地微分方程 微分方程.注意下面变换公式：dy _ dy dt _ _l dy _ 1 dy dy _ dy dx业dx1 2dt dx dt二dig dx =e dx dt dx,x -:x dt dxd e_tdy eeedt . dtdt d2_y dt2e沁dt定是常系数齐次线性dy兀2,xd2y _ d2ydx2 - dt2dydt乙典型例题一可降阶地高阶微分方程例1 .求下列微分方程地通解<1） x2y " -2xy"_（y"f = 0<2）1 x y y = I n x 1解：<1 ）令y、p，则y&

23、#39;、p ,原方程化为22小x p -2xp - p 02 1 2p p 2 p 属于贝努里方程x x工人4亠dz丄21再令z = p 则有z 2dx xx2通解:ze%+JX2八冇dX C21 2 2=q(x + G ) -G InxG +C2<2) 令 y = p ,则y二p 1原方程化为 x1p p=l nx1p p = " x 1属于一阶线性方程X 1 x 1p=e-Mbl)e 為xdx+Ci X+1一= In x 1 dx C L |n x 1 一 1-Cx 1x 1y = In x 1 -1 -C- dx C2一x 1=x C1 In x 1 - 2x C2例2

24、求下列微分方程地通解<1)yy“(町 +1 =0<2)2yy = y 2 1常系数齐次线性微分方程例1求下列微分方程地通解<1)y "T y 6y = 0 <2)y_6y 9y = 0<3)y -6y 13y =0<4)y _4y 4y-2y = 0解：2<1 )特征方程 -6=0，即，-1，- 6 = 0特征根'1 =1, '2 =6微分方程通解 y = C1ex C2e6x<2)特征方程九 6' '9=0,即.心_ 3- 0特征根 ' 3二重根微分方程通解y = G C2X e3x2<3

25、)特征方程'-6' 13 =0特征根 =3 2/3x微分方程通解y=e C1 cos2x C2 sin2x322<4）特征方程扎一4丸+4扎一2=0即（扎-1）（扎-2）=0特征根 1 =1二重根, 2 = 2微分方程通解y = C! C2X ex - Cae2xI例2.设方程y"+3y 4y = 0,求满足y=0,y|=5地特解.x = 0x = 0三二阶常系数非齐次线性微分方程例1 .求微分方程y ” - 2y -3y = x 1 ex地一个特解.解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈Pmxe*地形状，其中Pm x =x 1 m =1=1.而该微分方程

26、地特征方程是：2 -2- -3=0特征根是"-1,=3.因为A =1不是特征根，故设特解为y 二 b“x b。ex为了确定d和b。,把y代入原方程，经化简，可得-4dx - 4b0 = x 1令此式两端同次幕系数相等，有'-43 =1厂40 = 111由此解得th,b0，因此特解为44y = -1 x 1ex4例2 求微分方程2 xy _5y 6y 二 xe地通解.答案：最后得原方程通解为 y二丫 y2 x3xc.2x=c1ec2ex 2x e例3.求 y _4目 4、= e2x地通解.答案：因此原方程地通解为2 2x2x x 2xy = c-ec2xee22 例4.求方程y

27、 " 3y ' 2y = 2x x 1地通解.答案：原方程地通解为2 xx 2 513y = Ge C?ex x 24例 5.求 y " 2y -3y = 2ex地通解.答案：原方程地通解为y 二 Ge'x C2ex - xex2例6.求方程y " y - 2y = 2cos2x地通解.答案：原方程地通解为y = C1ex C2ex 色cos2x 丄sin2x10 10例7求微分方程 y ” - y"=sin x地通解.答案：原方程地通解为：1y 二 G C2excosxsin x .2第五章向量代数与空间解读几何V数学一）§

28、5. 1向量代数甲内容要点.空间直角坐标系从空间某定点 0作三条互相垂直地数轴，都以0为原点，有相同地长度单位，分别称为x轴,y轴,z轴,符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称0为坐标原点1两点间距离设点Mi xi,yi,zi ，M 2 X2，y2，Z2为空间两点，则这两点间地距离可以表示为d =|MiM2 = J(X2 Xi 2 +(y2 yi f +(Z2 Zi f2. 中点公式设 M x，y，z 为 M i Xi, yi, Zi，M 2 X2, y2, Z2 联线地中点贝UXi X2yi y2Zi - Z2x，y，Z =2 2 2二. 向量地概念1 .向量既有大小又有方向地量称为向

29、量 方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点 A到另 一点B地顺序关系，而两点间又有一个距离常用有向线段 AB表示向量.A点叫起点，B点叫 终点，向量AB地长度叫做模，记为AB .模为i地向量称为单位向量2.向量地坐标表示若将向量地始点放在坐标原点0,记其终点M，且点M在给定坐标系中地坐标为x，y，z .记以三个坐标轴正向为方向地单位向量依次记为i, j,k,则向量0M，可以表示为0M = xi yj zk称之为向量0M地坐标表达式，也可以表示为0M 二 x, y,z称xi, yj, zk分别为向量 0M在x轴，y轴,z轴上地分量.称x, y, z分别为向量 0M在x 轴,y轴,z轴上地投影

30、.记OM与x轴、y轴、z轴正向地夹角分别为：，则cos：Vx2 y2cos -ycoszx2y2z2方向余弦间满足关系 cos2爲"cos cox2=1描述了向量OM地方向，常称它们为向量地方向角 OM地模可以表示为与向量OM =：x,y,z同方向地单位向量可以表示为尸丄yOM 与向量OM平行地单位OM向量可以表示为OM OM向量a同方向上地单位向量常记为a .三. 向量地运算a ai ia2 j ' a3 k Gi, a?, a3 b = bjb2jb3k 二"4, b2, b3 /c =cii C2 j C3k 二 4 ,C2,C31.加法.a b 二旨i bi

31、,a2 "283 b3 '减法.a _- a1 _ b-i,a2 - b2, a3 - b3向量地加、减和数乘运算统称线性运算/ 、3. 数量积.a，b = a|b cos a,bI ')=a-b a2b2 a3b3f 、其中ab为向量a,b间夹角a b为数量也称点乘.a b0表示向量a在向量b上地投影，即a b0 = Pr jba4. 向量积a b也称为叉乘./ 、*b =a|bsin al ,a b地方向按右手法则垂直于 a,b所在平面，且ijka汇b =aia2a3bib2b3ab是向量，ab = ba. a汉b等于以a,b为邻边地平行四边形地面积ai a2a3

32、5.混合积：定义（a,b, c ）=（a 5 >c,坐标公式（a,b, c）=bi b2b3Ci C2C3几何意义 a,b,c表示以a,b,c为棱地平行大面体地体积四. 两向量间地关系设 aai,a2,a3 ：b关系向量表示向量坐标表示a,b间夹角)（na bcos 屮=I u 1 iiaibiab+a?b2+asb3COS 屮=ji|=乜 a； + a； + a； b； + b； + b；a与b垂直a b =0aib<H a2b2 + b3b3 = 0a与b平行a5=0aia 2a3bib2b3乙典型例题例设a,b为两个非零向量，为非零常数，若向量ab垂直于向量b ,则，等于）a

33、 ba b /,A）2 B）2 C） 1 D）a bbd =1（x2 为 2 +（y2 % f +（Z2 -Z1 j3 .定比分点公式 M x，y，z是AB地分点：刎 =，点代B地坐标为 MBA x1, y1, Z1 ，B x2，y2，Z2 贝V捲 x2yi ' y2Zr ：； z2x，y，z = + 九1 + 扎1 +当M为中点时，捲 X2y1 - y2Z1 - Z2x -_，y -_，z - 2 2二.平面及其方程1. 法 线）向量，法线）方向数*分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式如果a b垂直于向量b ,因此应有a b b = 0即 a b b b = 02a b + 人

34、 b =0a b因为b为非零向量，因而应有，故应选B）.b2§ 5. 2平面与直线甲内容要点一空间解读几何1 空间解读几何研究地基本问题1）已知曲面 线）作为点地几何轨迹，建立这曲面 线）地方程2）已知坐标x，y和z间地一个方程 组），研究这方程 组）所表示地曲面 线）.2.距离公式 空间两点A x1，y1，z1与Bx2，y2，Z2间地距离d为与平面二垂直地非零向量，称为平面二地法向量，通常记成n .法向量:m, n,p地坐标称为 法线)方向数对于给定地平面二,它地法向量有无穷多个，但它所指地方向只有两个2.点法式方程 已知平面二过M x0,y0,z0点,其法向量n - 1A,B,C

35、),则平面二地方程 为Ax-x。By-y。Cz-z。=0或 n r -ro =0其中 r'.xo, yo,zo 汀 J.x, y,zf3. 一般式方程Ax By Cz D = 0其中A,B,C不全为零.x,y,z前地系数表示-地法线方向数，n 一代B,C 是 地法向量.特别情形：Ax By Cz = 0，表示通过原点地平面Ax By D =0,平行于z轴地平面Ax D =0，平行yOz平面地平面 x = 0表示yOz平面.4. 三点式方程设A Xi, yi,Zi,B X2, y2,Z2, CX3, y3,Z3三点不在一条直线上，则通过 代B,C地平面设直线L地一般式方程为A x + R

36、 y + Gz + Dr = 0A2 x + B2 y*C2Z*D2 = 0,则通过L地所有平面方程为方程为x -Xiy -yiZ Zix Xiy2-yiZ2 ZiX3-Xiy3-yiZ3 Zi5.平面束kiA/Biy Cz Dik?A?xB?yC?zD2 i=0,其中 Ok?= 0,0 .6.有关平面地问题 两平面为 : AixBiyCizDi = 0二2 : A2x B2y C2z D2 = 0眄与兀2间夹角（半）Ai A2 + Bi B2 +CQ2cos 十 Ja： + b；Ja； + b； + c；垂直条件A A2 + b/2 + GC2 = 0平行条件AiBiG'Di式A2B

37、2C21D2重合条件Ai Bi Ci Di a2 B2 C2 d2设平面二地方程为Ax By Cz = 0,而点MyZi为平面二外地一点，则M到平面二地距离d :A/ + Byj +Czj + DJa2 +B2 +C2三直线及其方程1 .方向向量、方向数与直线平行地非零向量 S,称为直线L地方向向量，方向向量地坐标称为方向数2. 直线地标准方程 对称式方程）.X - X。y _y° _ z _Zomn其中Xo,yo,z。为直线上地点，l,m,n为直线地方向数3. 参数式方程X = x0 Ity = yomtz nts = = , m,n ；t为参变量4. 两点式设AxyZ! , B

38、x2, y2, z2为不同地两点，则通过A和B地直线方程为x - Xiy - yi z - ZiX2 一 X!y2 一 yiZ2 - 乙5. 一般式方程 作为两平面地交线）Ax + B+C1z + D1 =0A x + B2 y + C2z + D2 = 0方向向量S一A,Bi,CA2,B2,C2l6. 有关直线地问题 两直线为X -Xi讨 _y Z -乙l1m1nix _ x2y -y2z -z212 m? n 2L1与L2间夹角（日）丨征 + mm2 + ngcos日一h 2丄2丄2J| 2丄2丄2卩 +m)1£丨2 +m： + n2垂直条件hl2 +mjm2 + mn2 = 0

39、平行条件11 m1nj12 m2n2四.平面与直线相互关系平面二地方程为：Ax By Cz D = 0直线L地方程为：xX。y yo z ZoImnL与兀间夹角）Al +Bm +C n011 1 1JA2 +B2 +C2 Vi2 +m2 + n2L与兀垂直条件I m nABCL与兀平行条件Al +Bm + C n = 0L与兀重合条件Al +Bm + C n = 0L上有一点在江上乙典型例题x +1 y 1 z例1 .已知直线丨:，若平面二过点M 2,1,-5且与I垂直,求平面二地32-1方程分析：由题意可知，直线I地方向向量s= 3,2, T必定平行于所求平面二地法线向量n ,因此可取利用平

40、面地点法式方程可知3x-2 2y-1 - z-：；5=0即3 x -22 y -1 - z 5 = 0为所求平面方程或写为一般式方程 3x 2y - z -13 = 0 例2 .设平面 二过点1,0,-1且与平面 4x-y 2z-8=0平行，则平面二地方程为例3通过点M 1,2,3且与直线l :x=2 3t,y=2t,z = -1 t垂直地平面方程为 .例4求点M0 1,2,1到平面二：3x -4y 5z 0地距离例5试确定过 Mj 2,3,0 ,M2 -2,-3,4及M3 0,6,0三点地平面方程x_y+z_7 = 0例6 .求通过坐标原点且垂直于直线I :丿地平面方程j4x _3y + z

41、 _ 6 = 0例7.求通过点P 1,2,1且垂直于两平面：x y = 0和5y z = 0地平面方程§ 5. 3曲面与空间曲线甲内容要点曲面方程1.一般方程F x,y,z =02.参数方程X 二 X u.vy=yu,v u,v D 平面区域）z = z u, v二.空间曲线方程1.一般方程F(x, y,z)=o 号(兀 y,z)=O2.参数方程'x= x(t)* y = y(t )(a 兰t 兰 B )F = z(t )三.常见地曲面方程1.球面方程设Po Xo, yo,Zo是球心，R是半径，Px, y,z是球面上任意一点，则P°P二R,即2 2 2 2（X-Xo

42、 ） +（y-y。）+（zZo ） =R2旋转曲面地方程Xf x, z = 0,<1 ）设L是xOz平面上一条曲线，其方程是L绕z轴旋转得到旋转曲面，设iy = 0.P x，y，z是旋转面上任一点，由点Po x0,O，z0旋转而来 <点M 0,0, z是圆心）.由Xo =|MPo =|MP =1x2 y2，Zo =z得旋转面方程是或 由参数方程x = f t，y = g t，z = h t t三，得旋转面地参数方程x = Jf 2（t ）+g2（t ）cos。，y - f2 t g2 t sin 3 ： t ： ： ,0 _ 2：z = h t .<2）求空间曲线丿Fi（x,

43、y，z）-O绕z轴一周得旋转曲面地方程斥（x,y,z）=O第一步：从上面联立方程解出 x = f z,y=gz绕y轴一周或绕x轴一周地旋转曲面方程类似地处理5.二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面2 2 2abc旋转抛物面2 2xy+ = z( p > 0 ) 2p 2p/椭圆抛物面2 2+ y =z(p,q0)2p 2q双曲抛物面2 2+ y =z(p,q0) 2p 2q单叶双曲面2 2 22 . 2 2 abc双叶双曲面2 2 2xyz“abc二次锥面2 2 2x _z =0 a2b2c2椭圆柱面2 2x八=1 a2 b2双曲柱面2 21a2 b2抛物柱面2c _ y( p a 0

44、)2p四空间曲线在坐标平面上地投影1曲线C地方程jF(x, y,z)=OG(x, y,z)=O曲线C在xy平面上地投影先从曲线C地方程中消去z得到H x, yl=O,它表示曲线C为准线，母线平行于z轴地柱面方程，那么'H(x,y )=0:z = 0就是C在xy平面上地投影曲线方程.曲线C在zx平面上投影或在 yz平面上投影类似地处理2曲线C地方程x = f t“y = g(t) (a t < P )z = h(t )则曲线C在xy平面上地投影曲线方程为= f ty = g t:r t 乞：z = 0丄x = f t曲线C在zx平面上投影曲线方程为y = 0: <t ?:：

45、I-'-z =ht| x = 0曲线C在yz平面上投影曲线方程为* y = g(t ) (a兰t兰B )z = h (t)第六章多元函数微分学§ 6. 1多元函数地概念、极限与连续 性甲内容要点一多元函数地概念1二元函数地定义及其几何意义设D是平面上地一个点集，如果对每个点P x, y D，按照某一对应规则f ,变量z都有 一个值与之对应，则称z是变量x, y地二元函数，记以z= f x,y ,D称为定义域.二元函数z二f x,y地图形为空间一卦曲面，它在xy平面上地投影区域就是定义域D .例如 z = ,1 x2 y2，D : x2 y2 <1二元函数地图形为以原点为

46、球心，半径为1地上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1地闭圆.2 三元函数与n元函数u = f x，y，z x，y，z 门空间一个点集称为三元函数 u = f为，X2，Xn 称为n元函数它们地几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数条件极值中，可能会遇到超过三个自变量地多元函数二.二元函数地极限设f x, y在点x0, y0地邻域内有定义，如果对任意；.0,存在/0 ,只要i. x X。亠 i.y - yo j 门，就有 | f x, y A :;则记以lim f x, y = A或心今0yo称当x, y趋于xo, yo时,f x,y地极限存在，极限值为A,否则,称

47、为极限不存在值得注意：这里 x,y趋于x°,y°是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于xo, yo ,所以二元函数地极限比一元函数地极限复杂；但测试大纲只要求知道基本概念和 简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧三二元函数地连续性1二元函数连续地概念若 lim f （x, y ）= f（X。, y° ）则称 f （x, y ）在点（x°, y ）处连续.Xrxoy “o若f X, y在区域D内每一点皆连续，则称f x, y在D内连续2闭区域上连续函数地性质定理1. 有界性定理）设f x,y在闭区域D上连续，则f

48、x, y在D上一定有界定理2. 最大值最小值定理）设 f x, y在闭区域D上连续,则f x, y在D上一定有最大值和最小值max f x, y 二 M 最大值），min f x, y 二 m 最小值） x,y .D丿x,y D定理3. 介值定理）设f x, y在闭区域D上连续，M为最大值,m为最小值若m _C 一 M，则存在 xo, yo - D，使得 f x°, y° AC乙典型例题一求二元函数地定义域x , I例1 .求函数z = arcsin xy地定义域3x解：要求一 <1即一3Ex兰3 ；3又要求 xy_O 即 x _ 0, y _ 0 或 xE0,y0综

49、合上述要求得定义域”一3 Ex WO亠或*0I兰x兰3*0例 2.求函数 z = 4 -x2 -y2ln y2-2x1地定义域二.有关二元复合函数例 1 .设 f x y,x - y i；=x y y ,求f x,y11解：设 x二u,x-y = v 解出 x u v , y uv221 2 1 2 代入所给函数化简 f (u,v )= (u +v ) (u -v)+ (u -v)84f (x,y )=£(x+y f(x y )+£(x y f842.设 f x y, xy = x2 3xy y25 ,求 f x, y3.设z = y f . x -1 ,当y = 1时，z

50、 = x,求函数f和z4.设 z=x y f x-y，当 y=0 时，z = x，求函数 f 和 z .三有关二元函数地极限例1 .讨论lim 1x2(1涯1<a0常数)< xy丿x2解：原式1、xy xy(x4y )xy而 lim H;a.又limy ；a：xy x y2二 limx :yT2讨论limx_0y o1-原式=ea2x y42x y3.讨论xgy_0 、3x2y24.讨论lim 2；二;x -xy y§ 6. 2多元函数地偏导数与全微分内容要点一.偏导数1.定义设二元函数z = f x, y若归 f（xo"x，yo）f（xo，yo）.x0存在,则记以f；（xo,yo ），或些ex(Xo, yo )或Zx* 称为z = f （x, y ）在点（Xo, y° ）处关于x地偏导数. xo,yof (x0, y0 +Ay )- f (x0, y0 )同理若lim,0 -存在，则记以f；（x°,yo ）或竺cy （x°,y。）或zy称为z = f (x, y )在点(xo, yo )处关于y地偏导数.%, y。)类似地，设U = f x, y