2019年高考全国Ⅰ卷文科数学试题及详细解析(Word版,精校版)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。3-i ntt1 .设 z =,则 z =1+2ic. 42d. 1A. 2B. 332 .已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7

2、, A = 2,3,4,5, B = 12,3,6,7 I,则 BpeuA=A.11,6B. 1,7C.拈才D. U,6,7-14 -020 33 .已知 a =log20.2, b =2 ,c =0.2,则A. a <b <cB. a<c<bD. b <c <a、.5 -12A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是-5-1( 江-0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，2最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是近

3、二1 .若某人满2足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是sin x x5.函数f(x)=在砥 句的图像大致为cosx x6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,，1 000,从这些新生7.8.9.中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C.若46号学生被抽到，则下面 4名学616号学生D. 815号学生tan255 °B. 2+出C.2- .3D.2+ . 3已知非零向量 a,如图是求A. A=2 A1C. A=1 2A10.双曲线C：130

4、6;,则 CA. 2sin40b 满足 a =2 b,且（a - b）_Lb,则a与b的夹角为花B.一32冗C.3D.的程序框图，图中空白框中应填入2 y b2B.1A=2 A,1D. A=1 + 2A= 1(a >0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为的离心率为B. 2cos401C.sin501D.cos5011. ABC的内角A, B, C的对边分别为1a, b, c,已知 asinA bsinB=4csinC, cosA= , 4A. 6B. 5C. 4D. 312.已知椭圆C的焦点为Fi(-1,0), F2(1,0),过F2的直线与 C交于A, B两点.若| AF2 |=2|

5、F2B|, |AB|=|BFi|,则 C 的方程为22222A H=1 B »1 C二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为14. 记Sn为等比数列an的前n项和.若a1二1, &=3,则&=.4、，-3 & -，15. 函数 f(x)=sin(2x+)3cosx的最小值为 .216. 已知/ ACB=90° , P为平面ABC外一点，PC=2,点P到/ACB两边AC, BC的距离均为，3 ,那么P到平面ABC的距离为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

6、。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17. (12 分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?2n(ad -bc)2附：K2 =.(a b)(c d)(a c)(b d)_2、P （K 冰）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. (12 分)记Sn为等差数列

7、an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式；(2)若a1>0,求使得Sn刃n的n的取值范围.19. (12 分)如图，直四棱柱ABCD -AiBiCiDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,/BAD=60° , E, M, N 分别是 BC, BB1，A1D 的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;(2)求点C到平面CiDE的距离.20. (12 分)已知函数 f (x) =2sinxxcosxx, f'(x)为 f (x)的导数.(1)证明：f'(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；(2)若xC 0,兀时，f (x)冷x,求a的取值

8、范围.21. (12 分)已知点A, B关于坐标原点 O对称， Ab |=4, OM过点a, B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点 P,使得当A运动时，MA I- MP 1为定值？并说明理由.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分。22 .选彳4- 4:坐标系与参数方程(10分)1-t2x 2，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 +t(t为参数)，以坐标原点 。为4t厂门极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 PcosH + x/3Psin H +11 =0

9、.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明:(1) 1 +1 1- <a2 +b2 +c2； a b c(2) (a+b)3+(b+c)3+(c + a)3 之24 .2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学详细解析1 .因为z二二J3f(T)二三1 2i (1 2i)(1 -2i)5所以恬=拈2+(_7)2 =应2 . 丁 U =1,2,3,4,5,6,7 , A=2,3,4,5,则 CuA = 1,6,7,又丁 B=2,3,6,7,则BCu A=6,7,故选 C.3.

10、由对数函数的图像可知:a =log2 0.2 <0 ；再有指数函数的图像可知:0 <c =0.20.3 <1,于是可得到：a <c<b.4 .方法一：设头顶处为点 A,咽喉处为点B，脖子下端处为点 C，肚脐处为点 D，腿根处为点E ,足底处为F , BD =t,5 -1根据题意可知2ABBD一 一 , AD .九，故 AB =然；又 AD = AB + BD =(九 + 1)t , = =九，故 DF；. +1DF =t ；所以身高h = AD+ DFt ,将九=三5二1 % 0.618代入可得 h*4.24t.2根据腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为 2

11、6cm可得AB < AC , DF > EF15 -1一即M<26, 1>105,将九=：一定0.618代入可得40ct <422所以 169.6 <h <178.08,故选 B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近,故头顶至脖子下端的长度估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是26cm 可5 -12三5二1比0.618称为黄金分割比例) 可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm ;将人体的头顶68cm,头顶至肚脐的长度与2至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为肚脐至足底的长度之比是

12、 也二！可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度2与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm,与答案175cm更为接近，故选 B.5. f ( -x)=2cos：； x 厂 I xsin x x2cosx x=f(x),f(x)为奇函数，排除A.n n sin / o224 2.八又 f (T) = ,、？ =>0,排除 c,2 n fn ) 冗cos 十 I 212 Jsin 二二 二 八.心；",0'排除B'故选D.6.从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为10n +6(0 <n <

13、99,n e N ),可彳#出616号学生被抽到7.因为 tan 255 =tan(18075 )=tan75 ' =tan(45 30 )tan 45 tan301 - tan 45 tan30化简可得tan255 =2 J8.|a| = 2|b |,且(3b) _Lb ,二(a-b) b =0 ,有 5 b |b |2=0 ,设 a与b 的夹角为e ,贝u 有 iM |b|cosH |b|2 = 0 ,即 2|b|2cos |b|2=0 , | b |2 (2cosH 1) = 0 ,1二 |b |#0 ,，cose = , e =一,故 a与 b 的夹角为一，选 B .2339.

14、把选项代入模拟运行很容易得出结论A=选项A代入运算可得2+ ,满足条件,2+-1A=2+ 选项B代入运算可得 A 21 ,不符合条件,2+ 2、一，一 1选项C代入运算可得 A =,不符合条件2、 一1选项D代入运算可得 A =1 + ,不符合条件.410 .根据题意可知b = tan1301 所以 b =tan50©=sin50 0, aacos50离心率b2sin250 = cos250sin250 二 1;a2 ifcos2 50cos2 50cos2 50cos5011 .由正弦定理可得到：a sin A -bsin B = 4csin C = a2 - b2 = 4c2 ,

15、即 a2 = 4c2 + b2,b2 -.-c2 a21b2bc 4又由余弦定理可得到：cos A = b_c = _1，于是可得到=612 .由 AF2 =2 F2B , AB = BF1 ,设 FB x ，则 AF 2| =亚，BFi =3x,根据椭圆的定义 |FzB +|BFi = AF2I +|AFi =2a ,所以A F =2 x,因此点A即为椭圆的下顶点，因为AF2 =2FzB , c=1所以点B坐标为(3,-),将坐标代入椭圆 2 291CC万程得 1+ =1 ,解得a2 =3,b2 =2 ,故答案选B.4a2 4x2x2x结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率

16、k = 3,13 . - y =3(2x+1)e +3(x +x)e =3(x +3x+1)e ,.切线方程为y=3x.14 . a1 =1 , S3 =a1 +a2 +a3设等比数列公比为qa1a1q a1q21 q =-2-5所以S4 = 58“一 、.小3二、-ccc2c,15 . f(x)=sin(2x+)-3cosx =-cos2x-3cos x =-2cos x-3cosx+1, 2因为cosxq_1,1,知当cosx=1时f(x)取最小值,3二.一 .则 f (x) = sin(2 x + )-3cos x 的最小值为 -4 .216 .如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为

17、O,则PO的长 度即为所求，再做PE _LCB,PF _LCA ,由线面的垂直判定及性质定理可得出OE _LCB,OF 1CA ,在R A P C串，由P C=2 , P#L 3可得出 CF=1,同理在 RtPCE中可得出CE=1,结合/ACB=90 OE _LCB,OF _LCA 可得出 OE=OF =1 , OC=V2,PO =、, PC2 -OC2 = 217 .解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4040 = 0.8,因此男顾客对该50商场服务满意的概率的估计值为0.8.30女顾客中对该商场服务满意的比率为30 = 0.6 ,因此女顾客对该商场服务满意的概率的50估计

18、彳1为0.6.K2100 (40 20 -30 10)2定 4.762 50 50 70 30由于4,762 >3,841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18 .解：（1）设QJ的公差为d.由 S9 = a5得 a1 +4d =0 .由a3=4得 ai +2d =4 .于是 a1 = 8, d = 2 .因此an的通项公式为an=102n.(2)由(1)得 a1=Yd,故 an=(n -5)d, Sn = -.2由a1 >0知d <0,故Snan等价于n2 11n十10, 0,解得1而w10所以n的取值范围是n|1Jg!|n 10, nW N.1.19

19、 .解：（1）连结BC,ME ,因为M ,E分别为BB1, BC的中点，所以ME / B1c，且ME = B1c .21又因为N为A,D的中点，所以 ND=AD.2由题设知AB= DC ,可得BC = A1D ,故ME= ND ,因此四边形MNDE为平行四边形， MN / ED .又MN0平面C1DE ,所以MN /平面C1DE .（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE_LBC, DE_LC1C,所以DE，平面C1CE,故DE，CH.从而CHL平面C1DE ,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1, CQ=4,所以C1E=J17,故CH =4/7.17从而点C到平

20、面C1DE的距离为4/7 . 1720 .解：(1)设 g(x) = f '(x),贝U g(x) = cosx +xsin x _1,g'(x) = xcosx.当 xw(0,-)时，g'(x) A0；当 xW '，"时，g'(x) <0,所以 g(x)在(0,-)单调递增， 222在冗i单调递减.2,又g(0)=0, g l>0, g(力=一2,故g(x)在(0,死)存在唯一零点. 2所以f(x)在(0,力存在唯一零点.(2)由题设知f (力日：!； f (冗)=0 ,可得aw 0.由(1)知，f'(x)在(0,劝只有一

21、个零点，设为x0,且当x"0,x0 )时，f'(x)>0；当xW(x0,Tt)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,%)单调递增，在(x0,九)单调递减.又 f (0) =0, f(花)=0,所以，当 x0,可时，f(x)-0.又当 a, 0, xw0,句时，axWQ 故 f(x)ax.因此，a的取值范围是(-二,0.21 .解：(1)因为M过点A, B ,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点 O对称，所以M在直线y=x上，故可设 M (a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r =|a + 2 |. 22由已知得|AO|=2,又MO_LAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得| MA | -1 MP |为定值.理由如下:设M (x, y),由已知得M的半径为r=|x+2|,