椭圆中的定点定值问题

1、例1 . ( 2022盐城二模)椭圆中的定点、定线、定值问题匚1(a b 0)的离心率为丄b22且过点,)，记椭圆2相关题：(江苏2022年16分)在平面直角坐标系 xoy中，如图，椭圆2£1的左、右顶点为A5的左顶点为A.求椭圆的方程；设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点，试求 ABC面积的最大值; 过点A作两条斜率分别为 k1, k2的直线交椭圆于 D, E两点，且k1k2 个定点.T ( t,m )的直线 TA、TB与椭圆分别交于点M(X1，yJ、N(X2$2)，其中(1)2 ,求证：直线DE恒过一解:由22x 2ya12a22a2214b2b2 c21,解得(2)设 B(m

2、, n) , C( m, n),那么 S1ABC又 1 m2 2n2 2 2m2n2 2.21 m|1-,所以椭圆C的方程2222|m|n| |m| |n| n |,所以 | m | | n |-4当且仅当|m|, 2 | n|时取等号从而Sabc因为A( 1,0),由 y kdx 1) x2 2y21,1 2k12 f、 点 B(±,=)1 2k12 1 2k12所以AB: y消去y,得(12k1m>0,* 0i 目20。(1)设动点P满足PF2(2)设x12,X2-,3(3)设t9,求证：直线【答案】解:(1)设点PPB24,求点P的轨迹;求点T的坐标;B,右焦点为 F。设

3、过点(x , y )，那么：F ( 2, 0)、B (3,由 PF2 PB24，得(x 2)故所求点P的轨迹为直线x(2)将 x12, x2直线MTA方程为:y2 (x1-分别代入椭圆方程,3y 02K 8 4k1k12 8&2直线3匕2(k12 2)所以 2yk12(3x5)k1 y.2 、,即ABC面积的最大值为 4ki (x 1),AC : y k2(x直线NTB方程为:1),2k12)x2 4k12x 2k1210 ,解得x= 1或1如2K25 0 23y 0209，即2同理，有C(1 2k22,匕)，而k1k21 2k22 1 2k224匕2k22,联立方程组，解得:10，B

4、C的方程为y2k_2k122k128 人21 2k1k12 88人2所以点T的坐标为(x亠即y1 2K y 0 3x 5 00,那么由(注：第(3)小题也可采用设而不求的做法3k12(k12X2)1 2k,21 2人25k12(k12(x10(7,百)。(3) v点T的坐标为(9, m)2)5,得直线BC恒过定点(-0)3，直线MTA方程为： 匚° 乞虫，即m 09 3直线NTB方程为：丄卫互卫，即ym 09 3,即设D(X1, yj, E(X2, y2),然后代入找关系)2分别与椭圆92MN必过x轴上的一定点(其坐标与3)2以及y151200, y2 0得：M(2，- )、N(-，

5、)。339y12m(x 3)。6必 1联立方程组，同时考虑到5X13, x2 3 ,解得:23(80 m )40m、80 m 80 m2N(3(m 20)20 m2020m 、2)。mX2时，直线MN方程为:20m20 m至40m20m80 m220 m23(m2 20)X20 m23(80 m2)3(m2 20)0，解得:X 1。此时必过点D ( 1，0)；x2时，直线MN方程为:X 1，与X轴交点为所以直线MN必过X轴上的一定点D (1，0)。例2.(2022南京二模)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭80 m220 m2D (1， 0)。2古i(a b 0)的离心率为-，以原点为圆心，椭

6、圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P(0,1),Q(0,2), 设M,N是椭圆C上关于y轴对 称的不同两点，直线 PM与QN相交于点 圆C上。T。求证：点T在椭17.(本小题总分值14分)解：(1)由题意知因为离心率e = 1：b= 22= -;2.c今，所以a 2所以a= 2 212.2 2所以椭圆C的方程为x + y = 1.8 2(2)证明：由题意可设M N的坐标分别为(X0, y°), ( X0, y°)，那么直线PM的方程为直线QN的方程为y0 2尸二7+2证法一联立解得X0T：X03y° 42y0 3

7、2y0 3)，11分2 2X0 y022由 8 + 2 = 1 可得 X0 = 8 4y0 .2 21 X。、21“3yo 4、2 xo + 4(3 y0 4)8 2y0 32'2y0 38(2 y0 3)2 2 2 28 4y0 + 4(3 y0 4)32 y0 96yo+ 72 8(2 y0 3)1,所以点T坐标满足椭圆证法二设T(x, y).联立解得X028(2 y0 3)2 28(2 y0 3)8(2 y0 3)C的方程，即点T在椭圆C上.14分3y 4y0=. x 2 1 3y 4 2/ + 办 R)= 1.2 2x 9y2= (2y 3)，所以-+-2 12y+ 8 = 4

8、y 12y + 9,2y 32 2因为+号=1，所以y 32 2 整理得器即4)2 2即舒+1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.相关题:M(2,0),11分14分2X(2022年北京西城一模理19)椭圆。：二a椭圆短轴的端点是B1 , B2，且MB1求椭圆C的方程;设过点M且斜率不为0的直线交椭圆分 APB ?假设存在，求出点 P的坐标；假设不存在,5解：(I)由-9依题意所以椭圆MB2.2,2ab2ab22 ，aMB1B2是等腰直角三角形，从而2 2C的方程是乂 194'b °)的离心率为-5C于A , B两点试问X轴上是否存在定点 P ,使说明理由()设

9、A(X1,yJ , B(X2,y2)，直线 AB 的方程为将直线AB的方程与椭圆消去x得(4 m29)y2所以y116m% 4m29，定点PM平C的方程联立,16my20 0.204m292，故 a 3.x my 2.假设PF平分 APB，那么直线PA , PB的倾斜角互补, 所以 kPA kPB 0.解得a 2,c2,b2 a2 c22，故椭圆的标准方程为设Pa,0，那么有y1y20.X1ax2a将 x1 my12,X2my22代入上式,整理得2my1y2(2a)(y1y2) 0 ,(my12a)( my22 a)1.(II)设 P(x, y), M (花，yj N (x?, y?)，那么由

10、uiur ujiw LOT OP OM 2ON 得(x,y) (X1,yJ 2(X2,y2)(为 2x2,% 2y2),所以 2myi y2 (2 a)( y1 y2) 0.将 yi y216m4m2 9y22 代入上式,4m 9整理得2a9 m 0.9 由于上式对任意实数 m都成立，所以 a -.29综上，存在定点 P ,0，使PM平分 APB.2即X2x2, yy12y2.因为点M ,N在椭圆x22y24上，所以2X12yf4, x|2y；4故x22y2(X124x；24x1X2)2(y14y2 4y°2)(X122y122 2)4(X2 2y2)4(X1X2 2y2)204(X

11、1X22%y2).设kcM,koN分别为直线OM , ON的斜率，由题设条件知例3. 2022重庆理如图，椭圆的中心为原点O，离心率e一条准线的方程为I求该椭圆的标准方程；um uuurn设动点P满足：OP OMuuuON，其中M , N是椭圆上的点，直线 OM与ON的斜率之积为y yX1X2,因此 X1X2 2y1y20,2-,冋：是否存在两个定点F ,F，使得PF不存在，说明理由.PF为定值？假设存在，求F , F的坐标；假设解：I由e2.2,所以 x2 2y220.所以P点是椭圆2X(2、5)22_y_G 10)21上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1 , F2，那么由椭圆的定义|PF1|

12、+|PF2|为定值，又因c；2. 52、jo2，1q，因此两焦点的坐标为F1 .70,0, F2 50,0.相关题：2022南通三模此题总分值16分2 2 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 爲 爲 a b1a>b>0的离心率为二，其焦点在圆22 2 .x +y =1 上1求椭圆的方程；设A, B, M是椭圆上的三点异于椭圆顶点，且存在锐角 B,使OM° cos OA sin OB .(i) 求证：直线 0A与OB的斜率之积为定值；(ii) 求证：oA+oB为定值。思路分析：此题第(2)问中，可以证明线段 AB的中点恒在定椭圆 x2+2y2=1 上.后一问与前一问之间具有等

13、价关系.解：(1)依题意，得c=1曰是,a= . 2 , b=1所以所求椭圆的方程为2 x 2直线A2B的方程为由得-y1y= x-aX1 -a22-%y = 厂X1 -a2 2x -a由点A X1,y1在椭圆Co上，故可得2X12a2Y1+ b22X1=1，从而有y12 =b2 1=，代入得a2(2) (i)设 A(X1, y1) , B(X2,汕，那么生22yi1,2X22y221.22x y2 - 2 =1 x<-a,y<0-a b(2)证明：设A' X2 ,y2，由矩形ABCD与矩形ABCD '的面积相等，得又设 Mx, y)，因 C)McossinUUDO

14、B ,Xi cosy1 cosX2Sin , y2 sin .4匈|丸=4|x|y2, X12y12=X22y22，因为点A,A'均在椭圆上，所以 b2%2因Ml在椭圆上，故(x1 cosX2Sin )22(yi cosy2Sin )2由 t1 t2，知 X| X2，所以 x12+x22=a2。从而 y-|2+y22=b2，因而 t12+t22=a21二=b2X22 a+b为定值12分2整理得(0y)cos222冷 22(y2 )sin2x1x22(-2%y2)cossin 1 .将代入上式，并注意cos sinX1X2y2所以，koAkoBX1X2(ii)(y)2X1X2)22 )2 2X1X2(12 22yi )(i2y2)2222,1 (y1y2) % y2，故2又(乡y")2(X2y；)故x22X2所以，oA+oB=x22yi2X22y2 =3.2备用：(2022 辽宁理)如图，椭圆 C0: -2 + "? =1 a>b>0,a,b为常数，动圆 C1：x2 + y2=t12,b<t1<a .点 A1,A2 a b分别为Co的左、右顶点， G与C。相交于A,B,C,D四点(1) 求直线AA1与直线A2B交点M