正弦稳态分析

1、第 6 章 正弦稳态分析 -相量法 186学习重点 1866.1 正 弦 量 1866.2 复 数 1886.3 正弦交流电的相量表示 190问题的引入 1906.3.2 正弦量的相量式表示 190正弦量的相量图表示 1926.3.正弦量的相量表示的应用 1926.4 KCL 、 KVL 相量形式 1946.5 电阻、电感和电容元件 VCR 的相量形式 1956.6 正弦交流电路的阻抗、导纳及等效 1986.6.1 阻抗的概念 1986.6.2 导纳的概念 2006.7 正弦稳态电路的一般分析方法 2016.7.1 相量法的原理 2016.7.2 相量法的一般分析过程 2026.7.3 相量图

2、法 2056.8 有功功率、无功功率、视在功率和复功率 2066.9 正弦稳态电路的功率守恒 2086.10 正弦稳态电路的最大功率传输 2126.11 仿 真 实 验 214习 题 六 216第6章正弦稳态分析-相量法学习要点(1) 正弦量的三要素及相量表示；(2) 复阻抗；(3) KCL、KVL的相量形式；(4) 有功功率、无功功率、视在功率和复功率。电路的正弦稳态分析是重要的根底性问题，相量法是分析正弦稳态电路的简便有效的方法，重点理解 为什么要引入相量法？相量法与正弦量的关系？引入相量法后，还是利用电路的两大约束，应用电路的基 本分析方法，求解电路的相量响应， 然后进行相量反变换求出时

3、域响应。本章涉及到的主要概念： 三要素、有效值、相量、阻抗、有功功率、无功功率、视在功率、功率因数、复功率和最大功率传输等问题。6.1正弦量在经典电路理论中，一般把方向和大小均呈现周期性变化(交变)的电压、电流等周期函数(信号)作为根本的分析对象。其中最重要的周期函数就是按正弦规律变化的正弦量。可以采用sine或cos函数描述正弦量，本书采用 cos函数描述正弦量。1 .正弦量的表示以正弦电流i(t)为例，说明正弦量的表示方法和意义。如图6-1所示，一段电路中有正弦电流i(t)，在如图示参考方向下，i(t)在每一瞬时t的值(瞬时值)可表示为i(t)(6-1)(6-1 )式，称为正弦量的三角函数

4、式或瞬时表达式，式中的幅值|m、角频率* '和初相位'：i称为正弦量的三要素。图6-1一段电路中的正弦电流正弦电流i(t)是一个交变的电流，正半周时其值为正，说明其实际方向与参考方向相同，负半周时那么相反。正弦量的第二种表达方式是波形图，也称为正弦波，其横轴可以是时间t,单位为s(秒)；也可以是-t ,单位为rad (弧度)。如图6-2是正弦电流i(t)的波形图。图6-2 正弦电流i(t)的波形图i (t)是时间t的函数，有时也简记为i下面结合波形图来说明正弦量三要素的意义。I m称为正弦量的振幅或幅值。 显然，当COSjt ；) =1时，i(t)取得最大值Im ；当cos(

5、t i) - -1 时，i(t)取得其最小值Im。最大值与最小值之差lm-(-lm)=2lm称为峰-峰值。随时间变化的角度 (t i)称为正弦量的相位或相位角，其时间变化率称为角频率，容易求得角频率 就是，单位为rad /s (弧度/秒)，它与周期T和频率f之间的关系为=2 二 T = 2二 f( 6-2)周期T的单位为s (秒)，频率f的单位为/ ( 1/秒)，称为Hz (赫兹，简称赫)。是正弦量在t=0时的相位，称为初相位(角)，简称初相，初相的单位为rad (弧度)或° (度)。 对一组同频正弦量，初相代表了每个正弦量到达其最大值的先后关系，称为相位关系。一般称初相位为0的正弦

6、量为参考(标准)正弦量，所以其它同频正弦量的初相代表了“超前或“滞后参考正弦量的角 度。由于正弦量是以 2二为周期的周期函数，所以如果不对初相的取值范围有所限制的话，就可能出现多 种“超前或“滞后的歧义说法。一般规定初相的取值范围为-，二1。如果初相值超出取值范围，可通过加减2二求出符合取值范围的初相值。正弦电压的表示方法和意义与正弦电流类似，这里不再赘述。2 相位差电路中常用相位差的概念来表示两个同频正弦量之间相位关系，相位差就是两者相位的差，显然也等于初相的差，相位差是一个与时间t无关的常数。例如，如以；：12表示电流i1(t) lm cos(t亠J和电压U2 (t) UmCos( 42)

7、的相位差，那么有阵川厂(6-3) 同初相一样，一般也规定相位差的取值范围为L二，二。知道了相位差以后，就可以结合“超前和“滞后等概念来说明两个同频正弦量的相位关系。当12 0时，称i1超前U212，或称U2滞后i1 ；：12 ；反之亦然。(1) 当:12 =0时，称i1与u2同相；(2) 当卩12 =兀，称h与U2 (彼此)反相；(3) 当I® 12 = %，称i1与U2 (彼此)正交。显然，当改变某一正弦量的参考方向时，为保证正弦量的瞬时值不变，其新表达式应取原表达式的反相，即初相加:或减二。在波形图上更容易理解相位差意义，见例题6-1。22例 6-1 求正弦量 i1(t) = I

8、m1 cos( t )A 和 i2(t) = I m2 cos( t )A 的相位差。33解 根据式(6-3)可求得12此值已超出相位差的取值范围L二，二1,所以相位差应为 2 - 2 =，具体可表述为，i233超前h 2二，或i1滞后i2 -，结果如图6-3所示。333 有效值通常交流电流表、交流电压表的读数、及常用交流电器所标注的额定值都是有效值。人们常说的家用 照明电压220V，也是有效值。交流电的有效值是根据电流的热效应来定义的，以周期电流i(t)为例，假设把一个周期电流i(t)和另一个直流电流I加到电阻值均为 R的两个相同的电阻上，如果两者在一个周期为T的时间内所产生的热能相等，那么

9、这个直流电流I的值就是这个周期电流i(t)的有效值。显然，可在一个周期内表达这种相等关系， 即Ri2(t)dt =TRI 2T.2因此可求得(6-4)即一个周期电流的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根，所以有效值也称 均方根值、或方均根值。当电流i(t)是正弦量时，可以推导出其有效值与振幅之间的关系。由式( 1+cos22t + £)可求得21I ：I m = 0.707 I m.2角公式 i2(t) =lm2cos2(J =lm26-1)和式(6-4),并根据三(6-5)据此，正弦电流i(t)也可记为如下形式(6-6)i(t) =、21 cos( ti)上式中

10、，I、 i也可称为正弦量的三要素。注意，式(6-5)只适用于正弦量，对其它的周期函数不成立。电压有效值的定义与电流完全相同，这里不再赘述。为了对正弦量进行分析计算，首先对复数运算作 简要复习。6.2复数复数F定义为F =a jb式中，a和b分别称为复数F的实部和虚部，而j - . -1为虚数单位。此定义式一般称为复数的代数形式。假设两个复数的实部和虚局部别相等，定义为两个复数相等。如图6-4所示，复数图6-4复数在复平面上的表示为计算方便，还经常把复数表示成其三角形式、指数形式及极坐标形式。根据图6-4，复数F的三角形式为F =|F cosG +j F sinG式中F = Ja2 +b2为复数

11、F的模，日=arctanb为复数F的辐角，因此有a = F co S ，ab = F sin日。日可以用弧度或度表示。根据欧拉公式ejr =cosv - j sinv，复数F可表示为指数形式和极坐标形式F =|FF =|F用ReF表示取复数F的实部，lmF表示取复数F的虚部，所以有，ReF二a，lmF = b。用F*表示复数F的共轭复数，即F* = a jb或F* =|F|N -日。复数的根本运算包括加减和乘除。复数的加减运算定义为其实部和虚局部别相加减，所以一般适合以代数形式进行。例如，设F a1 jb1、F2 二 a2 jb2，贝VR ±F2±a2 jb ±b

12、2复数的加减运算也可以在复平面上按向量加减的平行四边形法那么进行，如图6-5表示了两个复数相加的运算F = F1 F2。图6-5复平面上两个复数相加的运算显然，两个复数相减的运算 F -F2可视作F =已-F2。复数的乘除运算以指数形式或极坐标形式进行较为简便。两个复数相乘定义为它们的模相乘、辐角相 加，即F =FjF2 = FF+02两个复数相除定义为他们的模相除、辐角相减，即F2F1F2.匕 1 _二2下面讲解几个特殊的复数。e = 9是一个模等于1,辐角为9的复数。任意复数F =乘以e旧等于把复数F逆时针旋转一个角度v而F的模不变，所以e -1二称为旋转因子。当二=90，称为旋转90因子

13、,ej90 二cos90； j sin90 二 j，所以，j - 90，-j - -90 , -仁.180 都是特殊的旋转因子。6.3正弦交流电的相量表示问题的引入在14章属于直流稳态分析,路，因此，不包含电感和电容。第根据-L加0，电感视为短路，根据晋。电容视为开5章属于直流动态分析，电感和电容的 VCR，都不为零，因此列出的是微积分方程。然而，在交流电路中，电流或电压都是变化的，此时列出的方程是含有正弦函数的微积分方 程，给电路分析计算带来困难。例如图 6-6所示电路，鼓励 us(t)二200cos(314t 50)。假设用支路电流法求iL、 iC、 i R，那么电路方程为iLiCI A(

14、6-7)L 理 icdt =200cos(314 t 50鋼 dt C1 .R iRi c dtC此方程是关于正弦量三角函数式的微分方程，所以直接在时域内分析此电路非常繁琐，为此利用数学 知识，探寻全新的方法相量法。在线性电路中，对正弦交流电路进行稳态分析计算时，会遇到大量的同一频率的正弦量相加、相减、积分、微分等运算，如(6-7 )式，如果，此时全部鼓励都是同一频率(frequency )的正弦量，那么电路中的全部电压与电流的响应与鼓励的频率相等。即只要鼓励的频率且相同，响应的频率不用再求。正弦交流电的求解就是要关注正弦量的三要素，其中响应的频率与鼓励的频率相等，因此，只要求解正弦量的幅值和

15、初相位，下面将根据数学和电路原理探寻正弦量的幅值和初相位的求解方法一一相量法。正弦量的相量式表示正弦量除了用三角函数式(瞬时表达式)和波形图来表示以外，利用欧拉公式还可以表示成复指数的形式。例如，一个正弦交流电流h(t)二、2 IcosC t )A，可以表示为复指数函数的实部：h(t) = 2l cos( t )二 Re“2lej( t) = Re 2lej ： ej t(6-8 )式(6-8)中，方括号内是一个复数，符号Re表示取复数的实部。其中的 ej t在复平面上，是一个以角速度逆时针旋转的单位矢量；矢量 -2Iej包含了正弦量的 最大值和初相位 两要素的矢量，再乘以 ej t，即得一个

16、以 角速度，逆时针旋转的矢量，因此 旋转的矢量 能完整的表示正弦量的三要素。这个旋转的矢量称为正弦量的相量，用I。我们将正弦电流i(t)(对应)的相量，记为II = Iej®=|Z®(6-9)其与正弦电流i(t)的一一对应关系可表示为i(t)= I(6-10)要特别强调，式(6-10 )表示的是一个正弦量与其相量之间的一一对应关系，不是相等关系，不能用等号。显然，一个正弦量与其相量的关系也可表示为i(t) =Re. 2llej 片i(6-11)+1jj(b) - ti=60+1j(a)t o=0C?3 ( (c) - t2=900i综上可得，正弦交流电流i (t) = i

17、2 IcosC t亠°)A的相量式Im =Qle"或 |Im=QIN®(6-12 )在电路分析中，复数中的模也可以取为正弦量的有效值，即可以把正弦交流电流的相量形式为I = le或( 6-13)注意用有效值代表相量的模时，要想得到如图 6-7所示，对应的物理意义必须将有效值乘以、2。正弦量的相量图表示假设把复数,2lej ； er t在复平面上的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段画出，为了做图方便， 将复数坐标逆时针旋转了90。例如，当初相位是 0°幅值是J2l，即把J2lej0 旳，画在如图6-7中,有向线段长度是21、初相位是0°勺矢量，

18、且以角速度逆时针旋转。如图6-7 (a)图中，当t=0时，该相量与实轴夹角为正弦函数的初相位角=0，此时，相量在实轴上的投影等于21 cosO；。该相量以角速度随时间逆时针方向旋转，当t=t|时，相量转到图(b)中所示位置。此时与实轴夹角为C4 )=60；。由图可以看出，该相量在实轴上的投影等于2l cos60，即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值，以此类推。相量的定义构建了两个数域之间的变换关系，正弦量的三角函数式和波形图在时间域，其相量式和相 量图在复数域。在后续课程中我们会发现，类似的变换方法在科学研究和工程技术中广泛采用。综上可得，正弦交流电流i (t)2 lcos r )A 的相量图

19、，如图6-8所示。图6-8相量图在用复平面上的相量表示正弦函数时，只要确定其初相位时的相量即可，即相当于取t=O时的复指数函数.2ler。实际的正弦时间函数只要把该复数乘以ej t ,再取其实部就可以得到 i (t _ 2 l c o s C t o ) A掌握三角函数式，相量的复数表达式和相量图形表示，并理解它们之间的内在转换关系和意义，是稳 态正弦交流电路中相量计算的根底。6.3.正弦量的相量表示的应用对于图6-9 ( a)所示的电路，假设两条支路中的电流为h 二-2l1cos( t1)i2 = 2Jcos(，t 2)iiRii i2 R2*I I图 6-9a那么，总电流i =h +i2=

20、 Re、.2lej jJ Re&lej 2 ej '= Re迈川 |l2ej 勺= Re、2llej l-21 cos，t Il = I, |l2由上式可知，要计算总电流i只要知道总电流的相量 I即可，于是两个同频率的正弦电流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转化为两个复数的相加运算。以上 是转换的推导过程，以后的计算直接转换为相量利用Ml, l2相加即可。我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流ii与i2的相量I,、|2，如图6-9b、c所示。(b) t=0(c) t=t i图6-9相量图当t=O时,相量处于初始位

21、置。按两个相量相加的平行四边形法那么，作山、|2平行四边形或首尾依次连接得合成相量I，如图6-9 b所示。当t=t i时,相量|,、I?以角速度随时间逆时针方向旋转了ti角度，平行四边形或首尾依次连接得合成相量I，如图6-9 c所示。分析6-9b图，合成相量I的初相位，应根据图 6-9 b求得。由图6-9 b和c可见t=O时和 t等于任意时刻，其合成的相量 I的幅值不变，因此只要画出 t=O时，的相量图，即6-9b图就可以求 出三要素中初相位和幅值或有效值。综上所述，分析了正弦函数相量式与三角函数式的关系，正弦函数相量图与波形图的关系，简言之, 正弦量可以用以下四种表达方式：三角函数式，如，i

22、 t二2 Icosf t A ； 波形图如图6-2 ； 相量式如 6-i2式或6-i3式； 相量图如图6-8 。正弦量的这四种表达方式可以相互转换，各有特点，对正弦量运算，用相量式更简便，用相量图做 辅助分析比拟直观，下面通过例题，进一步说明同频率正弦量的转换表达方式等问题。例6-2写出以下三角函数式的相量式、并画出相量图h(t)二 _14.14cos(628 103t 60 )mAu2(t) =220、2sin(314t -120 )V解 注意，首先要统一用 cos或sin函数表示正弦量，而且表达式前的负号要等效到其初相位中，变 换后还要注意初相位是否超出其取值范围。据此，两个正弦量应首先变

23、换为h(t) =14.14cos(628 103t 60 -180 ) =14.14cos(628 103t-120)mAu2(t) =220.2cos(314t-120 -90360 ) =220、2cos(314t 150 )V所以，两者(对应的)相量式为11 =10. - 120 mAU2 =220 150 V相量图相量图中的水平参考，可以不用画出，请读者自己画出对应的波形图。 从的三角函数式，可以直观的找到幅值、角频率，和初相位三个要素； 从波形图可以直观的看到幅值、周期T和初相位三个要素。 从相量式和相量图中可以直观的找到幅值(或有效值)、初相位两个要素；可以认为角频率，被隐含在相量

24、式的“ 中，因此，写相量式或画相量图时，一定不能丢掉大写字母上方的“*，如果只写大写字母表示有效值， 大写字母上方的加 “ *，表示一个完整的正弦量的相量式。而小写字母表示随时域变化的三角函数式，请大家一定注意写法的不同，代表的物理意义各不相同。6.4 KCL、KVL相量形式由基尔霍夫电流定律(KCL)，在任意时刻，对电路中任一节点，流出该节点的所有支路电流的代数 和恒等于零，即h心2厂3 +ik =0或简记为送ik =0k当电流均为同频正弦量时，可对上式两边用相量表示，有I 1 I 2 I Tk=0 或简记为.一 I k = 0( 6-14)k此即KCL的相量形式，可表述为，任一结点上，同频

25、正弦电流对应相量的代数和等于零。同样，由基尔霍夫电压定律(KVL)，当支路电压均为同频正弦量时，有U1 U2 U3Uk=0 或简记为' Uk =0(6-15)k此即KVL相量形式，可表述为，任一回路中，同频正弦电压对应相量的代数和等于零。由于振幅相量与有效值相量仅有2倍的差异，所以对振幅相量，KCL和KVL的相量形式同样成立。实际应用中，总是先画出所谓原电路对应的相量模型，然后根据相量模型直接写出KCL方程和KVL方程的相量形式。要特别强调的是，KCL、KVL的相量形式并没有什么新的物理意义，本质上，其所反映的仍是其对应 的正弦量在时域内每一时刻满足KCL或KVL。由于只有相量才对应其

26、正弦量，所以要特别注意，只有相量才满足 KCL或KVL ,其有效值不满足 KCL或KVL。i,(t) =3、. 2cos(314t)A，例6-3 在图6-11a中，电流的参考方向如图，且电流i2t =3、2cos314 60 A，求另一电流 i3t。图6-11例6-3图(a)解 1将正弦量的三角函数式转化为相量式-相量的正变换，得山=3 0 I2 = 3 6 0根据节点A的KCL13 二11一|12=3.0一 3.60=3.03/-120 =3/- 60 A2将正弦量的相量式转化为三角函数式-相量的反变换，得i3t =3.2cos314t-60 A也可在复平面上用图解法求解|3， II1 -1

27、2，如图6-11b所示。也可用最大值表示相量，此时得到的是I3m。6.5电阻、电感和电容元件VCR的相量形式电阻、电感和电容这三种根本二端元件都可以视作最简单的单口。下面讲解这三种元件VCR的相量形式，并对其正弦稳态下的特性做深入分析。1.电阻0 +16Ca b c图6-12电阻的时域模型、相量模型和相量图电阻R的时域模型如图6-12 a所示，设电流和电压呈关联方向，其中iRt =2|RC0S，t *J，iR = Ir :i根据欧姆定律URt二 RiRt6-16可求得uRt二.2RI Rcos t 6-17可见，其电压有效值是电流有效值的R倍，电压与电流同相。直接对6-17式写出相量式，可求得

28、电阻的 VCR的相量形式为Ur 二 RIr.1 二 RUr式6-18可分解为有效值的关系和辅角的关系，即工 Ur =RIr此结果与时域分析结果一致。(6-18)(6-21)由式6-18可得，电阻 R的相量模型如图 6-12 b所示，式6-18可根据此相量模型按欧姆定 律直接写出。图 6-12 c是电阻的相量图，其简明地说明了其电压相量和电流相量的关系，电阻元件上电压和电流同相位。a b c图6-13电感的时域模型、相量模型和相量图2.电感电感L的时域模型如图6-13a所示，其中电流和电压呈关联方向，设 ijt二.2ILCOS4，那么lL = ：i，根据楞次定律电感的VCRd iLt ULt=L

29、 2 6-22dt可求得uLt = -2 L lL sin t 1二 L、21L cost 厂 90 6-23可见，其电压有效值是电流有效值的L倍，并电压超前电流 90。直接对6-23式写出相量式，可求得电感的VCR的相量形式为Ul = LIl i 90： = LIlJ ' ej90 因为&=債"又ej90°=j， 讥=妙口1 6-24式6-24可分解为有效值的关系和相位的关系(6-25)当；-； 06-13Ul"LIlk 札=%+90。由式6-25，定义XL二L为感抗，具有电阻的量纲 k； | ；与电阻不同，感抗随频率改变: 时直流，L 0 ,电

30、感相当于短路；当；：；：一-时，L ，电感相当于开路。图6-13 b是电感的相量模型，式6-24可根据此相量模型并按欧姆定律的形式直接写出。图c是电感的相量图。3.电容a图6-14电容的时域模型、相量模型和相量图 电容C的时域模型如图6-14a所示，其中电流和电压呈关联方向，设uc t h2Uc cos t u，那么 Uc 二 Uc u根据电容的VCR可求得xtrc 岂®dtic (t) = C、2Uc cos( t u 90 )(6-26)可见，其电流有效值是电压有效值的C倍，并电流超前电压 90。直接对6-26式写出相量式，可求得电容的 VCR的相量形式为因为|lc = CUc

31、( u 90 CUcej uej90 t&C = Uc _ - u又ej90j-'rl C = j Be U C式6-27也可分解为有效值的关系和相位的关系Ic=CUc> 90由式6-28，定义x =丄为容抗，具有电阻的量纲 心】；与电感的特性相反，当国tcoC电容相当于开路；当 时，1> 0，电容相当于短路。灼C图6-14 b是电容的相量模型，式6-27可根据此相量模型并按欧姆定律的形式直接写出。图 c是电容的相量图。(6-27)(6-28)0时，丄:，-C6-144.电阻、电感和电容的 VCR的相量形式总结根据本节的分析，可总结出，电阻、电感和电容的. VCR的

32、相量形式为Ur=RIrUl = j LIlUc5.受控源的VCR的相量形式 最后分析受控源的 VCR的相量形式。其中控制系数g为常数，当控制电压它们都具有欧姆定律的的形式。以 VCCS为例，其控制关系为it =g utut是正弦量时，受控电流it也是同频正弦量，因此，有(6-29)=gu式中 1=1.= i(t), u =u . u= u(t)。式6-29就是VCCS的VCR的相量形式，图 6-15是VCCS的相量模型，可见形式上与时域模型完 全相同，只是将电压、电流换成了对应的相量。VCR的相量形式和相量模型，其结果与比照上述分析方法，我们也可得到其他三种类型的受控源的 上述VCCS类似，这

33、里不再赘述。图6-15 VCCS的相量模型6.6正弦交流电路的阻抗、导纳及等效阻抗的概念上一节分析了单一参数的正弦交流电路，引出了感抗、容抗，下面通过分析 路，进一步介绍阻抗和导纳的概念。图6-16 a所示单口 N是一个正弦稳态下的无源单口，其端口电压RLC串联电路和并联电ut和端口电流it对单口而言呈关联方向。a b c图6-16单口的阻抗图6-16 b是无源单口N所对应的相量模型 N ，其中的端口电压和端口电流均以其对应的相量表示。记端口电压相量为 u，端口电流相量为I =1/%,两者也呈关联方向，那么定义z6-30IZ为单口 N.,的阻抗，也称为复阻抗或输入阻抗。显然对确定的频率，阻抗Z

34、是一个复常数，并具有电阻的量纲门。下面通过实际电路进一步说明，阻抗的计算规那么也同电阻的计算规那么完全一样。(a)图6-17 RLC串联电路图6-17a是RLC串联电路，设加在其端口的鼓励是角频率为的正弦电压U，那么，在支路上将产生同一频率的响应，如图中I，根据KVL得U 二U R Ul Uc1 1式中，令 Z = R j 丄R j( L ) = R j(xL -Xc) = R jX，得j©CoCU = I Z上式，与式6-30相同，Z称为该串联电路的复阻抗，它等于端电压相量与相应电流相量的比值。复阻抗的极坐标表达式Z = R + jX = zZ<Pz复阻抗Z在代数形式中，实部

35、R称其为电阻，虚部X称其为电抗局部X = XL - Xc，合起来称为 复阻抗。在极坐标形式中，Z是复阻抗的模，辅角鵜称为阻抗角。两种形式可以互化。可将阻抗Z = R + jX或Z = ZZEz画在复平面上，如图6-18所示，其Z、R和X构成直角三角形，称为阻抗三角形，所以有2 2 2(6-31)(6-32)R2X2z = ar ct anR根据复数的计算规那么，式图6-18阻抗三角形6-30可分解为其模的关系和辅角的关系Z +Z 八u 一 i(6-33)在RLC串联电路中，其总阻抗 Z的特性是由角频率-和电感L、电容C的值决定的，如果感抗 Xl 大于容抗 Xc，即卩X 0，那么阻抗角;Z .0

36、,这时电路阻抗呈感性，电路中的电压超前于电流。如果容抗Xc大于感抗Xl，即X ：:0,那么阻抗角 Z : 0,这时电路阻抗呈容性，电路中的电压滞后于电流。如果X=0，即容抗Xc等于感抗Xl，那么阻抗角;：Z= 0，这时电路阻抗呈纯电阻性，电路中的电压与电流同相位。如图6-17 b是图a的相量图，因为是串联电路每个元件上流过相同的电流，所以，设I =1. 0，图b简明地说明了相量间的关系假设 役汕。说明，对图6-17 b出现了电压三角形，其中的一个直角边是电阻电压Ur,另一直角边是电抗电压U l U c，斜边是总电压 U，对图6-18的阻抗三角形每个边同乘电流串联电流相同，便得图6-17 b的电

37、压三角形。此时的电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。推广，图6-19是两个阻抗 乙、Z2串联的电路，I是端口电流的相量， U二是端口电压的相量，I与U呈关联方向。由KcL的相量形式可知，串联电路中电流相量是相同的，所以由KVL的相量形式有U =Z“ I Z2 I =0 Z2) I其中Zi Z2可等效为一个阻抗 Z ,z 二 Zi Z2当有n个阻抗串联，进一步推广，那么Z 二乙 +Z2 +HI + Zn662导纳的概念图6-19两个阻抗的串联 在相量法中还用到导纳的概念。在如图6-16 b所示的关联方向下，定义丫二 U = G jB 二 丫 y 6-34Y为单口 N时的导纳，也称为复导纳或输入导

38、纳；G为Y的电导局部，B为Y的电纳局部；丫为Y的模，；y为Y的导纳角。由阻抗和导纳的定义式 6-30 和6-34可见，导纳是阻抗的倒数，因此单口 N也可等效为导纳 Y , 如图6-16 c所示。形式上，导纳对应电阻电路中的电导。导纳具有电导的量纲S。F面通过实际电路将进一步说明，导纳的计算规那么同电导的计算规那么完全一样。"is6i g 1gQicir+C十UclfiL* IseIglcQC 士1 Il+ 1 Uc j.L(a)(b)图6-20 GCL并联电路导纳是阻图6-20 a是RLC并联电路的时域模型，首先将其变成对应的以导纳表示的相量模型,抗的倒数，如6-20 b所示，设加在

39、其端口的鼓励是角频率为，的正弦电流，如图中IS，那么,在支路上将产生同一频率的响应，设每个元件上的电压为U ，根据KCL得IIg Ic I L=U G U j C U二 U(G j C11式中，令 Y =G j C，得Zj«L(6-34)UIs =U Y =U 二 u 0；，图Z如图6-20c是图a的相量图，因为是并联电路每个元件上的电压相同，所以，设c简明地说明了相量间的关系。综上，电路并联的问题也可以用阻抗来计算，完全可以按个人的习惯，在此注意它们的实质还是欧姆定律，当然，阻抗是广义的，它可能只是一个纯电阻或是一个纯电抗等。例如，当只有一个电感元件时， 此时的阻抗就是感抗，当一个

40、电感和电容元件串联时，此时的阻抗就是电抗，不管怎样阻抗对应直流电路 中电阻的特性。F面再看一个例6-4单口 N. 的相量模型如图 6-21所示，其端口电压为 uC(t) h$2 10cos314t,求单口的阻 抗，及电流I1、I、ii、i o图6-21例6-4图解可求得单口 N.，的阻抗为10 15Z =1 j21 j2 2 j4 =3 j6 门10 + j5电压的相量式U =1 o. o v总电流3 j6 一1.563.4 A进一步，由分流公式可求相量反变换求出山 血 I =0.67 0 A10 j5i,t) =0.67 一 2cos314ti (t) =1.5、“2cos(314t -63

41、.4)6.7正弦稳态电路的一般分析方法相量法的原理在相量和阻抗概念的根底上，本节具体讲解线性非时变电路的正弦稳态分析一一相量法，它是正弦稳 态分析的一般方法。首先，有了相量和阻抗的概念以后，就可以将电路的时域模型变换成其相量模型。在相量模型中，电路的拓扑结构不变相量模型的拓扑结构与原时域模型相同，只是电压、电流以相量表示，R、L、C元1件分别以R、j .L、表示，受控源也以其相量模型表示。那么相量模型下的电路方程，电路的拓扑j«C约束KCL、KVL和元件的约束 VCR，均可以统一写成相量形式，例如：二 I k = 0k、Uk =0kU =ziI这些电路方程形式上与电阻电路的方程完全相

42、同。电阻电路的各种分析方法， 如支路电流法、节点法、网孔法等，叠加定理、戴维南定理等，均是以KCL、KVL及元件的VCR为根底推导出来的。既然在电路的相量模型下，电路方程形式上与电阻电路的方程完全相同，那么根据类比原理，那么电阻电路的各种分析 方法均适用于相量模型的分析，这就是相量法。所以可以说，在一定程度上，相量法“只有新概念，没有 新方法。相量法的一般分析过程从相量法的原理可知，相量法的根本是在相量模型下完成对时域模型的求解，一般应遵循以下步骤建 立电路的相量模型并求解：1相量的正变换 一一由正弦鼓励的时域形式，变换成对应的相量形式。也就是将电路的时域 模型变换成其相量模型，电路的拓扑结构

43、不变，其中 R、L、C元件都用阻抗或导纳表示； 将独立电源和待求的电压、电流等都用其相量表示； 受控源变换成其相量形式。2在相量模型下，比照前四章直流稳态的电路定律、定理和分析方法，解待求电压和电流的相量 及其它问题。3根据题目要求，进行 相量的反变换 一一得到时域模型的解或进行其它分析。以上步骤，具有一般性。有时，根据和所求变量的不同，步骤可以省略或变化。下面将通过例题 做具体说明。例6-5 图6-22a是一种40W日光灯正常工作发光时的电路模型，其中灯管的电阻约为R =250Q,镇流器等效为电阻 Rl = 50 Q和电感L = 1.6H的串联，电源电压为220V 50Hz。求电路的电流、镇

44、流器的端电压、灯管的端电压。(a)图6-22例6-5图解 电路的相量模型如图 6-22(b)所示，可求得镇流器的复阻抗为ZL = R+jcoL =50 +j314汉1.6 =50 + j502.4 =505/84：。电路的总复阻抗为Z =ZL R =50 j502.4 250 =300 j502.4 = 585.2 59.2 11电路的电流为镇流器的端电压为灯管的端电压为U 220Z 二 585.2二 0.376AUL =I ZL =0.376 505 = 190VUr=IR=0.38 250 = 94V思考1为什么Ur UL -U ？2验证 UR UL =U。例6-6 正弦稳态电路如图6-2

45、3 a所示，其中电压源ust = 6 3 COS2 -30 ，电流源ist =3、2cos2t -30 A，求电流 L。解法 1 1相量的正变换Us =6z -3 0|IS =3/- 30°A ；2相量模型如图 6-23b所示，由.-2rad /s可计算出的各阻抗的值，也已标记在图中。下面分a)(b)3用结点法求解。选节点u1和u 2的节点方程为0图6-23例6-6图0为参考点，关于未知节点电压Ui -UsUi -U2 丄J u-+可解得进一步可求得4相量的反变换Ui 二 jIs，U2 二Us - jIsl)L =Ul _U2 = jUs 2|IS =6、2 15 A jiL(t)

46、=12cos(2t 15 )A以上第3步用了节点法求解，当然也可以用其他方法，见如下分析。13，方向均为顺时针方向，显然解法2用网孔法求解。设由左至右，网孔电流相量分别为|1、|2、I3 =ls，因此关于未知网孔电流I1、I 2的网孔方程为(T 一 j)li 一(7)12 =Us-(-j)Ii (j -j2)I2 jIs可求得解法3用叠加定理求解 Us单独作用时的分响应 I s单独作用时的分响应 由叠加定理，Il "2 = jUs 2IsIL 二 jUsIL =2IsIl "L IL JUs 2Is一L或C电路，方程仅是一阶二阶微分方程的求解就比拟繁11章讲的运算法较适宜。

47、定理和分析方法列些方程，此时不但解1-1根据诺顿定理，此含源单口可等效为其诺顿等效电路，并且，当其输出阻抗Z。1 、 丫。二、即输出解法4用戴维宁等效电求解。将节点1和节点2间的0.5H电感移出去，那么从端口1-2看进去为一含源单口，其开路电压U OC =52Us(-J"-s)Us'jIS-J - J2其输入阻抗ZO就是其对应的无源单口的等效阻抗1Zoj=-j1"J2由此可求得Il 二出 JUs 2Is Zo J请读者探讨其它的求解方法。说明，1-4章以直流稳态(即电阻电路)为背景，所阐述的电路定律、定理和分析方法，完全可以推 广到各类电路的分析。电阻电路不用涉及微

48、积分方程，因此比拟简单。随着分析的深入第 5章开始动态电路的分析，还是利用1-4章讲到的电路定律、定理和分析方法列些方程，但此时电路中的电压、电流发生变化，因此出现了微积分方程，对单 微分方程，求解结果可归纳为三要素形式。当电路仅出现两个动态元件时， 琐，此时在利用前四章讲到的电路定律、定理和分析方法的根底上，用第 第6-10章是交流的稳态分析，还是利用前四章讲到的电路定律、出现了微积分方程，而且还有正弦函数，因此引入相量法。例6-71导纳Yo -r c0时，此 含源单口就等 效为一个理想电 流源，可满 足题目要求。因此由JOL1 11Yo - j C0，可求得，：。即当时，R变化时I不变。J

49、 L. LC. LC例6-8一含有受控源的单口如图 6-25所示，求其输入阻抗。0 CZI+uiq r=打=9)图6-25 例6-8图解法1简单。假设在端口处施加电流等于求含有受控源的无源单口的输入阻抗，应采用外施电源法。具体到此题，采用加流求压法更I的电流源，那么可求得端口电压为1暑也鲁戶UJ 1 s1 +j«C u与呈关联方向，因此可求得其输入阻抗为解法2也可以采用加压求流法。假设在端口处施加电压等于U的电压源。首先采用节点法求出节点的电压u1，那么端口电流I =- Ul。请读者自行练习。1相量图法在前面几节我们已注意到，相量图可以简明地展示各相量之间的关系。在用相量法分析正弦稳

50、态问题 过程中，如果利用相量图做辅助分析-相量图法，那么可以使概念和分析过程更加简明和清晰。在相量图法中，首先要确定所谓参考相量参考相量对应参考正弦量初相位。由于并联电路的电压 相等，所以对并联电路，一般取并联电路的电压相量为参考相量；由于串联电路的电流相等，所以对串联 电路，一般取串联电路的电流相量为参考相量。为使问题简化，一般的，假定参考相量的初相位为0，其它的电流、电压相量的初相位，可根据元件的阻抗确定。下面结合例题来说明具体做法。例6-9在图6-26a所示的RC串联正弦稳态电路中， 电压表读数分别为，V1 : 40V，V2：30V，求总电压u的有效值U。(a)解电路的相量模型如图6-2

51、6 b所示。设端口电流为参考相量，即设I =1. 0：A，那么由条件和元件的VCR，可知，电阻电压为UR I =401 0 V，电容电压为 U2 - - j I =301/ -90 V， qC这样电阻电压相量和电容电压相量模和相位根据相量运算的平行四边形规那么，可求得总电压均，相量图如图6-26c所示，总电压U =U1 UC， U =50/- 37，所以，总电压u的有效值U等于50V。由本例可见，正弦稳态电路中，正弦量的叠加，不仅与有效值有关，还与相位差有关。本例中，电阻电压和电容电压不同相，所以总电压不等于70V！例6-10 在图6-27a所示的正弦稳态电路中，电容电流有效值|C为100A，

52、电感电流有效值lL为141A，并且端口电流I和端口电压U同相，求I的有效值。解 设端口电压为参考相量，U =U 0 V，那么由条件可知，电容电流为 1lC二cu=10090 A，电感电流为IIU =141 L A，- 90 ： L : 0 电感支路呈感R j L性；而端口电流为I=Ic+Il，并由，I与U同相，所以如图6-27 b所示，电流I、lc、Il构成直角三角形，因此可知，电感电流为|L =141 -45 A，端口电流为I =100 0 A，I的有效值是100A。(a)(b)图6-27例6-10图6.8有功功率、无功功率、视在功率和复功率正弦稳态的功率问题较复杂，并具有其特点。1. 瞬时功率我们首先回到时域模型，从瞬时功率展开分析。o +Utt)N(a)(b)图6-28单口 N的端口电压和端口电流如图6-28 (a)所示，设单口 N的端口电压u(t)和端口电流i(t)呈关联方向，设u(t)二、2U cos( t )i(t)=罷 cost)并记端口电压相量 U二u.二端口电流相量i=i. 0。根据已有知识，单口 n所吸收的瞬时功率为p(t)=u(t)i(t)=2UI cos( t : )cos( t)、 1根据积化和差公式 cosCOS cos(、；'') cosC -)可求得2p(t)= U lcos(2 十® +) U