2019-2020学年高中数学第一章计数原理单元综合测试北师大版选修2-3.doc

1、2021-2021学年高中数学第一章计数原理单元综合测试北师大版选修2-3一、选择题本大题共10个小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的1.如图,从上往下读不能跳读构成句子“构建和谐社会,创美好未来的不同读法种数是构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A.250B.240C.252D.300答案C解析要组成题设中的句子,那么每行读一字,不能跳读.每一种读法须10步完成从上一个字到下一个字为一步,其中5步是从左上角到右下角方向读的,故共有不同读法岛=252种.2.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日端午节假期值班

2、,每天安排2人,每人值班1天,假设6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,那么不同的安排方法共有A.30种B.36种C.42种D.48种答案C解析此题考查排列组合的根本知识,涉及分类,分步计算原理、特殊元素、特殊位置.甲在16日,有Cic4=24种；甲在15日,乙在15日有d=6种.甲在15日,乙在14日时有&d=12种,所以总共24+6+12=42,应选C.3.1+x7的展开式中x2的系数是A. 42B. 35C. 28D.21答案D解析展开式中第r+1项为Tr+i=c7xr,T3=Cx2,x2的系数为C7=21,此题误认为Tr+i为第r项,导致失分.4. ARCHE五人并排站成一排

3、,如果AB必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有A.60种B.48种C.36种D.24种答案D解析把A,B视为一人,且B固定在A的右边,那么此题相当于4人的全排列,A4=24种.5.设m为正整数,x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a,x+y2m1展开式的二项式系数的最大值为b,假设13a=7b,那么m=A. 5B.C. 7D.答案解析m2m2m-11a=C2m=mmb=C2m+1£m+l2mlim+2m又13a=7b,.13(m+1)=7(2m1),m=6.6.如图,一圆形花圃内有5块区域,现有4种不同颜色的花.从4种花中选出假设干种植入花圃中,要求相邻两区域不同色,种法有

4、B.216种A.324种C.244种D.240种答案D解析假设1、4同色,共有C1X3X3X2=72种.假设1、4不同色里面分2与4同色不同色,共有A4X2X1X3+2X2=168种.所以一共有168+72=240种.7.一排9个座位坐了3个三口之家,假设每家人坐在一起,那么不同的坐法种数为()A.3X3!B.3X(3!)3C.(3!)4D.9!答案C解析此题考查捆绑法排列问题.由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法3!,三个家庭即(3!)3,三个家庭又可全排列,因此(3!)4注意排列中在一起可用捆绑法,即相邻问题.8. (*田一八例4的展示式中x3y3的系数为()A.4

5、B.5C.6D.8答案C解析此题考查二项展开式的通项公式,以及二项展开式中项的系数.(xyX)4的展开式中的第(r+1)项Tr+1=C4(1)r(x$)4r(y#)r=C4(-1)rx4-2y2+2人r_令42=3得r=2展开式中x3y3的系数为C2(1)2=6.9.碳元素有3种同位素12C、13C、14C,氧元素也有3种同位素16.17.18O那么不同的原子构成的CO分子有()A. 9种B.27种C.54种D.81种答案B解析先选碳原子,再选第一个氧原子,最后选第二个氧原子.根据乘法原理所以N=c1,C3-C3=27种.10.(2021福建理,10)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加

6、法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出假设干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如：“1表示一个球都不取、“a表示取出一个红球,而“ab那么表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,以下各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B. (1+a5)(l+b+b2+b3+b4+b5)(l+c)C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+

7、c3+c4+c5)答案A解析从5个无区别的红球中取出假设干个球的所有情况为1+a+a2+a3+a4+a5,从5个有区别的黑球中取出假设干个球的所有情况为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c),而所有蓝球都取出或都不取出有1+b5种情况,应选A.二、填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分)11.假设(x+-a-)8的展开式中X4的系数为7,那么实数a=.3x-1答案2解析由Tr+1=C8xr(-)8r=C8-x4'*-a8r.3x3令"?8=4,r=5,那么x4的系数为C8a3=7.3一,r1斛之得a=2.12 .假设(x2)=a5x+adx+a3x+a2x+a

8、1x+a0,那么a1+a2+a3+a4+a5=(用数字作答).答案31解析(x2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a?x2+a1x+aa,5.vx=1,付(12)=a5+a4+a3+a2+a+ao=-1,令x=0,得(02)5=a0=32,所以a1+a2+a3+a4+a5=31.13 .一直线和圆相离,这条直线上有6个点,圆周上有4个点,通过任意两点作直线,最少可作直线的条数是.答案19解析为了作的直线条数最少,应出现3点或更多点共线的情况,由于直线与圆相离,应让圆上任意两点都与直线上的一点共线.圆周上有4点能连成CU6条直线,而直线上恰有6个点,故这10个点中最多有6个三点共线和1个六点共

9、线的情况,因此最少可作直线do6戊C2+6+1=19(条).14 .某药品研究所研制了5种消炎药aa2、a3、a4、a5,4种退烧药b、b2、3、b4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a、a2两种药必须同时使用,且a3、b4两种药不能同时使用,那么不同的实验方案有种.答案14解析当ai,a2两种药同时使用时,只要选一种退烧药即可,有4种实验方案；当取消炎药a3时,另一消炎药的选取有2种可能,退烧药的选取有3种可能,有2X3=6种实验方案；当取消炎药a,、a5时,只要选一种退烧药即可,有4种实验方案；相加即可.15 .电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和

10、2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,那么共有种不同的播放方式(结果用数值表示).答案48解析此题可以分两步完成：首尾必须播放公益广告的有2种；中间4个为不同的商业广告有6=24种,从而有2X24=48种不同的播放方式.三、解做题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分)16 .(1)化简n-(n+1)(n+n)；(2)求证：A7+5A4=A5；(3)求n,使A3n=10A3.解析(1)由排列数公式的阶乘形式可得n-(n+1)(n+m)=“+m:=nAX5一4(2)证实：A7+5A7=7X6X5X4X3+5X7X6X5X4=(3+5)X7X6X5X4=8

11、X7X6X5X4=A8,故等式得证.(3)由6n=10A3得2n(2n1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),即4n(2n-1)(n-1)=10n(n-1)(n-2),4(2n-1)=10(n-2)(n>3,n是正整数),解得n=8.17 .把4个男同志和4个女同志均分成4组,到4辆公共汽车里参加售票劳动,如果同样两人在不同汽车上效劳算作不同情况.(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组,有几种不同分配方法？解析(1)男女合在一起共有8人,每辆车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一辆车,共有?种

12、,再上第二车共有C2种,再上第三车共有C4种,最后上第四车共有C2种,这样不同分配方法,按分步计数原理有2-222,C6-C4C2=2520(种).(2)要求男女各1人,因此先把男同志安排上车,共有A4种不同方法,同理,女同志也有A4种方法,由分步计数原理,男女各1人上车的不同分配方法为A4a4=576(种).旧,八,八,人八,一,c4,人,八,一,c4,(3)男女分别分组,4个男的平分成两组共有万=3(种),4个女的分成两组也有万=3(种)不同分法,这样分组方法就有3X3=9(种),对于其中每一种分法上4部车,又有A4种上法,因而不同分配方法为9A：=216(种).18 .把7个大小完全相同

13、的小球,放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放.(1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法？解析(1)二小球的大小完全相同,三个盒子也完全相同,把7个小球分成三份,比方分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中,不管哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法,因此,只需将7个小球分成如下三份即可,即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2).共计有8种不同的放置方法.(2)设三个盒子中小球的个数分别为X1、X2、X3,显然有：X1+X2+X3=7,于是,问题就转化为求

14、这个不定方程的非负整数解,假设令yi=Xi+1(i=1,2,3)由y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程y1+y2+y3=10的正整数解的组数的问题,在10个1中间9个空档中,任取两个空档作记号,即可将10分成三组,不定方程的解有d=36组.,有36种放置方法.19 .在产品质量检验时,常从产品中抽出一局部进行检查,现有100件产品,其中有98件正品,2件次品,从中任意抽出3件检查,(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？解析(1)所求的不同抽法数,即从100个不同元素中任取3个元素的组合数,共有100X99X983X2X1

15、=161700种.(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事,可以分两步完成.第一步：从2件次品中任取1件,有C2种方法；第二步：从98件正品中任取2件,有C28种方法.根据分步乘法计数原理知,不同的抽取方法共有C2-C28=2X4753=9506(种).(3)方法一：抽出的3件中至少有一件是次品的这件事,分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法,有Cd8种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法,有C2c98种.根据分类加法计数原理,不同的抽法共有?d8十d&=9506+98=9604(种).方法二：从100件产品中任取3件的抽法有C300种,其中抽出的3件中至少有一件是次品

16、的抽法共有C300脸=161700-152096=9604(种).反思总结此题考查了计数原理和组合知识的应用.20 .求(x2+3x+2)5的展开式中x项的系数.解析方法一：由于(x2+3x+2)5=(x+2)5(X+1)5=(c5x5+c5x42+C5,25)(C5x5+C5x4+C5)展开后x项为C4x24.55+C525.c5x=240x.所以(x2+3x+2)5展开式中x项的系数为240.方法二：由于(x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5,设Tr+i=C(x2)5r(3x+2)r,在(3x+2)r中,设Tk+i=Ck(3x)rk2k,Tr+1=C5(x2)5rCk(3x)rk2k=

17、CCk312kx*Jk,依题意可知10rk=1,即r+k=9.又0wkww5,r,kCN+,所以r=5,k=4.贝UTr+i=C5,C53,2,x=240x.所以(x2+3x+2)5展开式中x项的系数为240.方法三：把(x2+3x+2)5看成5个x2+3x+2相乘,每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项,x项可由1个因式取3x,4个因式取2相乘得到,即d3x-C24=240x.所以(x2+3x+2)5展开式中x项的系数为240.反思总结此题考查利用转化的思想求三项展开式的特定项.三项式求特定项的思路有：(1)分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后再用二项式定理分别展开.(2)逐层展开法：将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开.(3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项相合并.